广东省湛江市2019-2020学年高一上学期期末调研考试数学试题

广东省湛江市2019-2020学年高一上学期期末调研考试数学试题

湛江市2019—2020学年度第一学期期末调研考试 ‎ 学校 班级 姓名 学号 ‎ 密 封 线 高中数学(必修①、②)试卷 ‎ 说明：本卷满分150分．考试用时120分钟．‎ 题号 一 二 三 总分 ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ ‎22‎ 得分 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确答案的代号填入下面的表格内．‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 得分 选项 ‎1．已知集合，，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．轴截面为正方形的圆柱的侧面积与全面积的比是 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎3．直线的倾斜角为 A． B． C． D． ‎ ‎4．函数的定义域为 A． B． C． D．‎ ‎5．有一组实验数据如下表：‎ 则体现这些数据的最佳函数模型是 A. B. C. D. ‎ ‎6．已知圆的圆心是直线和直线的交点，直线与圆相交的弦长为，则圆的方程为 A． B． ‎ C． D．‎ ‎7．过半径为的球（为球心）表面上一点作球的截面，若与该截面所成的角是，则该截面的面积为 A． B． C． 　D．‎ ‎8．设、是两条不同直线，、是两个不同的平面，下列命题中正确的是 A．若，，则 B．若，，则 ‎ C．若， ，则 D．若，，则 ‎ ‎9．若圆：被直线：分成的两段弧长之比为，则满足条件的圆 A．有一个 B．有两个 C．有三个 D．有四个 ‎10．已知函数是定义域为的偶函数，，且当时，（为常数），则不等式的解集是 A． B． C． D．‎ ‎11．若点在直线上，则的最小值是 ‎ A．　　 B． C．　 D．‎ ‎12．定义在区间上的函数满足两个条件：（1）对任意的，恒有成立；（2）当时，．若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是 A． 　 B．　　 C． D．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．‎ ‎13．函数，，则_________．‎ ‎14．已知直线与直线平行，且被圆所截得的弦长为，则直线的方程为________．‎ ‎15．过点且和圆相切的直线方程为 ． ‎ ‎16. 如图，在直角梯形中，，，、分别是、的中点，将三角形沿折起，则下列说法正确的是______________．‎ ‎（1）不论折至何位置（不在平面内），都有平面；‎ ‎（2）不论折至何位置，都有；‎ ‎（3）不论折至何位置（不在平面内），都有；‎ ‎（4）在折起过程中，一定存在某个位置，使．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17.（本小题满分10分）‎ 已知的顶点的坐标为，边上的高所在直线方程为，为边的中点，且所在的直线方程为.‎ ‎（Ⅰ）求顶点的坐标；‎ ‎（Ⅱ）求所在直线的方程.‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 如图，在三棱锥中，，点是的中点，，，.‎ ‎（Ⅰ）证明：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）若，，求点到平面的距离.‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 某种商品在天内每件的销售价格（元）与时间（天）的函数关系为，该商品在天内日销售量（件）与时间（天）之间满足一次函数关系，具体数据如下表：‎ 第天 ‎（Ⅰ）根据表中提供的数据，求出日销售量关于时间的函数表达式；‎ ‎（Ⅱ）求该商品在这天中的第几天的日销售金额最大，最大值是多少？‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知函数（）．‎ ‎（Ⅰ）用定义法证明；函数在区间上单调递增；‎ ‎（Ⅱ）若对任意都有恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 如图，直方体中，是中点.‎ ‎（Ⅰ）证明：平面；‎ ‎（Ⅱ）求直线与平面所成的角的值.‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 已知圆心为的圆过点，且与直线相切于点．‎ ‎（Ⅰ）求圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）已知点．对于圆上任意一点，线段上存在异于点的一点，使（为常数）恒成立，判断使的面积等于的点有几个，并说明理由．‎ 湛江市2019—2020学年度第二学期期末调研考试 高中数学（必修①、②）参考答案与评分标准 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ D B A B C A C D B D C C ‎10．解：因为是偶函数，所以，所以．‎ 所以当时，，是增函数，又因为，‎ 所以当时，；‎ 因为是偶函数，所以当时是减函数，且，‎ 所以当时，．‎ 所以解得．‎ ‎12．解：因为对任意的，恒有成立，且当时，，‎ 当时，，所以，由得，‎ 所以；‎ 当时，，所以，同理得；‎ 综上所述，，（）．‎ 因为是恒过定点的直线，由图象可知该直线在过点与（不含）之间摆动时满足函数恰有两个的零点，所以．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．　 14．　 15．或 　 16．（1）（2）（4） ‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 解：（Ⅰ）因为边上的高所在直线方程为，‎ ‎ 所以直线的斜率.……………………………………………………………………………1分 ‎ 所以直线的方程为，即：.……………………………………2分 ‎ 所以由解得：.‎ ‎ ∴点的坐标为.………………………………………………………………………………4分 ‎（Ⅱ）设，‎ ‎ 因为是中点，且，‎ ‎ 所以点的坐标为.…………………………………………………………………5分 ‎ 代入所在直线方程并化简得：.…………………………………6分 ‎ 又因为点在边上的高上，‎ ‎ 所以.‎ ‎ 所以由解得：.‎ ‎ 所以点的坐标为.…………………………………………………………………………8分 ‎ 所以直线的方程为，即：.……………………………………10分 ‎18．（本小题满分12分）‎ 证明：（Ⅰ）因为，是中点，所以.‎ ‎ 又因为，所以.…………………2分 ‎ 又因为平面，平面，，‎ ‎ 所以平面.…………………………………………4分 ‎ 因为平面，‎ ‎ 所以平面平面.…………………………………………6分 ‎ （Ⅱ）因为，，，‎ ‎ 所以，则.‎ ‎ 所以.‎ 因为平面，，‎ 所以.…………………………………………………………8分 因为平面平面且两平面交线为，平面且，‎ ‎ 所以平面. ‎ ‎ 所以.………………………………………………………………………………10分 ‎ 因为，‎ ‎ 所以.……………………………………………………………11分 ‎ 设点到平面的距离为，由得：‎ ‎ ，即：，‎ ‎ 所以点到平面的距离为.………………………………………………………12分 ‎19．（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）设日销售量关于时间的函数表达式为，依题意得：……………………………………1分 ‎ ，解之得：，…………………………………………………………………3分 ‎ 所以日销售量关于时间的函数表达式为（，，）.……………5分 ‎（Ⅱ）设商品的日销售金额为（元），依题意：，…………………………………………………6分 所以，……………………………………………7分 即：.……………………………………………8分 ‎ 当，时，，当时，；…………………9分 ‎ 当，时，，当时，；………………11分 ‎ 所以该商品在这天中的第天的日销售金额最大，为元.…………………………………12分 ‎20．（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）任取、，且，………………………………………………………………1分 ‎ ………………………………………………………………2分 ‎ ‎ ‎ .…………………………………………………………………3分 ‎ 因为，‎ 所以，，，‎ 所以，即，即.………………………5分 ‎ 所以函数在区间上单调递增. ………………………………………………………6分 ‎ （Ⅱ）因为函数的定义域是，‎ 对定义域内的每一个都有，‎ ‎ 所以函数是奇函数. ………………………………………………………………………………7分 ‎ 由（Ⅰ）知函数在区间上单调递增，‎ 所以函数在区间上单调递增，………………………………………………………8分 所以函数在区间上单调递增. ………………………………………………………9分 所以，………………………………………………………………………10分 ‎ 所以，‎ 即实数的取值范围是.…………………………………………………………………12分 ‎ ‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）设，连结，‎ 因为且，所以四边形是平行四边形，‎ 所以，.………………………………………2分 又因为、分别和的中点，‎ 所以，，所以四边形是平行四边形，所以，………4分 因为，所以平面，又因为平面，‎ 所以平面.………………………………………………………………………………6分 ‎（Ⅱ）因为，，平面，平面，且，所以平面，所以，………………………………………8分 又因为，平面，平面，且，‎ 所以平面，垂足为，‎ 所以为直线与平面所成的角. ……………………………………………………10分 因为，所以.‎ 所以直线与平面所成的角的大小是.……………………………………………………12分 ‎22．（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）依题意设圆心的坐标为，则半径为，………………………………………………1分 ‎ 所以圆的方程为，‎ ‎ 将代入得：，解得.…………………………………………3分 ‎ 所以圆的方程为.…………………………………………………………………4分 ‎（Ⅱ）设点坐标为，由题意可知直线的方程为，故可设点坐标为，‎ ‎ 由得：‎ ‎ ，化简整理得：‎ ‎ .（*）………………………………………………………5分 ‎ 因为是圆：上任意一点，‎ 所以.‎ 要令（*）对任意恒成立，只需，‎ 解之得：或，因为当时，、重合，矛盾，舍去，‎ 所以.……………………………………………………………………………………………7分 所以点的坐标为，则，直线的方程为.‎ 要令的面积等于，则点到直线的距离，………………………8分 因为圆心到直线的距离，圆的半径为，‎ ‎，‎ 所以圆与直线相交，截得一段劣弧和一段优弧，‎ 因为在劣弧上的点到直线的最大距离为，‎ 所以在劣弧上没有点满足条件. ………………………………………………………………………10分 又因为在优弧上的点到直线的最大距离为，‎ 所以在优弧上的点有个满足条件.‎ 综上所述，使的面积等于的点有个. …………………………………………………12分 ‎ ‎ 注:如上各题若有其它解法，请评卷老师酌情给分.‎