【数学】2021届一轮复习人教A版（文）第四章　第3讲　第1课时　两角和与差的正弦、余弦和正切公式学案

【数学】2021届一轮复习人教A版（文）第四章　第3讲　第1课时　两角和与差的正弦、余弦和正切公式学案

第3讲　简单的三角恒等变换 一、知识梳理 ‎1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；‎ cos(α∓β)＝cos αcos β±sin αsin β；‎ tan(α±β)＝.‎ ‎2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin αcos α；‎ cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；‎ tan 2α＝.‎ ‎3．三角函数公式的关系 常用结论 四个必备结论 ‎(1)降幂公式：cos2α＝，sin2α＝.‎ ‎(2)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α.‎ ‎(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1±tan αtan β)，‎ ‎1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，‎ ‎1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，‎ sin α±cos α＝sin.‎ ‎(4)辅助角公式 asin x＋bcos x＝sin (x＋φ)，其中tan φ＝.‎ 二、习题改编 ‎1．(必修4P137A组T5改编)已知sin ＝，α∈，则sin α的值为(　　)‎ A.　　　　　　　　　 B. C. D． 解析：选D.因为α∈，所以α－∈，cos>0，cos＝＝，所以sin α＝sin＝sincos ＋cossin ＝×＋×＝.故选D.‎ ‎2．(必修4P131练习T5改编)计算：sin 108°cos 42°－cos 72°·sin 42°＝ ．‎ 解析：原式＝sin(180°－72°)cos 42°－cos 72°sin 42°＝sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°＝sin(72°－42°)＝sin 30°＝.‎ 答案： 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意角．(　　)‎ ‎(2)两角和与差的正切公式中的角α，β是任意角．(　　)‎ ‎(3)cos 80°cos 20°－sin 80°sin 20°＝cos(80°－20°)＝cos 60°＝.(　　)‎ ‎(4)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．(　　)‎ ‎(5)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.(　　)‎ 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√‎ 二、易错纠偏 (1)不会用公式找不到思路；‎ ‎(2)不会合理配角出错．‎ ‎1．若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin＝(　　)‎ A．－ B. C．－ D． 解析：选C.因为cos α＝－，α是第三象限的角，所以sin α＝－＝－，所以sin＝sin α·cos＋cos αsin＝×＋×＝－.‎ ‎2．sin 15°＋sin 75°的值是 ．‎ 解析：sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15°＝sin(15°＋45°)＝sin 60°＝.‎ 答案： 第1课时　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 ‎　　　　　　三角函数公式的直接应用(师生共研)‎ ‎ (1)(2019·高考全国卷Ⅱ)已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝(　　)‎ A.　　　　　　　　　　 B. C. D． ‎(2)(一题多解)(2018·高考全国卷Ⅱ)已知tan(α－)＝，则tan α＝ ．‎ ‎【解析】　(1)依题意得4sin αcos α＝2cos2α，由α∈，知cos α>0，所以2sin α＝cos α.又sin2α＋cos2α＝1，所以sin2α＋4sin2α＝1，即sin2α＝.又α∈，所以sin α＝，选B.‎ ‎(2)法一：因为tan＝，所以＝，即＝，解得tan α＝.‎ 法二：因为tan＝，所以tan α＝tan＝＝＝.‎ ‎【答案】　(1)B　(2) 利用三角函数公式时应注意的问题 ‎(1)首先要注意公式的结构特点和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．‎ ‎(2)应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．‎ ‎(3)应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．‎ ‎1．(2020·石家庄市模拟(一))已知cos＝2cos(π－α)，则tan＝(　　)‎ A．－3 B．3‎ C．－ D． 解析：选A.因为cos＝2cos(π－α)，所以－sin α＝－2cos α，所以tan α＝2，所以tan＝＝－3，故选A.‎ ‎2．已知sin α＝＋cos α，且α∈，则的值为(　　)‎ A．－ B. C．－ D． 解析：选A.因为sin α＝＋cos α，即sin α－cos α＝，所以＝＝＝＝－，故选A.‎ ‎3．(2020·长春市质量监测(二))直线y＝2x绕原点顺时针旋转45°得到直线l，若l的倾斜角为α，则cos 2α的值为(　　)‎ A. B. C．－ D． 解析：选D.设直线y＝2x的倾斜角为β，则tan β＝2，α＝β－45°，‎ 所以tan α＝tan(β－45°)＝＝，‎ cos 2α＝cos2α－sin2α＝＝，故选D.‎ ‎　　　　三角函数公式的逆用与变形应用(师生共研)‎ ‎ (1)在△ABC中，若tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则cos C的值为(　　)‎ A．－ B. C. D．－ ‎(2)(2018·高考全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝ ．‎ ‎【解析】　(1)由tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，可得＝－1，‎ 即tan(A＋B)＝－1，又(A＋B)∈(0，π)，‎ 所以A＋B＝，则C＝，cos C＝.‎ ‎(2)因为sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，‎ 所以sin2α＋cos2β＋2sin αcos β＝1　①，‎ cos2α＋sin2β＋2cos αsin β＝0　②，‎ ‎①②两式相加可得sin2α＋cos2α＋sin2β＋cos2β＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＝1，‎ 所以sin(α＋β)＝－.‎ ‎【答案】　(1)B　(2)－ ‎(1)三角函数公式活用技巧 ‎①逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式；‎ ‎②tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用．‎ ‎(2)三角函数公式逆用和变形使用应注意的问题 ‎①公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系；‎ ‎②注意特殊角的应用，当式子中出现，1，，等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”以便构造适合公式的形式．‎ ‎1．(1－tan215°)cos215°的值等于(　　)‎ A. B．1‎ C. D． 解析：选C.(1－tan215°)cos215°＝cos215°－sin215°＝cos 30°＝.‎ ‎2．已知sin 2α＝，则cos2＝(　　)‎ A．－ B. C．－ D． 解析：选D.cos2＝＝＋sin 2α＝＋×＝.‎ ‎3．(1＋tan 20°)(1＋tan 25°)＝ ．‎ 解析：(1＋tan 20°)(1＋tan 25°)＝1＋tan 20°＋tan 25°＋tan 20°tan 25°＝1＋tan(20°＋25°)(1－tan 20°tan 25°)＋tan 20°tan 25°＝2.‎ 答案：2‎ ‎　　　　两角和、差及倍角公式的灵活应用(多维探究)‎ 角度一　三角函数公式中变“角”‎ ‎ (2020·黑龙江大庆实验中学考前训练)已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin ‎＝，则cos＝ ．‎ ‎【解析】　由题意知，α＋β∈，sin(α＋β)＝－<0，所以cos(α＋β)＝，因为β－∈，所以cos＝－，cos＝cos＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin＝－.‎ ‎【答案】　－ 角度二　三角函数公式中变“名”‎ ‎ 求值：－sin 10°.‎ ‎【解】　原式＝－sin 10° ‎＝－sin 10°· ‎＝－sin 10°· ‎＝－2cos 10°＝ ‎＝ ‎＝＝＝.‎ 三角函数公式应用的解题思路 ‎(1)角的转换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧，及半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，＋＝，＝2×等．‎ ‎(2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．‎ ‎[提醒]　转化思想是实施三角恒等变换的主导思想，恒等变换前需清楚已知式中角的差异、函数名称的差异、运算结构的差异，寻求联系，实现转化．‎ ‎1．(2020·甘肃、青海、宁夏联考改编)若tan(α＋2β)＝2，tan β＝－3，则tan(α＋β)＝ ‎ ‎，tan α＝ ．‎ 解析：因为tan(α＋2β)＝2，tan β＝－3，‎ 所以tan(α＋β)＝tan(α＋2β－β)＝＝＝－1.‎ tan α＝tan(α＋β－β)＝＝.‎ 答案：－1　 ‎2．求4sin 20°＋tan 20°的值．‎ 解：原式＝4sin 20°＋ ‎＝＝ ‎＝＝.‎ ‎[基础题组练]‎ ‎1．计算－sin 133°cos 197°－cos 47°cos 73°的结果为(　　)‎ A.　　　　　　　　　　 B. C. D． 解析：选A.－sin 133°cos 197°－cos 47°cos 73°‎ ‎＝－sin 47°(－cos 17°)－cos 47°sin 17°‎ ‎＝sin(47°－17°)＝sin 30°＝.‎ ‎2．(2020·福建五校第二次联考)已知cos＝，则sin 2α＝(　　)‎ A. B．－ C. D．－ 解析：选C.法一：因为cos＝，所以sin 2α＝sin＝cos 2＝2cos2－1＝2×－1＝.故选C.‎ 法二：因为cos＝，所以(cos α＋sin α)＝，所以cos α＋sin α＝，平方得1＋sin ‎ 2α＝，得sin 2α＝.故选C.‎ ‎3．(2020·陕西榆林模拟)已知＝3cos(2π＋θ)，|θ|<，则sin 2θ＝(　　)‎ A. B. C. D． 解析：选C.因为＝3cos(2π＋θ)，‎ 所以＝3cos θ.‎ 又|θ|<，故sin θ＝，cos θ＝，‎ 所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝2××＝，‎ 故选C.‎ ‎4．(2020·武汉模拟)已知cos＝，则cos x＋cos＝(　　)‎ A. B．－ C. D．± 解析：选A.因为cos＝，‎ 所以cos x＋cos＝cos x＋cos x＋sin x ‎＝＝cos＝×＝.‎ 故选A.‎ ‎5．(2020·湘东五校联考)已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则log等于(　　)‎ A．2 B．3‎ C．4 D．5‎ 解析：选C.因为sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，所以sin αcos β＋cos αsin β＝，sin αcos β－cos αsin β＝，所以sin αcos β＝，cos αsin β＝，所以＝5，所以log＝log52＝4.故选C.‎ ‎6．(2020·洛阳统考)已知sin α＋cos α＝，则cos 4α＝ ．‎ 解析：由sin α＋cos α＝，得sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝1＋sin 2α＝，所以sin 2α＝，从而cos 4α＝1－2sin22α＝1－2×＝.‎ 答案： ‎7．(2020·安徽黄山模拟改编)已知角θ的终边经过点P(－x，－6)，且cos θ＝－，则sin θ＝ ，tan＝ ．‎ 解析：由题知角θ的终边经过点P(－x，－6)，所以cos θ＝＝－，解得x＝，所以sin θ＝＝－，tan θ＝＝，所以tan＝＝－.‎ 答案：－　－ ‎8．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝，β是第三象限角，则sin＝ ．‎ 解析：依题意可将已知条件变形为 sin[(α－β)－α]＝－sin β＝，所以sin β＝－.‎ 又β是第三象限角，因此有cos β＝－，‎ 所以sin＝－sin ‎＝－sin βcos －cos βsin ＝.‎ 答案： ‎9．已知tan α＝2.‎ ‎(1)求tan的值；‎ ‎(2)求的值．‎ 解：(1)tan＝＝＝－3.‎ ‎(2)＝‎ ＝＝＝1.‎ ‎10．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.‎ ‎(1)求sin的值；‎ ‎(2)若角β满足sin(α＋β)＝，求cos β的值．‎ 解：(1)由角α的终边过点P，得sin α＝－，所以sin(α＋π)＝－sin α＝.‎ ‎(2)由角α的终边过点P，得cos α＝－，‎ 由sin(α＋β)＝，得cos(α＋β)＝±.‎ 由β＝(α＋β)－α得 cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，‎ 所以cos β＝－或cos β＝.‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1．若α，β都是锐角，且cos α＝，sin(α－β)＝，‎ 则cos β＝(　　)‎ A. B. C.或－ D．或 解析：选A.因为α，β都是锐角，且cos α＝，sin(α－β)＝，所以sin α＝，cos(α－β)＝，从而cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝，故选A.‎ ‎2．(2020·河南百校联盟联考)已知α为第二象限角，且tan α＋tan ＝2tan αtan －2，则sin等于(　　)‎ A．－ B. C．－ D． 解析：选C.tan α＋tan ＝2tan αtan －2⇒＝－2⇒tan＝－2，因为α为第二象限角，所以sin＝，cos＝－，则sin＝－sin＝－sin＝cossin －sincos ＝－.‎ ‎3．已知函数f(x)＝sin，x∈R.‎ ‎(1)求f的值；‎ ‎(2)若cos θ＝，θ∈，求f的值．‎ 解：(1)f＝sin＝sin＝－.‎ ‎(2)f＝sin ‎＝sin＝(sin 2θ－cos 2θ)．‎ 因为cos θ＝，θ∈，所以sin θ＝，‎ 所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝，‎ cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝，‎ 所以f＝(sin 2θ－cos 2θ)‎ ‎＝×＝.‎ ‎4．已知sin α＋cos α＝，α∈，sin＝，β∈.‎ ‎(1)求sin 2α和tan 2α的值；‎ ‎(2)求cos(α＋2β)的值．‎ 解：(1)由题意得(sin α＋cos α)2＝，‎ 即1＋sin 2α＝，所以sin 2α＝.‎ 又2α∈，所以cos 2α＝＝，‎ 所以tan 2α＝＝.‎ ‎(2)因为β∈，所以β－∈，‎ 又sin＝，所以cos＝，‎ 于是sin 2＝2sin·cos＝.‎ 又sin 2＝－cos 2β，所以cos 2β＝－，‎ 又2β∈，所以sin 2β＝，‎ 又cos2α＝＝，α∈，‎ 所以cos α＝，sin α＝.‎ 所以cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β ‎＝×－× ‎＝－.‎