【数学】2020届一轮复习通用版（文）6-5直接证明与间接证明作业
课下层级训练(三十五) 直接证明与间接证明
[A级 基础强化训练]
1．若实数a，b满足a＋b<0，则( )
A．a，b都小于0
B．a，b都大于0
C．a，b中至少有一个大于0
D．a，b中至少有一个小于0
D [假设a，b都不小于0，即a≥0，b≥0，则a＋b≥0，这与a＋b<0相矛盾，因此假设错误，即a，b中至少有一个小于0.]
2．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证
0 B．a－c>0
C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0
C [由题意知0
⇐(a－c)(2a＋c)>0⇐(a－c)(a－b)>0.]
3．在△ABC中，sin Asin C0，即cos(A＋C)>0，所以A＋C是锐角，从而B>，故△ABC必是钝角三角形．]
4．(2019·山西太原月考)设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值( )
A．恒为负值 B．恒等于零
C．恒为正值 D．无法确定正负
A [由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，由x1＋x2>0，可知x1>－x2，f(x1)0，则三个数＋，＋，＋( )
A．都大于2 B．至少有一个大于2
C．至少有一个不小于2 D．至少有一个不大于2
C [因为＋＋＋＋＋＝＋＋≥2＋2＋2＝6，故＋，＋，＋中至少有一个不小于2.]
6．用反证法证明“若x2－1＝0，则x＝－1或x＝1”时，应假设__________.
x≠－1且x≠1 [“x＝－1或x＝1”的否定是“x≠－1且x≠1”．]
7．(2019·山东烟台月考)设a>b>0，m＝－，n＝，则m，n的大小关系是__________.
m⇐a0，显然成立．]
8．已知点An(n，an)为函数y＝图象上的点，Bn(n，bn)为函数y＝x图象上的点，其中n∈N*，设cn＝an－bn，则cn与cn＋1的大小关系为__________.
cn＋1＜cn [由条件得cn＝an－bn＝－n＝，∴cn随n的增大而减小，∴cn＋1＜cn.]
9．已知x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝1，求证：>8.
证明 因为x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝1，
所以－1＝＝>，①
－1＝＝>，②
－1＝＝>，③
又x，y，z为正数，由①×②×③，
得>8.
[B级 能力提升训练]
10．①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1. 以下正确的是( )
A．①与②的假设都错误
B．①与②的假设都正确
C．①的假设正确；②的假设错误
D．①的假设错误；②的假设正确
D [反证法的实质是否定结论，对于①，其结论的反面是p＋q＞2，所以①
不正确；对于②，其假设正确．]
11．已知a>0，b>0，如果不等式＋≥恒成立，那么m的最大值等于( )
A．10 B．9
C．8 D．7
B [∵a>0，b>0，∴2a＋b>0. ∴不等式可化为m≤(2a＋b)＝5＋2.∵5＋2≥5＋4＝9，即其最小值为9，∴m≤9，即m的最大值等于9.]
12．若二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1，在区间[－1,1]内至少存在一点c，使f(c)>0，则实数p的取值范围是__________.
[若二次函数f(x)≤0在区间[－1,1]内恒成立，
则解得p≤－3或p≥，
故满足题干要求的p的取值范围为.]
13．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有下列命题：
①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β.
其中正确命题的序号是__________.
①③ [①⇒l⊥β，又∵m⊂β，∴l⊥m，①正确；②⇒l∥β或l⊂β，∴l，m平行、相交、异面都有可能，故②错误；③⇒m⊥α，又m⊂β，∴β⊥α，故③正确；④⇒m⊂α或m∥α. 又m⊂β，∴α，β可能相交或平行，故④错误．]
14．(2019·安徽阜阳质检)已知函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝a＋bx－x2＋x3，函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图象在交点(0,0)处有公共切线．
(1)求a，b；
(2)证明：f(x)≤g(x)．
(1)解 f′(x)＝，g′(x)＝b－x＋x2，
由题意得解得a＝0，b＝1.
(2)证明 令h(x)＝f(x)－g(x)＝ln(x＋1)－x3＋x2－x(x>－1)．
h′(x)＝－x2＋x－1＝.
h(x)在(－1,0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数．
h(x)max＝h(0)＝0，h(x)≤h(0)＝0，即f(x)≤g(x)．
15．(2019·海南海口调研)已知函数f(x)＝ax＋(a>1)．
(1)证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数；
(2)用反证法证明方程f(x)＝0没有负数根．
(1)证明 任取x1，x2∈(－1，＋∞)，
不妨设x10.
∵a>1，∴ax2－x1>1且ax1>0，
∴ax2－ax1＝ax1(ax2－x1－1)>0.
又∵x1＋1>0，x2＋1>0，
∴－＝
＝>0.于是f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋－>0，故函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．
(2)假设存在x0<0(x0≠－1)满足f(x0)＝0，
则ax0＝－.
∵a>1，∴0
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