上海市曹杨二中2020届高三上学期期中考试数学试题

上海市曹杨二中2020届高三上学期期中考试数学试题

上海市曹杨二中2019学年度第一学期高三年级期中考试数学试卷 一、填空题，(前6期每题4分，后6题每题5分，共54分)‎ ‎1.若(其中为虚数单位)，则___.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将z的共轭复数写出来,再算出模即可 ‎【详解】‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了共轭复数和复数的模,注意计算的正确即可,属于基础题.‎ ‎2.函数的定义域是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由，得，所以，所以原函数定义域为，故答案为.‎ ‎3.已知向量则与的夹角_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量的夹角公式求出与的夹角的余弦值,即可得出与的夹角.‎ ‎【详解】∵‎ ‎∴与的夹角为 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了向量的夹角公式,注意算出非特殊三角函数值在写夹角的时候要用反三角函数表示,不能直接写三角函数值,属于基础题.‎ ‎4.函数的反函数是____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出的值域,即为的定义域,再将中的和调换位置,化简变形用表示,即可得的表达式 ‎【详解】‎ 的值域为 的反函数是,‎ 化简得 即 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了反函数的计算,反函数的定义域是原函数的值域,当定义域不是时,一定要写出定义域.本题属于基础题.‎ ‎5.数列的前项和,则的通项公式 _____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据和之间的关系,应用公式得出结果 ‎【详解】当时,；‎ 当时,；‎ ‎∴‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了和之间的关系式,注意当和时要分开讨论,题中的数列非等差数列.本题属于基础题 ‎6.幂函数(m∈Z)为偶函数,且在区间(0,+∞)上是单调递减函数,则m＝ ．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】因为幂函数(m∈Z)为偶函数，所以为偶数，‎ 因为幂函数(m∈Z)在区间(0,+∞)上是单调递减函数, 所以 因为m∈Z，所以m＝1‎ ‎7.展开式的二项式系数之和为256，则展开式中的系数为_____.‎ ‎【答案】1120‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二项式展开式的二项式系数和为,求出n的值,再写出二项式的通项公式为,当时,即可求出的系数 ‎【详解】展开式的二项式系数之和为 展开式的通项公式 当时,,即 则展开式中的系数为1120‎ 故答案为：1120‎ ‎【点睛】本题考查了二项式展开式的二项式系数和,和二项式展开式的通项公式,属于基础题.‎ ‎8.已知函数点(1,0)是其函数图象的对称中心，轴是其函数图象的对称轴，则的最小值为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为轴是其函数图象的对称轴,所以代入；(1,0)是其函数图象的对称中心,所以代入,作差即可表示出的值,再根据,即可得的最小值.‎ ‎【详解】轴是其函数图象的对称轴,‎ ‎……①‎ ‎∵(1,0)是其函数图象的对称中心 ‎……②‎ ‎②-①,得 当时,有最小值 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数复合函数的对称轴和对称中心的表达式,属于基础题.‎ ‎9.有5条线段，其长度分别为3,4,5,7,9,现从中任取3条，则能构成三角形的概率是_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 从5条线段中任取3条共有10种情况,将能构成三角形的情况数列出,即可得概率.‎ 详解】从5条线段中任取3条,共有种情况,‎ 其中,能构成三角形的有：3,4,5; 3,5,7; 3,7,9; 4,5,7; 4,7,9; 5,7,9. 共6种情况；‎ 即能构成三角形的概率是,‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了古典概型的概率公式,注意统计出满足条件的情况数,再除以总情况数即可,属于基础题.‎ ‎10.记为不大于的最大整数，设有集合,则_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求即需同时满足A集合和B集合的x的取值范围,先根据,比较容易得出解集, 再将B集合的解集代入A集合中,判断出可以成立的值,即可得 ‎【详解】‎ 当时,,‎ 当时,,不满足；‎ 当时,,满足；‎ 当时,,不满足；‎ 当时,,满足；‎ 即同时满足和的值有-1,；‎ 则 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了集合的计算,和取整函数的理解,针对两个集合求交集的情况,可先对较简单的或者不含参数的集合求解,再代入较复杂的或含参数的集合中去计算.本题属于中等题.‎ ‎11. 已知数对按如下规律排列：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），…，则第60个数对是_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据已知条件，在直角坐标系中画出各点，其规律如图所示，因为，可知第个数对落在第11个与平行的直线上的，为.‎ 试题解析：将所给出的点列在平面直角坐标系内，从点开始，各点分别落在与平行的直线上，且第一组有一个点，第二组有两个点，，以此类推第三组有三个点……,则第11组的最后一个数为第66个数，则第60个点为.‎ 考点：一般数列中的项 ‎12.已知实数满足：，则的最小值为______.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题解法较多，具体可考虑采用距离问题、柯西不等式法，判别式法，整体换元法，三角换元法进行求解，具体求解过程见解析 ‎【详解】方法一：距离问题 问题理解为：由对称性，我们研究“双曲线上的点到直线的距离的倍”问题 若相切，则有唯一解 ‎，‎ 两平行线与的距离 所以 方法二：柯西不等式法 补充知识：二元柯西不等式 已知两组数；，则 已知两组数；，则 所以，所以.‎ 方法三：判别式法 设，将其代入，下面仿照方法一即可.‎ 方法四：整体换元 根据对称性，不妨设，‎ 设，则，且 方法五：三角换元 由对称性，不妨设（为锐角）‎ 所以 所以的最小值为2‎ ‎【点睛】本题考查不等式中最值的求解问题，解法较为多样，方法一通过点到直线距离公式进行求解，方法二通过柯西不等式，方法三通过判别式法，方法四通过整体换元法，方法五通过三角换元，每种解法都各有妙处，这也提醒我们平时要学会从多元化方向解题，培养一题多解的能力，学会探查知识点的联系，横向拓宽学科知识面 二、选择题 (每小题5分，共20分)‎ ‎13.抛物线的焦点坐标（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由抛物线方程知焦点在x轴正半轴，且p=4，所以焦点坐标为 ，所以选B。‎ ‎14.己知是空间中两直线，是空间中的一个平面，则下列命题正确的是（ ）‎ A. 已知，若，则 B. 已知，若，则 C. 已知，若，则 D. 已知，若，则 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ A. n和m方向无法确定,不正确；‎ B. 要得到,需要n垂直于平面内两条相交直线,不正确；‎ C. 直线n有可能在平面内,不正确；‎ D. 平行于平面的垂线的直线与此平面垂直,正确.‎ ‎【详解】A. 一条直线与一个平面平行,直线方向无法确定,所以不一定正确；‎ B. 一条直线与平面内两条相交直线垂直,则直线垂直于平面, 无法表示直线n垂直于平面内两条相交直线,所以不一定正确；‎ C. 直线n有可能在平面内,所以不一定正确；‎ D. ,则直线n与m的方向相同,,则,正确；‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查了直线与平面的位置关系的判断,遇到不正确的命题画图找出反例即可.本题属于基础题.‎ ‎15.己知函数，则（ ）‎ A. 仅有有限个m，使得有零点 B. 不存在实数m,使得有零点 C. 对任意的实数m，使得有零点 D. 对任意的实数m,使得零点个数为有限个 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数解析式利用辅助角公式化简成,将看成一个整体,取值范围为,令,得,由得有无数解.‎ 详解】‎ 令,得 又的取值范围为 对任意的实数m,都有无数解.‎ 即对任意的实数m,使得有零点.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了辅助角公式的化简运用,遇到的形式时,首先化为,再去计算要解答的问题.本题属于中等题.‎ ‎16.已知是数列的前项和,且,若，则的最小值（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将化简成的形式,再分奇偶不同的情况,用并项求和法求出的值,和累加法求出的值,代入即可将用表示出来,最后化简得,根据基本不等式或二次函数的最值,求出的最小值是4‎ ‎【详解】由得,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎……‎ ‎,‎ 由奇数平方和公式得,‎ ‎. ‎ 当n为奇数时,‎ ‎,,‎ 两式作差得,‎ 则,‎ ‎,‎ ‎……‎ 累加得,‎ ‎,‎ 由自然数平方和公式得,‎ 则 又 ‎,根据基本不等式,‎ 当且仅当,即时,‎ 即的最小值是4,‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查了并项求和法、累加法、基本不等式的综合运用,尤其当奇偶项通项公式不同(或者符号不同)时,要分n为奇数和n为偶数的情况去讨论,得到通项公式更简单的形式,再去化简.另外当求取值范围的表达式中含有超过一个未知数时,需通过消元法或者基本不等式针对表达式变形.本题属于难题.‎ 三、解答题：(共76分)‎ ‎17.如图所示，在长方体中，， 为棱上—点.‎ ‎(1) 若，求异面直线和所成角的大小；‎ ‎(2) 若，求证平面.‎ ‎【答案】(1) ；(2)证明详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1) 由,得是异面直线和所成角,由此能示出异面直线和所成角的正切值；‎ ‎(2) 时,由勾股定理逆定理得,,由此能证明平面.‎ ‎【详解】(1),‎ 是异面直线和所成角,‎ ‎∵在长方体中,平面,‎ ‎,‎ ‎,,,M为棱上一点,,‎ ‎,‎ ‎,‎ 即异面直线和所成角的大小为.‎ ‎(2) 时,,‎ ‎,.‎ ‎,,‎ ‎,‎ ‎,‎ 又,平面.‎ ‎【点睛】本题考查异面直线所成角的正切值的求法,考查直线与平面的证明,解题时要注意空间思维能力的培养.‎ ‎18.已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为,过作斜率不为零的直线与椭圆交于两点，的周长为，椭圆上一点与连线的斜率之积（点不是左右顶点）.‎ ‎（1）求该椭圆方程；‎ ‎（2）已知定点,求椭圆上动点N与M点距离的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由的周长为8求得a,然后结合求得b点的值,则椭圆方程可求; ‎ ‎（2）设出N的坐标,利用两点间的距离公式得到关于N的纵坐标的函数,然后分类求出椭圆上动点N与M点距离的最大值.‎ ‎【详解】（1）如图,由的周长为8,得,即.‎ ‎,,‎ 设,则.‎ 又,得,‎ 即,.‎ 则椭圆方程为:. ‎ ‎（2）设椭圆上,‎ 又,‎ ‎.‎ 则当时, .‎ 即求椭圆上动点N与M点距离的最大值为 ‎【点睛】本题考查椭圆的简单性质,考查椭圆方程的求法,训练了利用配方法求函数的最值,是中档题.‎ ‎19.某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位m），如示意图，垂直放置的标杆BC高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β ‎（1）该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24,tanβ=1.20,,请据此算出H的值 ‎（2）该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d（单位m），使α与β之差较大，可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为125m，问d为多少时，α-β最大 ‎【答案】（1）124m.（2）55m.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】(1)由及AB＋BD＝AD，得，解得H＝＝124.‎ 因此，算出的电视塔的高度H是124m.‎ ‎(2)由题设知d＝AB，得tanα＝.‎ 由AB＝AD－BD＝，得tanβ＝，‎ 所以tan(α－β)＝，‎ 当且仅当d＝，即d＝＝55时，上式取等号．所以当d＝55时，tan(α－β)最大．因为0<β<α<，则0<α－β<，所以当d＝55时，α－β最大．故所求d是55m.‎ ‎20.已知函数.‎ ‎（1）若时,的解集为时，求实数的值；‎ ‎（2）若对任意,存在,使，求实数的范围；‎ ‎（3）集合，若,求实数a的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）的解集为,则,代入即可解得b的值；‎ ‎（2）存在,使,则当时即可,再根据和分别求出b的范围,再取并集即可；‎ ‎（3）设,,因为,所以,且当时,无解,再根据二次函数的性质得出,代入二次函数解析式解得,再根据得出,以及得出,最终取交集得出a的取值范围.‎ ‎【详解】（1）的解集为,且是二次函数,‎ 解得. ‎ ‎（2）存在,使,则当时即可 是开口向上的二次函数 或 ‎①若 则 对任意都成立 ‎,即；‎ ‎②若 则 对任意都成立 ‎,即；‎ 要存在,使 和中只需一值>0即可,‎ 即实数的范围为 ‎（3）设,,‎ ‎,且当时,无解 设,且,‎ 则,‎ ‎∴当时,无解 若,又 ‎∴当时,一定有解 又,‎ ‎,即 令或0‎ 又且 即a的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查了二次函数的性质及一元二次不等式的解法、二次函数最值的求法,遇到二次函数的性质不熟悉时,还可以采取画图的方法研究，写过程时详细地讨论.本题属于中等题.‎ ‎21.已知数列和,记.‎ ‎(1)若，求；‎ ‎(2)若，求关于m的表达式；‎ ‎(3)若数列和均是项数为项的有穷数列.，现将和中的项一一取出，并按照从小到大的顺序排成一列，得到.求证：对于给定的，的所有可能取值的奇偶性相同.‎ ‎【答案】(1) ,；(2) ；(3)证明详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)将的值算出,代入即可；‎ ‎(2)遇绝对值要去绝对值,讨论的正负,分成两种情况去求的表达式；‎ ‎(3)因为交换和的值,的值不变,所以去绝对值等于和中的大值减小值,不妨设为和中的大值,为和中的小值,则,而当m确定时,为定值,即和的奇偶性相同.‎ ‎【详解】(1)‎ ‎(2)若,求关于m的表达式；‎ ‎①当时,‎ 则当时,‎ ‎②当时,‎ 则当时,‎ ‎(3)设,,‎ 则 设,,‎ 则 恒为偶数,‎ 与的奇偶性相同,‎ 对于给定的,的奇偶性确定了,则的奇偶性也确定了.‎ 即对于给定的,的所有可能取值的奇偶性相同.‎ ‎【点睛】本题考查了数列相关的计算和新定义的理解,针对新定义类型题目,首先要仔细读懂题目,将问题所给具体情况代入新定义中去理解.本题属于难题.‎ ‎ ‎