数学文卷·2018届安徽省蚌埠一中高三上学期期中考试（2017

数学文卷·2018届安徽省蚌埠一中高三上学期期中考试（2017

蚌埠一中2017-2018学年度第一学期期中考试 高三数学（文）‎ 考试时间120分钟 试卷分值100分 命题人徐杰 一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。‎ ‎1．已知集合， ，则=（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2．已知为虚数单位，若复数在复平面内对应的点在第四象限，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3．下列函数中，与函数的单调性和奇偶性一致的函数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4．已知双曲线： 与双曲线： ，给出下列说法，其中错误的是（ ）‎ A. 它们的焦距相等 B. 它们的焦点在同一个圆上 C. 它们的渐近线方程相同 D. 它们的离心率相等 ‎5.在区间中随机取一个实数，则事件“直线与圆相交”发生的概率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6．若倾斜角为的直线与曲线相切于点，则的值为（ ）‎ A. B. 1 C. D. ‎ ‎7．已知命题是简单命题，则“是假命题”是“是真命题”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要 ‎8．执行如图所示的程序框图，则输出的值为（ ）‎ A. 1009 B. -1009 C. -1007 D. 1008‎ ‎.‎ ‎9．已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10．已知函数的部分图象如图所示，则函数图象的一个对称中心可能为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于 两点，；则的实轴长为（ ）‎ ‎ ‎ ‎12．若函数在单调递增，则a的取值范围是 ‎（A）（B）（C）（D）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．已知， ，若向量与共线，则__________．‎ ‎14.设满足约束条件，记的最小值为，则函数的图像恒过定点．‎ ‎15.在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，，则．‎ ‎16．四面体的四个顶点都在球的表面上，，，，平面，则球的表面积为______________‎ 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（12分）已知函数（），数列的前项和为，点在图象上，且的最小值为.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）数列满足，记数列的前项和为，求证： .‎ ‎18．（12分）如图，点在以为直径的圆上， 垂直与圆所在平面， 为的垂心.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）若，点在线段上，且，求三棱锥的体积.‎ ‎19．（12分）2017高考特别强调了要增加对数学文化的考查，为此某校高三年级特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷（文、理科试卷满分均为100分），并对整个高三年级的学生进行了测试.现从这些学生中随机抽取了50名学生的成绩，按照成绩为， ，…， 分成了5组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于50分）.‎ ‎（1）求频率分布直方图中的的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；‎ ‎（2）若高三年级共有2000名学生，试估计高三学生中这次测试成绩不低于70分的人数；‎ ‎（3）若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的三组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人参加这次考试的考后分析会，试求后两组中至少有1人被抽到的概率.‎ ‎20. （12分）已知点是圆上任意一点，点与点关于原点对称，线段的垂直平分线分别与，交于，两点.‎ ‎（1）求点的轨迹的方程；‎ ‎（2）过点的动直线与点的轨迹交于，两点，在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎21. （12分）已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间和极值； ‎ ‎（Ⅱ）若对任意的恒成立，求实数的取值范围．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．（10分）选修4-4: 坐标系与参数方程 已知直线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线的极坐标方程为，且曲线的左焦点在直线上． (1) 若直线与曲线交于两点，求的值； (2) 求曲线的内接矩形的周长的最大值．‎ ‎23．（10分）选修4-5: 不等式选讲 已知函数． (1)求不等式 的解集； (2) 若关于的不等式有解，求的取值范围．‎ 一、选择题 ‎1． D ‎2．B ‎3．D ‎4．D ‎5.B ‎6．D ‎7．A ‎8．B ‎9．C ‎10． C ‎11.‎ ‎12．C 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13． ‎ ‎14. ‎ ‎15.‎ ‎16．‎ 三、解答题 ‎17．已知函数（），数列的前项和为，点在图象上，且的最小值为.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）数列满足，记数列的前项和为，求证：.‎ ‎【答案】（1）.（2）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据二次函数的最值可求得的值，从而可得，进而可得结果；（2）由（1）知，裂项相消法求和，放缩法即可证明.‎ 试题解析：（1），‎ 故的最小值为.‎ 又，所以，即.‎ 所以当时，；‎ 当时，也适合上式，‎ 所以数列的通项公式为.‎ ‎（2）证明：由（1）知，‎ 所以，‎ 所以.‎ ‎18．如图，点在以为直径的圆上，垂直与圆所在平面，为的垂心.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）若，点在线段上，且，求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）见解析;（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）延长交于点，先证明，再证明平面，即平面；（2）由（1）知平面，所以就是点到平面的距离，再证明，从而利用棱锥的体积公式可得结果.‎ 试题解析：（1）如图，延长交于点.‎ 因为为的重心，所以为的中点.‎ 因为为的中点，所以.‎ 因为是圆的直径，所以，所以.‎ 因为平面，平面，所以.‎ 又平面，平面，，‎ 所以平面，即平面.‎ 又平面，所以平面平面.‎ ‎（2）解：由（1）知平面，‎ 所以就是点到平面的距离.‎ 由已知可得，，‎ 所以为正三角形，‎ 所以.又点为的重心，‎ 所以.‎ 故点到平面的距离为.‎ 所以.‎ ‎19．2017高考特别强调了要增加对数学文化的考查，为此某校高三年级特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷（文、理科试卷满分均为100分），并对整个高三年级的学生进行了测试.现从这些学生中随机抽取了50名学生的成绩，按照成绩为，，…，分成了5组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于50分）.‎ ‎（1）求频率分布直方图中的的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；‎ ‎（2）若高三年级共有2000名学生，试估计高三学生中这次测试成绩不低于70分的人数；‎ ‎（3）若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的三组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人参加这次考试的考后分析会，试求后两组中至少有1人被抽到的概率.‎ ‎【答案】（1），平均数是74，中位数是；（2）1200；（3）．‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据个矩形面积和为可得第4组的频率为，从而可得结果；（2）由（1）可知，50名学生中成绩不低于70分的频率为，从而可得成绩不低于70分的人数；（3）根据分层抽样方法可得这三组中所抽取的人数分别为3,2,1，列举出中任抽取3人的所有可能结果共20种，其中后两组中没有人被抽到的可能结果只有1种，由古典概型概率公式可得结果.‎ ‎（1）由频率分布直方图可得第4组的频率为，‎ 故.‎ 故可估计所抽取的50名学生成绩的平均数为 ‎（分）.‎ 由于前两组的频率之和为，前三组的频率之和为，故中位数在第3组中.‎ 设中位数为分，‎ 则有，所以，‎ 即所求的中位数为分.‎ ‎（2）由（1）可知，50名学生中成绩不低于70分的频率为，‎ 由以上样本的频率，可以估计高三年级2000名学生中成绩不低于70分的人数为.‎ ‎（3）由（1）可知，后三组中的人数分别为15,10,5，故这三组中所抽取的人数分别为3,2,1.记成绩在这组的3名学生分别为，，，成绩在这组的2名学生分别为，，成绩在这组的1名学生为，则从中任抽取3人的所有可能结果为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20种.‎ 其中后两组中没有人被抽到的可能结果为，只有1种，‎ 故后两组中至少有1人被抽到的概率为.‎ ‎20.已知点是圆上任意一点，点与点关于原点对称，线段的垂直平分线分别与，交于，两点.‎ ‎（1）求点的轨迹的方程；‎ ‎（2）过点的动直线与点的轨迹交于，两点，在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎20.解：(I)由题意得 点的轨迹为以为焦点的椭圆 点的轨迹的方程为 ‎(II)直线的方程可设为，设 联立可得 由求根公式化简整理得 假设在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个点，则 即 求得 因此，在轴上存在定点，使以为直径的圆恒过这个点.‎ ‎21.已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间和极值；‎ ‎（Ⅱ）若对任意的恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎21.解（Ⅰ）函数的定义域为，，‎ 令，得；令，得．‎ 故当时，单调递减；当时，单调递增．‎ 故当时，取得极小值，‎ 且，无极大值．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，．‎ 要使对恒成立，‎ 只需对恒成立，‎ 即，即对恒成立，‎ 令，则，‎ 故时，所以在上单调递增，‎ 故，‎ 要使对恒成立，‎ 只需，‎ 所以，‎ 即实数的取值范围是．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．选修4-4: 坐标系与参数方程 已知直线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线的极坐标方程为，且曲线的左焦点在直线上． (1) 若直线与曲线交于两点，求的值； (2) 求曲线的内接矩形的周长的最大值． 22．(1) 曲线的直角坐标系方程为: ∴‎ ‎∴直线的参数方程为（为参数）‎ 将代入得：‎ 设两点所对应的参数为，则∴ (2) 设为内接矩形在第一象限的顶点　　， 则矩形的周长 ‎∴当即时周长最大，最大值为16．‎ ‎23．选修4-5: 不等式选讲 已知函数． (1)求不等式的解集； (2) 若关于的不等式有解，求的取值范围． 23．（1）‎ ‎∴不等式的解集为 ‎（2）由（1）得在上为减函数，在上为增函数 ‎∴‎ ‎∴有解，只须 ‎∴的取值范围为：‎