【数学】2018届一轮复习人教A版1-2命题及其关系、逻辑联结词、充分条件与必要条件学案

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【数学】2018届一轮复习人教A版1-2命题及其关系、逻辑联结词、充分条件与必要条件学案

第02节 命题及其关系、逻辑联结词、充分条件与必要条件 ‎【考纲解读】‎ 考 点 考纲内容 ‎5年统计 分析预测 ‎1.命题及其关系 ‎1. 理解原命题和原命题的逆命题、否命题、逆否命题的含义,及其相互之间的关系。‎ ‎2. 了解逻辑联结词“且”、“或”、“非”的含义。‎ 无独立命题 ‎1.该部分知识独立考查的可能性很小,注意体现在具体命题的判断及逻辑推理的思维活动中。‎ ‎2.备考重点:‎ ‎ (1) 命题的真假的判断;‎ ‎(2)充分条件、必要条件的判断 ‎2.充分条件和必要条件 理解命题的必要条件、充分条件、充要条件的意义,能判断并证明命题成立的充分条件、必要条件、充要条件。‎ ‎2017浙江6‎ ‎2016浙江文6‎ ‎2015浙江文3,理6‎ ‎2014浙江文2,理2‎ ‎2013浙江文,3,理4‎ ‎【知识清单】‎ ‎1.命题及其关系 ‎(1)命题的概念 在数学中把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫真命题,判断为假的语句叫假命题.‎ ‎(2)四种命题及相互关系 ‎(3)四种命题的真假关系 ‎(1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;‎ ‎(2)两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系.‎ 对点练习:‎ 有下列四个命题(1)若“,则,互为倒数”的逆命题;(2)“面积相等的三角形全等”的否命题;(3)“若,则有实数解”的逆否命题;(4)“若AB=B ‎,则”的逆否命题。其中真命题为( )‎ A、(1)(2) B、(2)(3) C、(4) D、(1)(3)‎ ‎【答案】D ‎2.逻辑联结词 ‎(1)用联结词“且”联结命题p和命题q,记作____,读作______”.‎ ‎(2)用联结词“或”联结命题p和命题q,记作_____,读作“____”.‎ ‎(3)对一个命题p全盘否定,就得到一个新命题,记作_____,读作“_____”.‎ ‎(4)命题p且q、p或q、非p的真假判断 对点练习:‎ ‎【2017山东,理3】已知命题p:;命题q:若a>b,则,下列命题为真命题的是 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】B ‎3.充分条件与必要条件 ‎(1)如果p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件.‎ ‎(2)如果p⇒q,q⇒p,则p是q的充要条件.‎ 对点练习:‎ ‎【2017天津,文2】设,则“”是“”的 ‎(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 ‎(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【考点深度剖析】‎ 高考对命题及其关系和充分条件、必要条件的考查主要是以小题的形式来考查,由于知识载体丰富,因此题目有一定综合性,属于中、低档题.命题重点主要集中在以函数、方程、不等式、立体几何线面关系、数列等为背景的充分条件和必要条件的判定.从近5年命题看,其在试卷中的位置逐步后移,难度较以往略大.‎ ‎【重点难点突破】‎ 考点1四种命题的关系及真假判断 ‎【1-1】给出命题:已知实数满足,则,它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是(    )‎ A. 0     B. ‎1 ‎    C. 2     D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵.∴原命题为真,从而逆否命题为真;若,显然得不出,故逆命题为假,因而否命题为假,选B.‎ ‎【1-2】命题“若都是偶数,则也是偶数”的逆否命题是( )‎ A.若是偶数,则与不都是偶数 B.若是偶数,则与都不是偶数 C.若不是偶数,则与不都是偶数 D.若不是偶数,则与都不是偶数 ‎【答案】C ‎【领悟技法】‎ ‎1.四种命题反映出命题之间的内在联系,要注意结合实际问题,理解其关系(尤其是两种等价关系)的产生过程,关于逆命题、否命题与逆否命题,也可以叙述为:‎ ‎(1)交换命题的条件和结论,所得的新命题就是原来命题的逆命题;‎ ‎(2)同时否定命题的条件和结论,所得的新命题就是原来的否命题;‎ ‎(3)交换命题的条件和结论,并且同时否定,所得的新命题就是原命题的逆否命题。‎ 注意:在写其他三种命题时,大前提必须放在前面。‎ ‎2.正确的命题要有充分的依据,不一定正确的命题要举出反例,这是最基本的数学思维方式,也是两种不同的解题方向,有时举出反例可能比进行推理论证更困难,二者同样重要.‎ ‎3. 判断四种形式的命题真假的基本方法是先判断原命题的真假,再判断逆命题的真假,然后根据等价关系确定否命题和逆否命题的真假.如果原命题的真假不好判断,那就首先判断其逆否命题的真假.‎ ‎4. 否命题与命题的否定是两个不同的概念:①否命题是将原命题的条件否定作为条件,将原命题的结论否定作为结论构造的一个新的命题;②命题的否定只是否定命题的结论,常用于反证法.‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】命题“若△ABC有一内角为,则△ABC的三内角成等差数列”的逆命题(  )‎ A.与原命题同为假命题 B.与原命题的否命题同为假命题 C.与原命题的逆否命题同为假命题 D.与原命题同为真命题 ‎【答案】D ‎【解析】原命题显然为真,原命题的逆命题为“若的三内角成等差数列,则有一内角为”,它是真命题.‎ ‎【变式二】下列命题中为真命题的是(  )‎ A.命题“若,则”的逆命题 B.命题“,则x2>‎1”‎的否命题 C.命题“若x=1,则”的否命题 D.命题“若,则”的逆否命题 ‎【答案】A 考点2含有逻辑联结词的命题 ‎【2-1】【2017届山东青岛二模】已知命题,“为假”是“为真”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】解:若“为假”,则“p”为真,“为真”,充分性成立;‎ 若“为真”,则“p”为真或“q”为真,‎ 即“为假” 或“为假”,必要性不成立;‎ 综上可得:“为假”是“为真”的充分不必要条件 .‎ 本题选择A选项.‎ ‎【2-2】【2017山东,文5】已知命题p:;命题q:若,则a0”是“S4 + S6>2S‎5”‎的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析:由,可知当,则,即,反之,,所以为充要条件,选C.‎ ‎【3-2】【2017浙江杭州重点中学期中】在△中,“”是“△为直角三角形”的( )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ‎ C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 在中,若,则,所以为直角三角形;但若为直角三角形,则或或,所以在中,“”是“为直角三角形”的充分不必要条件,故选A.‎ ‎【3-3】【2017届浙江高三上学期模拟】“直线与平面内的两条直线都垂直”是“直线与平面垂直”的( )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ‎ C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【答案】B.‎ ‎【解析】‎ ‎【领悟技法】‎ 充要关系的几种判断方法 ‎(1)定义法:若 ,则是的充分而不必要条件;若 ,则是的必要而不充分条件;若,则是的充要条件; 若 ,则是的既不充分也不必要条件。‎ ‎(2)等价法:即利用与;与;与的等价关系,对于条件或结论是否定形式的命题,一般运用等价法.‎ ‎(3) 集合关系法:从集合的观点理解,即若满足命题p的集合为M,满足命题q的集合为N,则M是N的真子集等价于p是q的充分不必要条件,N是M的真子集等价于p是q的必要不充分条件,M=N等价于p和q互为充要条件,M,N不存在相互包含关系等价于p既不是q 的充分条件也不是q的必要条件 ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】【2017浙江湖州、衢州、丽水4月联考】已知平面与两条不重合的直线,则“,且”是“”的( )‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】若,则必有,但时,直线与平面可以平行,可以相交,可以在平面内,不一定垂直,因此“”是“”的充分不必要条件,故选A.‎ ‎【变式二】【2017浙江“超级全能生”3月联考】“函数存在零点”是“”的( )‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分不用必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】 ,所以若函数存在零点,则 ,因此“函数存在零点”是“”的必要不充分条件,选B.‎ 考点4 充分条件与必要条件的应用 ‎【4-1】给定两个命题,,若是的必要而不充分条件,则是的 ‎ A.充分不必要条件 B.必要而不充分条件 ‎ C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】由且可得且,所以是的充分不必要条件.‎ ‎【4-2】已知集合,,若成立的一个充分不必要条件是,则实数的取值范围是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【领悟技法】‎ ‎1.充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意:‎ ‎(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.‎ ‎(2)要注意区间端点值的检验.‎ ‎2.对于充要条件的证明问题,可用直接证法,即分别证明充分性与必要性。此时应注意分清楚哪是条件,哪是结论,充分性即由条件证明结论;而必要性则是由结论成立来证明条件也成立,千万不要张冠李戴;也可用等价法,即进行等价转化,此时应注意的是所得出的必须是前后能互相推出,而不仅仅是“推出”一方面(即由前者可推出后者,但后者不能推出前者)。‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】【2017河北衡水押题卷】已知命题:“关于的方程有实根”,若为真命题的充分不必要条件为,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】命题p: , 为,又为真命题的充分不必要条件为,故 ‎【变式二】若f(x)是R上的增函数,且f(-1)=-4,f(2)=2,设P={x|f(x+t)+1<3},Q={x|f(x)<-4},若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件,则实数t的取值范围是(  )‎ A.(-∞,-1] B.(-1,+∞)‎ C.3,+∞) D.(3,+∞)‎ ‎【答案】D ‎【易错试题常警惕】‎ 易错典例:已知不等式成立的充分不必要条件是,则的取值范围是____________.‎ 易错分析,(1)“”是“”的充分条件,但不是必要条件,学生容易看成必要条件;(2)从集合的角度看,若设,,则,学生容易看成.‎ 正确解析:由题意知:是不等式|x-m|<1成立的充分不必要条件.所以是的真子集.而,所以有,解得,所以的取值范围是.‎ 温馨提醒:利用充分条件、必要条件求解参数的值或取值范围是高考的一个重点内容,解答此类问题的关键是从正反两方面考虑,紧扣充分条件、必要条件的定义,若有大前提,在进行正反两方面推理时,大前提都要参与推理,是推理的条件.本例涉及参数问题,直接解决较为困难,先用等价转化思想,将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决.一般地,在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中,常常要利用集合的包含、相等关系来考虑,这是破解此类问题的关键.‎ ‎【素养提升之思想方法篇】‎ ‎---------转化与化归思想 转化与化归思想是指在对问题做细致观察的基础上,展开丰富的联想,把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题,借助旧知识、旧经验来处理新问题的一种重要的思想方法。转化与化归思想在本节中的应用主要是:(1)判断命题真假:原命题和其逆否命题同真同假,原命题的逆命题和原命题的否命题同真同假;(2)充要条件和集合的包含关系间的等价转化等 ‎【典例】已知命题p:命题q:1-m≤x≤1+m,m>0,若q是p的必要而不充分条件,则m的取值范围为________.‎ ‎【答案】   9,+∞)‎
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