高考数学考点12 导数的应用

高考数学考点12 导数的应用

1 考点 12 导数的应用 1．导数在研究函数中的应用 （1）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函 数一般不超过三次）. （2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函 数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）. 2．生活中的优化问题 会利用导数解决某些实际问题. 一、导数与函数的单调性 一般地，在某个区间(a,b)内： （1）如果 ，函数 f (x)在这个区间内单调递增; （2）如果 ，函数 f (x)在这个区间内单调递减; （3）如果 ，函数 f (x)在这个区间内是常数函数． 注意：（1）利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号； （2）在某个区间内， ( )是函数 f (x)在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必 要条件.例如，函数 在定义域 上是增函数，但 . （3）函数 f (x)在(a,b)内单调递增(减)的充要条件是 ( )在(a,b)内恒成立，且 在 (a,b)的任意子区间内都不恒等于 0.这就是说，在区间内的个别点处有 ,不影响函数 f (x)在区间 内的单调性.-网 二、利用导数研究函数的极值和最值 1．函数的极值 一般地，对于函数 y=f (x)， （1）若在点 x=a 处有 f ′(a)=0，且在点 x=a 附近的左侧 ，右侧 ，则称 x=a 为 f (x)的 极小值点， 叫做函数 f (x)的极小值. （2）若在点 x=b 处有 =0，且在点 x=b 附近的左侧 ，右侧 ，则称 x=b 为 f (x) 的极大值点， 叫做函数 f (x)的极大值． ( ) 0f x  ( ) 0f x  ( )=0f x ( ) 0f x  ( ) 0f x  3( )f x x ( , )  2( ) 3 0f x x   ( ) 0f x  ( ) 0f x  ( )f x ( ) 0f x  ( ) 0f ' x  ( ) 0f ' x  ( )f a ( )f ' b ( ) 0f ' x  ( ) 0f ' x  ( )f b 2 （3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值. 2．函数的最值 函数的最值，即函数图象上最高点的纵坐标是最大值，图象上最低点的纵坐标是最小值，对于最值，我 们有如下结论：一般地，如果在区间 上函数 的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有 最大值与最小值. 设函数 在 上连续，在 内可导，求 在 上的最大值与最小值的步骤为： （1）求 在 内的极值； （2）将函数 的各极值与端点处的函数值 ， 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一 个是最小值. 3．函数的最值与极值的关系 （1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间 的整体而言； （2）在函数的定义区间 内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或 者没有）； （3）函数 f (x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点； （4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得. 三、生活中的优化问题 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.导数是求函数 最值问题的有力工具. 解决优化问题的基本思路是： 考向一 利用导数研究函数的单调性 1．利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式 （ ）在给定区间上恒成立．一般步骤为： [ , ]a b  y f x  f x [ , ]a b ( , )a b  f x [ , ]a b  f x ( , )a b  f x ( )f a ( )f b [ , ]a b [ , ]a b ( ) 0f x  ( ) 0f x  3 （1）求 f ′(x)； （2）确认 f ′(x)在(a,b)内的符号； （3）作出结论， 时为增函数， 时为减函数． 注意：研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论． 2．在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解题过程中，只能在定义域内讨论，定义 域为实数集 可以省略不写.在对函数划分单调区间时，除必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定 义域内的不连续点和不可导点. 3．由函数 的单调性求参数的取值范围的方法 （1）可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上 (或 )( 在该区间的 任意子区间内都不恒等于 0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值 范围； （2）可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是 (或 )在该区间上存在解集， 这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题； （3）若已知 在区间 I 上的单调性，区间 I 中含有参数时，可先求出 的单调区间，令 I 是其 单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围. 4．利用导数解决函数的零点问题时，一般先由零点的存在性定理说明在所求区间内至少有一个零点，再利 用导数判断在所给区间内的单调性，由此求解. 典例 1 已知函数 ，其中 . （1）函数 的图象能否与 轴相切?若能，求出实数 ，若不能，请说明理由； （2）讨论函数 的单调性. ( ) 0f x  ( ) 0f x  R  f x   0f x    0f x   f x ( ) 0f x  ( ) 0f x   f x  f x 4 （2）由于 ， 当 时， ，当 时， ， 单调递增， 当 时， ， 单调递减； 当 时，由 得 或 ， ①当 时， ， 当 时， ， 单调递增， 当 时， ， 单调递减， 当 ， ， 单调递增； ②当 时， ， 单调递增； ③当 时， ， 当 时， ， 单调递增， 当 时， ， 单调递减， 当 时， ， 单调递增. 综上，当 时， 在 上是减函数，在 上是增函数； 当 时， 在 上是增函数，在 上是减函数； 当 时， 在 上是增函数； 当 时， 在 上是增函数，在 上是减函数. 典例 2 设函数 .2( ) e lnxf x a x  5 （1）讨论 的导函数 的零点的个数； （2）证明：当 时， . （2）由（1），可设 在 上的唯一零点为 . 当 时， ;当 时， . 故 在 上单调递减，在 上单调递增，所以当 时， 取得最小值，最小值为 . 由于 ，所以 （当且仅当 ， 即 时，等号成立）. 故当 时， . 1．已知函数 . （1）当 时，求 在 处的切线方程； （2）若函数 在 上单调递减，求实数 的取值范围. 考向二 利用导数研究函数的极值和最值 1．函数极值问题的常见类型及解题策略 （1）函数极值的判断：先确定导数为 0 的点，再判断导数为 0 的点的左、右两侧的导数符号． ( )f x ( )f x 0a  2( ) 2 lnf x a a a  ( )f x¢ (0 + )，¥ 0x 0(0 )x x,Î ( ) 0f x¢ < 0( + )x x ，Î ¥ ( ) 0f x¢ > ( )f x 0(0 )x, 0( + )x ，¥ 0x x= ( )f x 0( )f x 02 0 2e =0x a x- 02 0 0 0 0 2 2( )=e ln 2 ln 2 ln2 x af x a x ax a a ax a a- = + + ³ + 0 0 22 a axx = 0 1 2x  0a > 2( ) 2 lnf x a a a³ +   3 2e 23 x xf x a x x     aR 1a   y f x 0x   f x  1,1 a 6 （2）求函数 极值的方法： ①确定函数 的定义域． ②求导函数 ． ③求方程 的根． ④检查 在方程的根的左、右两侧的符号，确定极值点．如果左正右负，那么 在这个根处取 得极大值；如果左负右正，那么 在这个根处取得极小值；如果 在这个根的左、右两侧符号 不变，则 在这个根处没有极值． （3）利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数 ，求方程 的根的情况， 得关于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的取值或范围. 2．求函数 f (x)在[a,b]上最值的方法 （1）若函数 f (x)在[a,b]上单调递增或递减，f (a)与 f (b)一个为最大值，一个为最小值． （2）若函数 f (x)在区间(a,b)内有极值，先求出函数 f (x)在区间(a,b)上的极值，与 f (a)、f (b)比较，其中 最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． （3）函数 f (x)在区间(a,b)上有唯一一个极值点时，这个极值点就是最大(或最小)值点． 注意：（1）若函数中含有参数时，要注意分类讨论思想的应用. （2）极值是函数的“局部概念”，最值是函数的“整体概念”，函数的极值不一定是最值，函数的最值也 不一定是极值.要注意利用函数的单调性及函数图象直观研究确定. 3．利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法： （1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值， 根据要求得所求范围.一般地， 恒成立，只需 即可； 恒成立，只需 即可. （2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)， 然后构建不等式求解.  f x  f x  f x   0f x   f x  f x  f x  f x  f x  f x   0f x  ( )f x a min( )f x a ( )f x a max( )f x a 7 典例 3 已知函数 ． （1）当 时，试判断函数 的单调性； （2）若 ，求证：函数 在 上的最小值小于 ． （2）由（1）知 在 上单调递增， 因为 ，所以 ， 所以存在 ，使得 ，即 ，即 ， 所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，所以当 时 ，令 ， ， 则 恒成立， 所以函数 在 上单调递减，所以 ， 所以 ，即当 时 ， 故函数 在 上的最小值小于 ． 典例 4 已知函数 ， . （1）若曲线 与曲线 在它们的交点处的公共切线为 ，求 ， ， 的值； （2）当 时，若 ， ，求 的取值范围. 【解析】（1）设它们的公共交点的横坐标为 ， 21( ) e 2 xf x axx    1a   ( )f x 1 ea   ( )f x [1, ) 1 2 ( )f ' x [1, ) 1 ea   ( ) e 11 0f ' a    (1, )t   ( ) 0f ' t  e 0t t a   eta t  ( )f x [1, )t ( , )t  [1, )x  2 2 2 min 1 1 1( ) ( ) e e ( e ) e (1 )2 2 2 t t t tf f t at t t t t tx t           21( ) e (1 ) 2 xh x xx    1x  ( ) (1 e ) 0xh' x x   ( )h x (1, ) 21 1( ) e(1 1) 12 2h x      21 1e (1 ) 2 2 t t t   [1, )x  min 1( ) 2xf  ( )f x [1, ) 1 2 8 则 . ，则 ， ①； ，则 ， ②. 由②得 ，由①得 . 将 ， 代入 得 ，∴ ， . （2）由 ，得 ， 即 在 上恒成立， 令 ， 则 ， 其中 在 上恒成立， ∴ 在 上单调递增，在 上单调递减， 则 ，∴ . 故 的取值范围是 . 2．已知函数 ，其中 为实常数. （1）若 是 的极大值点，求 的极小值； （2）若不等式 对任意 ， 恒成立，求 的最小值. 考向三 （导）函数图象与单调性、极值、最值的关系 1．导数与函数变化快慢的关系：如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变 化得快，这时函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数的图象就“平缓”一些. 2．导函数为正的区间是函数的增区间，导函数为负的区间是函数的减区间，导函数图象与 x 轴的交点的横 坐标为函数的极值点.学！   1lnf x a x x x   a 1 2x   f x  f x 1lna x b xx   5 02 a   1 22 x  9 典例 5 设函数 （ ， ， ），若函数 在 处取得极值，则下列 图象不可能为 的图象是 【答案】D 【解析】 ，因为函数 在 处取得极值， 所以 是 的一个根，整理可得 ，所以 ，对称轴为 . 对于 A,由图可得 ，适合题意； 对于 B,由图可得 ，适合题意； 对于 C,由图可得 ，适合题意； 对于 D,由图可得 ，不适合题意，故选 D. 3．已知函数 的导函数 的图象如图所示，则函数 A．有极大值，没有最大值 B．没有极大值，没有最大值 C．有极大值，有最大值 D．没有极大值，有最大值 2( )f x ax bx c   a b cR ( )exy f x 1x   ( )y f x 2( )e ( )e e [ (2 ) ]x x xy f x f x ax a b x b c        ( )exy f x 1x   1x   2 (2 ) 0ax a b x b c     c a 2( )f x ax bx a   , ( 1) 2 , (0)2 bx f a b f aa      0, (0) 0, ( 1) 0a f f    0, (0) 0, ( 1) 0a f f    0, (0) 0, 0 0, ( 1) 02 ba f x b fa          0, (0) 0, 1 2 , ( 1) 02 ba f x b a fa           10 考向四 生活中的优化问题 1．实际生活中利润最大，容积、面积最大，流量、速度最大等问题都需要利用导数来求解相应函数的最大 值.若在定义域内只有一个极值点，且在极值点附近左增右减，则此时唯一的极大值就是最大值. 2．实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等问题都需要利用导数求解相应函数的最小值. 用料最省、费用最低问题出现的形式多与几何体有关，解题时根据题意明确哪一项指标最省(往往要从几 何体的面积、体积入手)，将这一指标表示为自变量 x 的函数，利用导数或其他方法求出最值，但一定要 注意自变量的取值范围． 典例 6 如图，点 为某沿海城市的高速公路出入口，直线 为海岸线， ， ， 是以 为 圆心，半径为 的圆弧型小路.该市拟修建一条从 通往海岸的观光专线 ，其中 为 上异于 的一点， 与 平行，设 . （1）证明：观光专线 的总长度随 的增大而减小； （2）已知新建道路 的单位成本是翻新道路 的单位成本的 2 倍.当 取何值时，观光专线 的修 建总成本最低？请说明理由. 【解析】（1）由题意， ，所以 ， 又 ， 所以观光专线的总长度为 ， ， 因为当 时， ， CP PQ CP PQ CP CP PQ  π 3CP   11 所以 在 上单调递减， 即观光专线 的总长度随 的增大而减小. 答：当 时，观光专线 的修建总成本最低. 4．某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为 r 米，高为 h 米，体积为 V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为 100 元/平方米，底面的建造成本为 160 元 /平方米，该蓄水池的总建造成本为 12000π 元（π 为圆周率）． （1）将 V 表示成 r 的函数 V(r)，并求该函数的定义域； （2）讨论函数 V(r)的单调性，并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积最大． 1．已知函数 （e 是自然对数的底数），则 的极大值为 A．2e-1 B． C．1 D．2ln2 2．已知函数 ，则 的单调递减区间为 CP PQ CP PQ    2e e ln e xf x f x  ( )f x 12 A． B． C． 和 D． 和 3．函数 在闭区间 上的最大值，最小值分别是 A． B． C． D． 4．设定义在 上的函数 的导函数 满足 ，则 A． B． C． D． 5．若函数 在 上有最小值，则 的取值范围为 A． B． C． D． 6．已知函数 ，函数 有两个零点，则实数 的取值范围为 A． B． C． D． 7．已知函数 f (x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数 y＝f ′(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，则下列说法中不 正确的序号是________．学！ ①当 x＝ 时函数取得极小值； ②f(x)有两个极值点； ③当 x＝2 时函数取得极小值； ④当 x＝1 时函数取得极大值． 8．已知函数 ．若函数 在定义域内不是单调函数，则实数 的取值范围是   2 2 , 2e 2, 2 x x x xf x x x        13 __________． 9 ． 定 义 在 上 的 函 数 满 足 ， 则 当 时 ， 与 的 大 小 关 系 为 __________.(其中 为自然对数的底数) 10．用一张 的长方形纸片，经过折叠以后，糊成了一个无盖的长方体形纸盒，则这个纸盒的 最大容积是_________ . 11．已知函数 在 处取得极值 . （1）求 a、b 的值； （2）若 有极大值 28，求 在 上的最小值. 12．如图，有一块半圆形空地，开发商计划建一个矩形游泳池 ABCD 及其矩形附属设施 EFGH，并将剩余 空地进行绿化，园林局要求绿化面积应最大化．其中半圆的圆心为 O，半径为 R，矩形的一边 AB 在直径 上，点 C、D、G、H 在圆周上，E、F 在边 CD 上，且 ，设 . （1）记游泳池及其附属设施的占地面积为 ，求 的表达式； （2）当 为何值时，能符合园林局的要求？ 13．设函数 . （1）讨论函数 的单调性； （2）若 ，且 在区间 上恒成立，求 的取值范围. 16cm 10cm 3cm 3( )f x ax bx c   2x  16c  ( )f x ( )f x [ 3,3] π 3BOG  BOC    f   f  cos 14 14．设 . （1） 在 上单调，求 的取值范围； （2）已知 在 处取得极小值，求 的取值范围. 15．已知函数 ． （1）若曲线 的切线 经过点 ，求 的方程； （2）若方程 有两个不相等的实数根，求 的取值范围． 1．（2017 新课标全国Ⅱ理科）若 是函数 的极值点，则 的极小值为 A． B． C． D．1 2．（2017 浙江）函数 y=f(x)的导函数 的图象如图所示，则函数 y=f(x)的图象可能是 2x   2 1( ) ( 1)exf x x ax    ( )f x 1 32e 35e ( )y f x 15 3．（2017 新课标全国Ⅲ理科）已知函数 有唯一零点，则 a= A． B． C． D．1 4．（2018 新课标全国Ⅰ理科）已知函数 ，则 的最小值是_____________． 5．（2017 浙江）已知函数 f(x)=（x– ） （ ）． （1）求 f(x)的导函数； （2）求 f(x)在区间 上的取值范围． 6．（2018 新课标全国Ⅰ理科）已知函数 ． （1）讨论 的单调性； （2）若 存在两个极值点 ，证明： ． 7．（2018 新课标全国Ⅲ理科）已知函数 ． （1）若 ，证明：当 时， ；当 时， ； （2）若 是 的极大值点，求 ． 2 1 1( ) 2 (e e )x xf x x x a       1 2 1 3 1 2   2sin sin 2f x x x   f x 2 1x  e x 1 2x  1[ + )2 ， 1( ) lnf x x a xx   ( )f x ( )f x 1 2,x x    1 2 1 2 2f x f x ax x         22 ln 1 2f x x ax x x     0a  1 0x     0f x  0x    0f x  0x   f x a 16 8．（2018 新课标全国Ⅱ理科）已知函数 ． （1）若 ，证明：当 时， ； （2）若 在 只有一个零点，求 ． 9．（2018 江苏）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆 O 的一段圆弧 （P 为此圆弧的中点） 和线段 MN 构成．已知圆 O 的半径为 40 米，点 P 到 MN 的距离为 50 米．现规划在此农田上修建两个 温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形 ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为 ，要求 均在线段 上， 均在圆弧上．设 OC 与 MN 所成的角为 ． （1）用 分别表示矩形 和 的面积，并确定 的取值范围； （2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 ．求当 为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 参考答案 1．【解析】（1） ， ， ， . 2( ) exf x ax  1a  0x  ( ) 1f x  ( )f x (0, ) a MPN CDP△ ,A B MN ,C D   ABCD CDP△ sin 4 3∶  变式拓展 1a    3 2e 23 x xf x x x       2e 2 2xf x x x      0 1k f    17 ， 在 处的切线方程为 ，即 . （2） ， 在 上单调递减， 在 上恒成立，即 在 上恒成立，记 ， 恒成立，且显然 不是常数函数， 在 上单调递减， ， ， 实数 的取值范围是 . （2）不等式 即为 ， 所以 . ①若 ，则 ， . 当 ， 时取等号； ②若 ，则 ， .  0 1f    y f x 0x   1 0y x    1 0x y     2e 2 2xf x a x x      f x  1,1    2e 2 2 0xf x a x x      1,1 2 2 2 ex x xa    1,1   2 2 2 ex x xg x      2 0ex xg x    g x   g x  1,1    min 51 eg x g   5 ea   a 5 ea  18 由（1）可知 在 上为减函数. 所以当 时， . 因为 ，所以 . 于是 . 3．【答案】A 【解析】由题意，函数 的图象可知， 当 时，函数 先增后减；当 时，函数 先减后增， 所以函数 有极大值，没有最大值，故选 A． （2）因为 V(r)＝ (300r－4r3)，故 V′(r)＝ (300－12r2)． 令 ，解得 r1＝5，r2＝－5(因为 r2＝－5 不在定义域内，舍去)． 当 r∈(0,5)时， ，故 V(r)在(0,5)上为增函数； 当 r∈(5, )时，V′(r)＜0，故 V(r)在(5, )上为减函数． 由此可知， 在 r＝5 处取得最大值，此时 h＝8. 即当 r＝5，h＝8 时，该蓄水池的体积最大． 1．【答案】D π 5 π 5   0V r    0V r  5 3 5 3  V r 考点冲关 19 【解析】 ， ，令 得 ， 故 的极大值为 ，选 D． 2．【答案】C 【解析】由题得 ，解不等式 得 x＜e. ∵x＞0，x≠1，∴0＜x＜1 和 1＜x＜e.∴函数 的单调递减区间为 和 . 3．【答案】D 【解析】由 ，得 x=±1，当 时， ；当 时， ， 当 x＞1 时， ，故 的极小值、极大值分别为 ， ，而 ， ，故函数 在[-3，0]上的最大值、最小值分别是 3、-17. 4．【答案】A 【解析】由定义在 上的函数 的导函数 满足 ，则 ，即 ， 设 ，则 ，所以函数 在 上为单调递增函数， 则 ，即 ，所以 ，故选 A． 5．【答案】A 【解析】∵函数 ，∴ ， 当 时， ，即函数 在 上为减函数； 当 时， ，即函数 在 上为增函数. ∴ . ∵函数 在 上有最小值，∴ .故选 A． 6．【答案】C          2e e 2e e1 1 1, e , ee e e e f ff x f fx         Q   2 1 ef x x   ( ) 0,f x  2ex   2e 2ln2e 2 2ln2f    1x   ( ) 0f x  1 1x   ( ) 0f x  ( ) 0f x  ( 1) 3f   (1) 1f   ( 3) 17f    (0) 1f           2 2 e 2 e e 1 2 2 x x xx xf x x x        20 【解析】当 时，设 ，则 ， 易知当 时， ，即 是减函数，∴ 时， ， 又 时， 且 ，而 时， 是增函数， ． 有两个零点，即 的图象与直线 有两个交点，所以 ，故选 C． 7．【答案】① 【解析】由图可知 1 为极大值点，2 是极小值点，故②③④正确，①错. 9．【答案】 【解析】由题得 ，即 ，所以函数 在 R 上单调递减， 因为 m>0,所以 ，故填 . 10．【答案】 【解析】设剪下的四个正方形的边长为 ，则经过折叠以后，糊成的长方体形纸盒是一个底面是长为 ，宽为 长方形，其面积为 ，长方体的高为 ，体积为 , ，由 得函 数 在 上单调递增，由 得函数 在 上单调递减，所以这个纸盒的最大容积是 . 144 x 16 2x 10 2x 的   16 2 10 2x x  x     3 216 2 10 2 4 52 160 0 5V x x x x x x x           2012 2 3V x x      ' 0,V   3 24 52 160 0 5V x x x x      0,2 ' 0,V   3 24 52 160 0 5V x x x x      2,5     3 max 2 144cmV x V  21 11．【解析】（1）因为 ，所以 . 由于 在点 处取得极值 ，故有 ，即 ，化简得 ，解得 . （2）由（1）知 ， . 令 ，得 . 当 时， ，故 在 上为增函数； 当 时， ，故 在 上为减函数； 当 时， ，故 在 上为增函数. 由此可知 在 处取得极大值 ， 在 处取得极小值 . 由题设条件知 ，得 ， 此时 ， 因此 在 上的最小值为 . 12．【解析】（1）由题意， ， ，且 为等边三角形， 所以， ， ， ， ． （2）要符合园林局的要求，只要 最小， 由（1）知， ， 令 ，即 ，解得 或 （舍去）， 令 . 3( )f x ax bx c   2( ) 3f x ax b   ( )f x 2x  16c  (2) 0 (2) 16 f f c      12 0 8 2 16 a b a b c c        12 0 4 8 a b a b       1 12 a b     3( ) 12f x x x c   2( ) 3 12 3( 2)( 2)f x x x x      ( ) 0f x  1 22, 2x x   ( , 2)x   ( ) 0f x  ( )f x ( , 2)  ( 2,2)x  ( ) 0f x  ( )f x ( 2,2) (2, )x  ( ) 0f x  ( )f x (2, ) ( )f x 1 2x   ( 2) 16f c   ( )f x 2 2x  (2) 16f c  16 28c  12c  ( 3) 9 21, (3) 9 3, (2) 16 4f c f c f c            ( )f x [ 3,3] (2) 4f   2 cosAB R  sinBC R  HOG△ HG R 3 sin2EH R R     3= 2 cos sin sin2ABCD EFGHf S S R R R R R            2 3(2sin cos sin + 2R     ） π0 3     ，  f     2 2 2 2 2(2cos 2sin cos = 4cos cos 2f R R          ）   0f   24cos cos 2=0   1+ 33cos = 8 1 33cos = 8  0 0 1+ 33 πcos = , 0,8 3      22 当 时， 是单调减函数，当 时， 是单调增函数， 所以当 时， 取得最小值. 故当 满足 时，符合园林局要求. 13．【解析】（1）函数 的定义域为 ， ， 当 时， ，函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减； 当 时， ，函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减； 当 时， ， 函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，在区间 上单调递增； 当 时， ，函数 在 上单调递增； 当 时， ，函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，在区间 上单调递增. （2）若 ，且 在区间 上恒成立，等价于在区间 上 .由（1）中的讨论， 知 当 时， ，函数 在区间 上单调递减， , 即 ，从而得 ； 当 时 ， ， 函 数 在 区 间 上 单 调 递 减 ， 在 区 间 上 单 调 递 增 ， ， 即只需 ，即 ， 由于 ，从而得 . 综上， 的取值范围为 . 00, （ ）    ' 0,f f  0 π 3 （ ， ）    0,f f   0=   f   1+ 33cos = 8 23 （2）由（1）知， ① ， 在 上单调递增，∴ 时， ， 单调递减， 时， ， 单调递增，∴ 在 处取得极小值，符合题意； ② 时， ，又 在 上单调递增，∴ 时， ，∴ 时， ，∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，则 在 处取得极小值，符合题意； ③ 时， ， 在 上单调递增，∴在 上单调递减，又 ， ∴ 时， ， 单调递减，不合题意； ④ 时， ，当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，∴ 在 处取得极大值，不符合题意. 综上所述，可得 . 15．【解析】（1）设切点为 ，因为 ，所以 . 由斜率知： ，即 ，可得 ， 即 ，所以 或 . 当 时， ，切线 的方程为 ，即 ； 24 当 时， ，切线 的方程为 ，即 . 综上所述，所求切线 的方程为 或 . （2）由 得 ，代入整理得 ， 设 ， 则 ， 由题意得函数 有两个零点． ①当 时， ，此时 只有一个零点． ②当 时，由 得 ，由 得 ，即 在 上为减函数，在 上为 增函数，而 ，所以 在 上有唯一的零点，且该零点在 上． 若 ，则 ，取 ， 则 ， 所以 在 上有唯一零点，且该零点在 上； 若 ，则 ，所以 在 上有唯一零点， 所以 时， 有两个零点． ③当 时，由 ，得 或 ， 若 ，则 ，所以 至多有一个零点． 若 ，则 ，易知 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减， 又 ，所以 至多有一个零点． 若 ，则 ，易知 在 上单调递增，在 和 上单调 递减，又 ，所以 至多有一个零点． 25 综上所述， 的取值范围为 ． 1．【答案】A 【解析】由题可得 ， 因为 ，所以 ， ，故 ， 令 ，解得 或 ， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减， 所以 的极小值为 ，故选 A． 【名师点睛】（1）可导函数 y＝f(x)在点 x0 处取得极值的充要条件是 f ′(x0)＝0，且在 x0 左侧与右侧 f ′(x) 的符号不同；（2）若 f(x)在(a，b)内有极值，那么 f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调 增或减的函数没有极值． 2．【答案】D 【解析】原函数先减再增，再减再增，且 位于增区间内，因此选 D． 【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与 轴的交点为 ，且图象在 两侧附近连续分布于 轴上下方，则 为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时， 由导函数 的正负，得出原函数 的单调区间． 3．【答案】C 【解析】函数 的零点满足 ， 设 ，则 ， 当 时， ；当 时， ，函数 单调递减； 当 时， ，函数 单调递增， 当 时，函数 取得最小值，为 . 设 ，当 时，函数 取得最小值，为 ， 直通高考 1 2 1 2 1( ) (2 )e ( 1)e [ ( 2) 1]ex x xf x x a x ax x a x a             ( 2) 0f    1a   2 1( ) ( 1)exf x x x    2 1( ) ( 2)exf x x x     ( ) 0f x  2x   1x  ( )f x ( , 2),(1, )   ( 2,1) ( )f x 1 1( ) (1 1 1)e 11f      0x  x 0x 0x x 0x ( )f' x ( )f x ( )f x  2 1 12 e ex xx x a         1 1e ex xg x        2 1 1 1 1 1 1 1 e 1e e e e e x x x x x xg x                0g x  1x  1x    0g x   g x 1x    0g x   g x 1x   g x  1 2g    2 2h x x x  1x   h x 1 26 若 ，函数 与函数 没有交点； 若 ，当 时，函数 和 有一个交点， 即 ，解得 .故选 C. 【名师点睛】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数 的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样 会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用. 4．【答案】 【解析】 ，所以当 时函数单 调递减，当 时函数单调递增，从而得到函数的递减区间为 ，函数 的递增区间为 ，所以当 时，函数 取得最小值，此时 ，所以 ，故答案是 . 【名师点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题，在求解的过程中，需要明确相关的函 数的求导公式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间和单调减区间， 进而求得函数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入求得函数的最小值. 5．【解析】（1）因为 ， ， 所以 ． （2）由 ，解得 或 ． 因为 x （ ，1） 1 （1， ） （ ， ） – 0 + 0 – 0a   h x  ag x 0a     1 1ag h   h x  ag x 2 1a    1 2a   5π π2 π ,2 π3 3k k k      Z  π π2 π ,2 π3 3k k k      Z π2 π ,3x k k  Z 1( 2 1) 1 2 1 x x ' x      (e ) ex x'   1( ) (1 )e ( 2 1)e 2 1 x xf' x x x x        (1 )( 2 1 2)e 1( )22 1 xx x x x      (1 )( 2 1 2)e( ) 0 2 1 xx xf' x x      1x  5 2x  1 2 1 2 5 2 5 2 5 2   f x 27 f（x） 0 又 ， 所以 f（x）在区间 上的取值范围是 ． 【名师点睛】本题主要考查导数两大方面的应用：（一）函数单调性的讨论：运用导数知识来讨论函 数单调性时，首先考虑函数的定义域，再求出 ，由 的正负，得出函数 的单调区间；（二） 函数的最值（极值）的求法：由单调区间，结合极值点的定义及自变量的取值范围，得出函数 的 极值或最值． 6．【解析】（1） 的定义域为 ， . （i）若 ，则 ，当且仅当 ， 时 ，所以 在 单调递减. （ii）若 ，令 得， 或 . 当 时， ； 当 时， .所以 在 单 调递减，在 单调递增. （2）由（1）知， 存在两个极值点当且仅当 . 由于 的两个极值点 满足 ，所以 ，不妨设 ，则 .由于 ， 所以 等价于 . 设函数 ，由（1）知， 在 单调递减，又 ，从而当 1 21 e2    5 21 e2   21( ) ( 2 1 1) e 02 xf x x     1[ , )2  1 21[0, e ]2  ( )f' x ( )f' x ( )f x ( )f x ( )f x (0, ) 2 2 2 1 1( ) 1 a x axf x x x x         2a  ( ) 0f x  2a  1x  ( ) 0f x  ( )f x (0, ) 2a  ( ) 0f x  2 4 2 a ax   2 4 2 a ax   2 24 4(0, ) ( , )2 2 a a a ax     U ( ) 0f x  2 24 4( , )2 2 a a a ax     ( ) 0f x  ( )f x 2 24 4(0, ),( , )2 2 a a a a     2 24 4( , )2 2 a a a a    ( )f x 2a  ( )f x 1 2,x x 2 1 0x ax   1 2 1x x  1 2x x 2 1x  1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 ( ) ( ) ln ln ln ln 2ln1 1 2 2 1 f x f x x x x x xa a ax x x x x x x x xx                 1 2 1 2 ( ) ( ) 2f x f x ax x    2 2 2 1 2ln 0x xx    1( ) 2lng x x xx   ( )g x (0, ) (1) 0g  (1, )x  28 时， . 所以 ，即 . （2）（i）若 ，由（1）知，当 时， ，这与 是 的极大值点矛盾. （ii）若 ，设函数 . 由于当 时， ，故 与 符号相同. 又 ，故 是 的极大值点当且仅当 是 的极大值点. . 如果 ，则当 ，且 时， ，故 不是 的极 大值点. 如果 ，则 存在根 ，故当 ，且 时， ，所以 不是 的极大值点. 如果 ，则 .则当 时， ；当 时， ( ) 0g x  2 2 2 1 2ln 0x xx    1 2 1 2 ( ) ( ) 2f x f x ax x    0a  0x  ( ) (2 )ln(1 ) 2 0 (0)f x x x x f      0x  ( )f x 0a  2 2 ( ) 2( ) ln(1 )2 2 f x xh x xx ax x ax       1| | min{1, }| |x a 22 0x ax   ( )h x ( )f x (0) (0) 0h f  0x  ( )f x 0x  ( )h x 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2(2 ) 2 (1 2 ) ( 4 6 1)( ) 1 (2 ) ( 1)( 2) x ax x ax x a x ax ah x x x ax x ax x                6 1 0a   6 10 4 ax a    1| | min{1, }| |x a ( ) 0h x  0x  ( )h x 6 1 0a   2 2 4 6 1 0a x ax a    1 0x  1( ,0)x x 1| | min{1, }| |x a ( ) 0h x  0x  ( )h x 6 1 0a   3 2 2 ( 24)( ) ( 1)( 6 12) x xh x x x x      ( 1,0)x  ( ) 0h x  (0,1)x 29 .所以 是 的极大值点，从而 是 的极大值点 综上， .学！ 8．【解析】（1）当 时， 等价于 ． 设函数 ，则 ． 当 时， ，所以 在 单调递减． 而 ，故当 时， ，即 ． （2）设函数 ． 在 只有一个零点当且仅当 在 只有一个零点． （i）当 时， ， 没有零点； （ii）当 时， ． 当 时， ；当 时， ． 所以 在 单调递减，在 单调递增． 故 是 在 的最小值． ①若 ，即 ， 在 没有零点； ②若 ，即 ， 在 只有一个零点； ③若 ，即 ，由于 ，所以 在 有一个零点， 由（1）知，当 时， ，所以 ． 故 在 有一个零点，因此 在 有两个零点． 综上， 在 只有一个零点时， ． ( ) 0h x  0x  ( )h x 0x  ( )f x 1 6a   1a  ( ) 1f x  2( 1)e 1 0xx    2( ) ( 1)e 1xg x x    2 2( ) ( 2 1)e ( 1) ex xg' x x x x        1x  ( ) 0g' x  ( )g x (0, ) (0) 0g  0x  ( ) 0g x  ( ) 1f x  2( ) 1 e xh x ax   ( )f x (0, ) ( )h x (0, ) 0a  ( ) 0h x  ( )h x 0a  ( ) ( 2)e xh' x ax x   (0,2)x ( ) 0h' x  (2, )x  ( ) 0h' x  ( )h x (0,2) (2, ) 2 4(2) 1 e ah   ( )h x [0, ) (2) 0h  2e 4a  ( )h x (0, ) (2) 0h  2e 4a  ( )h x (0, ) (2) 0h  2e 4a  (0) 1h  ( )h x (0,2) 0x  2ex x 3 3 3 4 2 2 4 16 16 16 1(4 ) 1 1 1 1 0e (e ) (2 )a a a a ah a a a         ( )h x (2,4 )a ( )h x (0, ) ( )f x (0, ) 2e 4a  30 令∠GOK=θ0，则 sinθ0= ，θ0∈（0， ）． 当 θ∈[θ0， ）时，才能作出满足条件的矩形 ABCD， 所以 sinθ 的取值范围是[ ，1）． 答：矩形 ABCD 的面积为 800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP 的面积为 1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ 的取值范围是[ ，1）． 令 ，得 θ= ， 当 θ∈（θ0， ）时， ，所以 f（θ）为增函数； 当 θ∈（ ， ）时， ，所以 f（θ）为减函数， 1 4 π 6 π 2 1 4 1 4 ( )=0f ′ π 6 π 6 ( )>0f ′ π 6 π 2 ( )<0f ′ 31 因此，当 θ= 时，f（θ）取到最大值． 答：当 θ= 时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． π 6 π 6