2020高中数学 第2章 数列 2

2020高中数学 第2章 数列 2

等比数列的前n项和 一、考点突破 知识点 课标要求 题型 说明 等比数列的前项和 ‎1. 掌握等比数列前n项和的公式；能运用公式解决一些简单问题。‎ ‎2. 掌握等比数列前项和的推理证明。‎ 选择题 填空题 解答题 对于q＝1这一特殊情况，往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错，应特别注意. 注意掌握错位相减这种求和方法。‎ 二、重难点提示 重点：等比数列的前n项和公式的推导及其简单应用。‎ 难点：等比数列的前n项和公式的推导。‎ 考点一：等比数列的前n项和公式 ‎【核心突破】‎ ‎1. 知三求二：由等比数列的通项公式及前项和公式可知，已知中任意三个，便可建立方程组求出另外两个。‎ ‎2. 在运用等比数列的前项和公式时，一定要注意讨论公比q是否为1。‎ ‎3. 当时，若已知及，则用公式较好；若已知，则用公式 较好。‎ ‎4. 注意其推导方法——错位相减法 若q＝1，则Sn＝na1。‎ 若q≠1，∵Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，①‎ 所以两边同乘以q，可得 qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn。 ②‎ ‎①－②得（1－q）Sn＝a1－a1qn，‎ ‎∴当q≠1时，Sn＝，‎ 5‎ Sn＝‎ 注意：‎ 错位相减法，它特别适用于求一个等差数列与一个等比数列各项对应的积组成的新数列的前项的和。‎ 考点二：等比数列的前项和公式的一些性质 ‎（1）连续项的和（如…）仍组成等比数列。（注意：这连续n项的和必须非零才能成立）‎ 证明如下：‎ 设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，当q＝1时，Sn＝na1，S2n＝2na1，S3n＝3na1，‎ 显然Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列。‎ 当q≠1时，Sn＝S2n＝‎ S3n＝‎ 则S2n－Sn＝‎ S3n－S2n＝＝‎ ‎∴（S2n－Sn）2＝‎ Sn（S3n－S2n）＝‎ ‎＝‎ ‎∴Sn·（S3n－S2n）＝（S2n－Sn）2，‎ ‎∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列。‎ ‎（2）为比数列 ‎（3）为公比）‎ ‎（4）若{an}共2n（n∈N*）项，则＝q。‎ 注意：‎ 运用性质（1）可以快速地求某些和，但在运用此性质时，要注意的是…成等比数列，而不是…成等比数列。‎ 例题1 （等比数列前n项和公式的应用）‎ 5‎ 在等比数列{an}中：‎ ‎（1）已知a1＝－1.5，a7＝－96，求q和Sn；‎ ‎（2）已知q＝，S5＝－，求a1和an；‎ ‎（3）已知a1＝2，S3＝26，求q和an。‎ 思路分析：解决本题可由通项公式或前n项和公式列出基本量a1，q的方程或方程组，先求a1，q再求其他量。‎ 答案：（1）∵a7＝a1q6，∴q6＝＝＝26，‎ ‎∴q＝±2。‎ 当q＝2时，Sn＝＝－3×2n－1；‎ 当q＝－2时，‎ Sn＝＝－＋（－1）n×2n－1。‎ 综上所述，当q＝2时，Sn＝－3×2n－1；‎ 当q＝－2时，Sn＝－＋（－1）n×2n－1。‎ ‎（2）∵S5＝＝－，且q＝，∴a1＝－2，‎ ‎∴an＝a1qn－1＝（－2）×（）n－1＝－22－n，‎ ‎∴a1＝－2，an＝－22－n。‎ ‎（3）由a1＝2，S3＝26，∴q≠1，∴S3＝＝26，‎ ‎∴＝13，即q2＋q－12＝0，‎ 解得q＝－4或3.‎ 当q＝－4时，an＝a1qn－1＝2×（－4）n－1＝（－1）n－1×22n－1。‎ 当q＝3时，an＝a1qn－1＝2×3n－1。‎ 综上所述，当q＝－4时，an＝（－1）n－1×22n－1；‎ 当q＝3时，an＝2×3n－1。‎ 技巧点拨：1. 在等比数列中，对于a1，q，n，an，Sn五个量，若已知其中三个量就可求出其余两个量，常常列方程组来解答问题，有时会涉及高次方程或指数方程，求解可能遇到困难，这时要注意表达式有什么特点，再采取必要的数学处理方法. ‎ ‎2. 在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论。‎ 例题2 （等比数列前n项和性质的应用）‎ 各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝10，S30＝70，求S40。‎ 思路分析：本题可用基本量法先求a1，q再求S40，也可利用等比数列前n 5‎ 项和的性质求解。‎ 答案：法一　设{an}的首项为a1，公比为q，且由条件可知q≠1，则 由①÷②得q10＝2或q10＝－3（舍去），‎ 将其代入①，得＝10.‎ ‎∴＝＝－10。‎ ‎∴S40＝ （1－q40）＝－10×（1－24）＝150。‎ 法二　∵S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30仍成等比数列，‎ 又S10＝10，S30＝70，∴（S20－S10）2＝S10·（S30－S20），‎ ‎∴（S20－10）2＝10（70－S20），∴S－10S20－600＝0，‎ ‎∴S20＝30或S20＝－20。‎ ‎∵{an}各项均为正数，‎ ‎∴S20＝30，∴10,20,40，S40－70成等比数列，‎ ‎∴S40－70＝80，∴S40＝150。‎ 技巧点拨：1. 本例中，两种解法相比较，法二的计算量较小，显示出利用等比数列前n项和性质的优越性。‎ ‎2. 等比数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比数列（q＝－1且n为偶数时除外），这一性质可直接使用。‎ ‎ ‎ ‎【易错警示】‎ 应用等比数列求和公式时，忽略q＝1的情况致错 ‎【例析】等比数列{an}的前n项的和与积分别为S和T，数列{}的前n项和为，求证：T2＝（）n。‎ ‎【错解】由题意可设数列{an}的首项为a1，公比为q，则数列{}的首项为，公比为，‎ 所以S＝，T＝aq1＋2＋…＋（n－1）＝aq，‎ S′＝＝，‎ 5‎ 所以（）n＝（aqn－1）n＝[a·q]2＝T2，‎ 即T2＝（）n。‎ ‎【错因分析】由题设无法判断q与1的关系，以上证法，漏掉了公比q＝1的情形，故导致错误。‎ ‎【防范措施】对于公比为q，首项为a1的等比数列，其前n项和Sn＝当q＝1时，此类数列为常数列（各项均不为0），其前n项和为na1，故解决此类问题时要细心，一般来说，只要题目中含有字母，就有可能要讨论，否则容易漏解。‎ ‎【正解】由题意可设数列{an}的首项为a1，公比为q，‎ 则数列{}是首项为，公比为的等比数列. ‎ 当q＝1时，S＝na1，T＝a，S′＝，‎ 所以（）n＝a＝T2，所以T2＝（）n；‎ 当q≠1时，S＝，T＝aq1＋2＋…＋（n－1）＝aq，‎ S′＝＝，‎ 所以（）n＝（aqn－1）n＝[aq]2＝T2，‎ 即T2＝（）n。‎ 综上可知T2＝（）n 技巧点拨：‎ 注意分类讨论思想在等比数列中的应用。‎ 5‎