数学理卷·2017届四川省成都经济技术开发区实验高级中学校高三下学期入学考试（2017

数学理卷·2017届四川省成都经济技术开发区实验高级中学校高三下学期入学考试（2017

成都经开区实验高级中学2014级高三下期入学考试题 数 学（理工类）‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择），考生作答时，须将答案答答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效。满分150分，考试时间120分钟。‎ 第Ⅰ卷(选择题，共60分)‎ 注意事项：‎ ‎ 1．必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑.‎ ‎ 2．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。‎ 一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.在复平面内，复数z与的对应点关于虚轴对称，则z=（　　）‎ ‎ A．2﹣i B．﹣2﹣i C．2+i D．﹣2+i ‎2. 已知α∈(,π),,则等于( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.已知向量（，），（，），与的夹角为,则直线与圆的位置关系是（ ）‎ ‎ A.相交 B.相离 C.相切 D.随的值而定 ‎4.执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）‎ ‎ A. 10 B. 24 C. 44 D. 70‎ ‎5.已知△ABC中，的对边分别为. 若，且，则（ ）‎ ‎ A． 2 B． C． D．‎ ‎6.函数且 的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ 正视图 侧视图 俯视图 ‎7.一个四面体的三视图如右图，在三视图中的三个正方形的边长都是，则该多面体的体积、表面积、外接球面的表面积分别为（ ）‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎8.已知，命题，则 （ ）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎9.已知定义在上的奇函数的图象关于直线对称，当时，，则方程在内的零点之和为 （ 　）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎10．设动直线与函数的图象分别交于点，则的最小值为（ ）‎ ‎ A.　　 B.　 C.　　 D.‎ ‎11. 已知数列满足若对于任意的都有，则实数的取值范围是 ‎ A. （0，） B. （） C. （） D. （）‎ ‎12.如图，设是图中边长分别为1和2的矩形区域，是内位于函数图象下方的区域（阴影部分），从内随机取一个点，则点取自内的概率为（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题（每小题4分，共20分）‎ ‎13. 已知向量与的夹角为，且，若，，且，则实数的值为_____.‎ ‎14. 设若，则= ‎ ‎15.已知，则的展开式中的常数项是 .（用数字作答） ‎ ‎16．设函数，对任意,恒成立，则实数m的取值范围是 .‎ 三、解答题（共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）‎ ‎17.（本小题满分12分） 已知{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a1＝b1＝1，b2＋b3＝2a3，a5－3b2＝7.‎ ‎ (1)求{an}和{bn}的通项公式；‎ ‎(2)设cn＝anbn，n∈N*，求数列{cn}的前n项和．‎ ‎18.（本小题满分12分）已知锐角三角形中，角所对边分别为满足.‎ ‎（Ⅰ）求； （Ⅱ）若是最大边，求的取值范围.‎ H G F E D B C A ‎19、如图所示，平面平面，是等边三角形，是矩形，是的中点，是的中点，是的中点，与平面成角．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：平面；‎ ‎（3）若，求三棱锥的体积 ‎20.我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照0，0.5)， 0.5，1)，……，4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.‎ ‎(1)求直方图中a的值；‎ ‎(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数.说明理由；‎ ‎(3)估计居民月均用水量的中位数.‎ ‎21.（12分）已知函数f（x）=sinx﹣ax．‎ ‎（Ⅰ）对于恒成立，求实数a的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）当a=1时，令，求的最大值；‎ ‎（Ⅲ）求证：‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时请写清题号，本小题满分10分。‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 ‎ 在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝2cos，直线l的参数方程为(t为参数)，直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点.‎ ‎(1)求圆心的极坐标；‎ ‎(2)求△PAB面积的最大值.‎ ‎23.（本题满分10分）选修4-5:不等式选讲 ‎ 已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.‎ ‎ (1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；‎ ‎ (2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.‎ 成都经开区实验高级中学2014级高三下期入学考试题 数 学（理工类）参考答案 ‎1—5 ABBAA 6—10 ABDCA 11—12 BC ‎13 . 14. 15. 560 16 . ‎ ‎17.解：(1)设数列{an}的公比为q，数列{bn}的公差为d，由题意知q>0.由已知，有消去d，整理得q4－2q2－8＝0.又因为q>0，解得q＝2，所以d＝2.‎ 所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1，n∈N*；数列{bn}的通项公式为bn＝2n－1，n∈N*.‎ ‎(2)由(1)有cn＝(2n－1)×2n－1，设{cn}的前n项和为Sn，则 Sn＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n－3)×2n－2＋(2n－1)×2n－1，‎ ‎2Sn＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)×2n－1＋(2n－1)×2n，‎ 上述两式相减，‎ 得－Sn＝1＋22＋23＋…＋2n－(2n－1)×2n＝2n＋1－3－(2n－1)×2n ‎ ＝－(2n－3)×2n－3，‎ 所以，Sn＝(2n－3)×2n＋3，n∈N*.‎ ‎18.解：（Ⅰ）‎ ‎ ‎ ‎ 因为锐角三角形，则，由正弦定理有：‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ），且，则，即 又因 的取值范围是 ‎19.（1）证明：是等边三角形，且是的中点 ‎，‎ 又平面平面，平面平面，平面 平面 I H G F E D B C A ‎（2）证明：取的中点，连，是的中点 是矩形，是的中点 ‎，则是平行四边形 ‎，则平面平面 平面 ‎（3）解：连，由（1）知平面，则是与平面成角，‎ ‎ 即，且而是等边三角形，当时，‎ 在中，又，则 又是矩形，且是的中点，则 所以三棱锥的体积为 ‎20.解　(1)由频率分布直方图，可知：月均用水量在0，0.5)的频率为0.08×0.5＝0.04.‎ 同理，在0.5，1)，1.5，2)，2，2.5)，3，3.5)，3.5，4)，4，4.5)等组的频率分别为0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02.‎ 由1－(0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)＝0.5×a＋0.5×a，‎ 解得a＝0.30.‎ ‎(2)由(1)知，100位居民月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12.由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12＝36 000.‎ ‎(3)设中位数为x吨.‎ 因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73>0.5.‎ 而前4组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48<0.5.‎ 所以2≤x<2.5.‎ 由0.50×(x－2)＝0.5－0.48，解得x＝2.04.‎ 故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨.‎ ‎21.解：（Ⅰ）f（x）=sinx﹣ax，f′（x）=cosx﹣a，若对于x∈（0，1），f（x）＞0恒成立，即a＜cosx在（0，1）恒成立，故a≤0； ………………4分 ‎（Ⅱ）a=1时，h（x）=lnx﹣x+1，（x＞0），h′（x）=﹣1=，令h′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令h′（x）＜0，解得：x＞1，∴h（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，‎ ‎∴h（x）的最大值是h（1）=0； …………6分 证明：（Ⅲ）构造函数g（x）=ln（1+x）﹣x，则g′（x）=﹣1=，‎ 当﹣1＜x＜0时，g′（x）＞0，g（x）在（﹣1，0）上单调递增；‎ 当x＞0时，g′（x）＜0，g（x）在（0，+∞）上单调递减；‎ 所以，当x=0时，g（x）=ln（1+x）﹣x取得极大值，也是最大值，‎ 所以，g（x）≤g（0）=0，即ln（1+x）≤x，当x≠0时，ln（1+x）＜x．……8分 令x=，则ln（1+）=ln（n+1）﹣lnn＜，即ln（n+1）﹣lnn＜，……10分 ‎∴ln2﹣ln1＜1，ln3﹣ln2＜，…，lnn﹣ln（n﹣1）＜，ln（n+1）﹣lnn＜，‎ 以上n个不等式相加得：ln（n+1）﹣ln1＜1+++…+，‎ 即．…………12分 ‎22.解　(1)圆C的普通方程为x2＋y2－2x＋2y＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝2.所以圆心坐标为(1，－1)，圆心极坐标为；‎ ‎(2)直线l的普通方程：2x－y－1＝0，圆心到直线l的距离 d＝＝，所以|AB|＝2＝，点P到直线AB距离的最大值为r＋d＝＋＝，‎ Smax＝××＝.‎ ‎23.解　(1)当a＝1时，f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.‎ 当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；‎ 当－10，解得0，解得1≤x<2.‎ 所以f(x)>1的解集为.‎ ‎(2)由题设可得，f(x)＝ 所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a＋1，0)，C(a，a＋1)，‎ ‎△ABC的面积为(a＋1)2.由题设得(a＋1)2>6，故a>2.‎ 所以a的取值范围为(2，＋∞).‎