2017-2018学年河南省创新发展联盟高二下学期期末考试数学（理）试题（解析版）

2017-2018学年河南省创新发展联盟高二下学期期末考试数学（理）试题（解析版）

‎2017-2018学年河南省创新发展联盟高二下学期期末考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．设集合，集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：解不等式，得到和，由集合的交集运算可得到解。‎ 详解：解绝对值不等式，得 ；‎ 由对数函数的真数大于0，得 ‎ 根据集合的运算得 ‎ 所以选C 点睛：本题考查了解绝对值不等式，对数函数的定义域，集合的基本运算，是基础题。‎ ‎2．已知复数满足方程，复数的实部与虚部和为，则实数（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：由复数的运算，化简得到z，由实部与虚部的和为1，可求得的值。‎ 详解：因为 所以 ‎ 因为复数的实部与虚部和为 即 ‎ 所以 ‎ 所以选D 点睛：本题考查了复数的基本运算和概念，考查了计算能力，是基础题。‎ ‎3．已知等差数列中，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：根据等差数列的通项公式，可求得首项和公差，然后可求出值。‎ 详解：数列为等差数列，，，所以由等差数列通项公式得 ‎ ，解方程组得 ‎ 所以 ‎ 所以选C 点睛：本题考查了等差数列的概念和通项公式的应用，属于简单题。‎ ‎4．已知平面向量，的夹角为，且，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：根据向量的运算，化简，由向量的数量积定义即可求得模长。‎ 详解：平面向量数量积 ，所以 ‎ ‎ 所以选C 点睛：本题考查了向量的数量积及其模长的求法，关键是理解向量运算的原理，是基础题。‎ ‎5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：由三视图，可画出立体空间结构图，由半个圆柱与正方体组成的组合体，因而求得体积。‎ 详解：‎ 根据三视图，画出空间结构体如图所示 则 ‎ 所以选A 点睛：本题考查了空间结构体的三视图和体积求法。关键是能够利用所给三视图还原空间图，根据其结构特征求得体积，是基础题。‎ ‎6．电脑芯片的生产工艺复杂，在某次生产试验中，得到组数据，，，，，.根据收集到的数据可知，由最小二乘法求得回归直线方程为，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：根据回归直线方程经过 的性质，可代入求得，进而求出 的值。‎ 详解：由 ，且可知 所以 所以选D 点睛：本题考查了回归直线方程的基本性质和简单的计算，属于简单题。‎ ‎7．执行如图所示的程序框图，当输出的值为时，则输入的（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：根据循环结构的特征，依次算出每个循环单元的值，同时判定是否要继续返回循环体，即可求得S的值。‎ 详解:‎ ‎ ‎ 因为当 不成立时，输出 ，且输出 ‎ 所以 ‎ 所以 ‎ 所以选B ‎ 点睛：本题考查了循环结构在程序框图中的应用，按照要求逐步运算即可，属于简单题。‎ ‎8．若变量，满足约束条件，则的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：根据题意，将化简成斜率的表达形式；所以就是求可行域内与连线斜率的取值范围加1,。‎ 详解： ，原式表示可行域内的点 与 连线的斜率加1。‎ 由不等式组成的可行域可表示为：‎ 由图可知，斜率最小值为 ‎ 斜率最大值为 ‎ 所以斜率的取值范围为 ‎ 所以 所以选B 点睛：本题考查了斜率的定义，线性规划的简单应用。关键是掌握非线性目标函数为分式型时的求法，属于中档题。‎ ‎9．已知二项式的展开式的第二项的系数为，则（ ）‎ A. B. C. 或 D. 或 ‎【答案】A ‎【解析】分析：根据第二项系数，可求出；由定积分基本性质，求其原函数为，进而通过微积分基本定理求得定积分值。‎ 详解：展开式的第二项为 ‎ 所以系数 ，解得 ‎ 所以 ‎ ‎ ‎ 所以选A 点睛：本题考查了二项式定理和微积分基本定理的综合应用，通过方程确定参数的取值，综合性强，属于中档题。‎ ‎10．已知函数的定义域为，且函数的图象关于轴对称，函数的图象关于原点对称，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：根据奇函数与偶函数的定义，可求得函数的解析式；根据解析式确定’的值。‎ 详解：令 ，‎ 则，因为为偶函数 所以（1）‎ ‎，因为 为奇函数 所以（2）‎ ‎（1）-（2）得 ‎（3），令 代入得 ‎（4）‎ 由（3）、（4）联立得 ‎ 代入得 所以 ‎ 所以 ‎ 所以选A 点睛：本题考查了抽象函数解析式的求解，主要是利用方程组思想确定解析式。方法相对比较固定，需要掌握特定的技巧，属于中档题。‎ ‎11．已知双曲线过，两点，点为该双曲线上除点，外的任意一点，直线，斜率之积为，则双曲线的方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：根据两条直线斜率之积为定值，设出动点P的坐标，即可确定解析式。‎ 详解：因为直线，斜率之积为，即 ，设P（）‎ 则 ，化简得 ‎ 所以选D 点睛：本题考查了圆锥曲线的简单应用，根据斜率乘积为定值确定动点的轨迹方程，属于简单题。‎ ‎12．已知函数在区间上是单调递增函数，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：由函数在区间上是单调递增函数，得，进而分离参数得；构造函数，研究函数的值域特征，进而得到的单调性，最后求得的取值范围。‎ 详解： ‎ 因为 在区间上是单调递增函数 所以，而在区间上 ‎ 所以 ，即 ‎ 令 ，则 分子分母同时除以 ，得 令 ，则在区间上为增函数 所以 所以 在区间上恒成立 即在区间上恒成立 所以函数在区间上为单调递减函数 所以 所以选A 点睛：本题考查了函数与导函数的综合应用，分离参数、构造函数法在解决单调性、最值问题中的应用，综合性强，对分析问题、解决问题的能力要求较高，属于难题。‎ 二、填空题 ‎13．已知直线与直线互相垂直，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：由两条直线互相垂直，可知两条直线的斜率之积为-1，进而求得参数m的值。‎ 详解：斜率为 ‎ 直线斜率为 ‎ 两直线垂直，所以斜率之积为-1，即 ‎ 所以 ‎ 点睛：本题考查了两条直线垂直条件下斜率之间的关系，属于简单题。‎ ‎14．已知是与的等比中项，则圆锥曲线的离心率是__________．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】分析：根据等比中项，可求出m的值为；分类讨论m的不同取值时圆锥曲线的不同，求得相应的离心率。‎ 详解：由等比中项定义可知 ‎ 所以 ‎ 当 时，圆锥曲线为椭圆，离心率 ‎ 当时，圆锥曲线为双曲线，离心率 所以离心率为 或2‎ 点睛：本题考查了数列和圆锥曲线的综合应用，基本概念和简单的分类讨论，属于简单题。‎ ‎15．若，，且，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：由对数运算和换底公式，求得 的关系为，根据基本不等式确定 详解：因为，‎ 所以 ‎ ‎，所以 ，即 所以 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 当且仅当，即，此时时取等号 所以最小值为 点睛：本题考查了对数的运算和对数换底公式的综合应用，根据“1”的代换联系基本不等式求最值，综合性强，属于中档题。‎ ‎16．已知三棱锥的所有顶点都在球的表面上，平面，，，，，则球的表面积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：根据三棱锥的结构特征，求得三棱锥外接球半径，由球表面积公式即可求得表面积。‎ 详解：由，根据同角三角函数关系式得 ‎ ，解得 ‎ 所以 ，因为，，由余弦定理 ‎ 代入得 ‎ 所以△ABC为等腰三角形，且 ，由正弦定理得△ABC外接圆半径R为 ，解得 ‎ 设△ABC外心为 ， ，过 作 ‎ 则在 中 ‎ 在中 ‎ 解得 ‎ 所以外接球面积为 ‎ 点睛：本题综合考查了空间几何体外接球半径的求法，通过建立空间模型，利用勾股定理求得半径；结合球的表面积求值，对空间想象能力要求高，综合性强，属于难题。‎ 三、解答题 ‎17．已知函数 .‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）将函数的图象沿轴向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在上的最大值和最小值.‎ ‎【答案】（1）1,（2）最小值，最大值.‎ ‎【解析】分析：（1）由降幂公式化简表达式，得，利用辅助角公式化简三角函数式，最后代入求解。‎ ‎（2）根据三角函数平移变换，得到平移后解析式为，利用整体思想求得取值范围；进而得到的最大值与最小值。‎ 详解：‎ ‎（1） ‎ ‎，‎ 则.‎ ‎（2）函数平移后得到的函数，‎ 由题可知，.‎ 当即时，取最小值，‎ 当即时，取最大值.‎ 点睛：本题综合考查了二倍角公式、降幂公式在三角函数化简中的应用，三角函数平移变换及在某区间内最值的求法，知识点综合性强，属于简单题。‎ ‎18．某舆情机构为了解人们对某事件的关注度，随机抽取了人进行调查，其中女性中对该事件关注的占，而男性有人表示对该事件没有关注.‎ 关注 没关注 合计 男 女 合计 ‎（1）根据以上数据补全列联表；‎ ‎（2）能否有的把握认为“对事件是否关注与性别有关”？‎ ‎（3）已知在被调查的女性中有名大学生，这其中有名对此事关注.现在从这名女大学生中随机抽取人，求至少有人对此事关注的概率.‎ 附表：‎ ‎【答案】（1）见解析（2）有的把握认为“对事件是否关注与性别有关”（3）‎ ‎【解析】分析：（1）由题意，补全列联表。‎ ‎（2）由列联表，根据求得，‎ 结合临界值表即可判断把握性。‎ ‎（3）根据独立事件的概率，求得3人中至少有2人关注此事的概率即可。‎ 详解：（1）根据已知数据得到如下列联表 关注 没关注 合计 男 女 合计 ‎（2）根据列联表中的数据，得到的观测值 ‎ .‎ 所以有的把握认为“对事件是否关注与性别有关”.‎ ‎（3）抽取的人中至少有人对此事关注的概率为.‎ 所以，至少有人对此事关注的概率为.‎ 点睛：本题综合考查了列联表及其独立性检验中的求法，并根据临界值表对所得结果进行判断；根据事件的独立性，求得相应的概率，考查知识点多，总体难度不大，属于简单题。‎ ‎19．如图，在多面体中，四边形为等腰梯形，，已知，，，四边形为直角梯形，，.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】分析：（1）通过取AD中点M，连接CM，利用，得到直角；再利用可得；而 , DE 平面ADEF，所以可得面面垂直。‎ ‎（2）以AD中点O建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求得平面CAE与直线BE向量，根据直线与法向量的夹角即可求得直线与平面夹角的正弦值。‎ 详解：（1）证明：取的中点，连接，，，‎ 由四边形为平行四边形，可知，在中，有，∴.‎ 又，，∴平面，‎ ‎∵平面，∴.‎ 又，，∴平面.‎ ‎∵平面，∴平面平面.‎ ‎（2）解：由（1）知平面平面，如图，取的中点为，建立空间直角坐标系，，，，，‎ ‎，，.‎ 设平面的法向量，‎ 则，即，‎ 不妨令，得.‎ 故直线与平面所成角的正弦值 .‎ 点睛：本题考查了空间几何体面面垂直的综合应用，利用法向量法求线面夹角的正弦值，关键注意计算要准确，属于中档题。‎ ‎20．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过且垂直于轴的焦点弦的弦长为，过的直线交椭圆于，两点，且的周长为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）已知直线，互相垂直，直线过且与椭圆交于点，两点，直线过且与椭圆交于，两点.求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】分析：（1）根据周长确定，由通径确定，求得，因而确定椭圆的方程。‎ ‎（2）分析得直线、直线的斜率存在时，根据过焦点可设出AB直线方程为，因而直线的方程为.联立椭圆方程消去y，得到关于x的一元二次方程.由韦达定理求得和，进而.‎ ‎ 当AB斜率不存在时，求得，，所以。‎ ‎ 当直线的斜率为时，求得，，所以。‎ 即可判断。‎ 详解：（1）将代入，得，所以.‎ 因为的周长为，所以，，‎ 将代入，可得，‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎（2）（i）当直线、直线的斜率存在且不为时，‎ 设直线的方程为，则直线的方程为.‎ 由消去得.‎ 由韦达定理得，，‎ 所以， .‎ 同理可得.‎ ‎ .‎ ‎（ii）当直线的斜率不存在时，，，.‎ ‎（iii）当直线的斜率为时，，，.‎ 综上，.‎ 点睛：本题综合考查了圆锥曲线的定义、应用，对直线和圆锥曲线的位置问题，常见方法是设出直线方程，联立曲线方程，得到一元二次方程，利用韦达定理解决相关问题，思路较为清晰，关键是注意计算，综合性强，属于难题。‎ ‎21．已知函数.‎ ‎（1）当，求函数的单调区间；‎ ‎（2）若函数在上是减函数，求的最小值；‎ ‎（3）证明：当时，.‎ ‎【答案】（1）单调递减区间是，，单调递增区间是（2）的最小值为（3）见解析 ‎【解析】分析：（1）代入，根据导函数的符号判断函数的单调区间。‎ ‎（2）由单调递减区间，得到恒成立。进而确定只需当时，即可，对导函数配方，利用二次函数性质求得最大值，进而得出的最小值。‎ ‎（3）函数变形，构造函数，求导函数。构造函数，则，根据导函数的单调性求其最值，即可证明不等式。‎ 详解：函数的定义域为，‎ 详解：函数的定义域为，‎ ‎（1）函数，‎ 当且时，；当时，，‎ 所以函数的单调递减区间是，，单调递增区间是.‎ ‎（2）因在上为减函数，故在上恒成立.‎ 所以当时，.‎ 又 ，‎ 故当，即时，.‎ 所以，于是，故的最小值为.‎ ‎（3）问题等价于.‎ 令，则，‎ 当时，取最小值.‎ 设，则，知在上单调递增，在上单调递减.‎ ‎∴，‎ ‎∵ ，‎ ‎∴，∴，‎ 故当时，.‎ 点睛：本题考查了导数单调性、导数不等式证明等综合应用，在高考中导数是重点、难点，综合性强，对分析解决问题能力要求很高，属于难题。‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求的直角坐标方程和直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设直线与曲线交于，两点，点，求的值.‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】分析：（1）由极坐标与直角坐标转化公式，参数方程与直角坐标方程转化的方法可求得曲线C和直线 的直角坐标方程。‎ ‎（2）联立参数方程与曲线C的方程，得到关于t的一元二次方程，由韦达定理确定的值。‎ 详解：（1）由，得，‎ 即曲线的直角坐标方程为.‎ 的直角坐标方程.‎ ‎（2）将直线的参数方程化为标准形式，‎ 代入，并整理得，，.‎ 所以.‎ 点睛：本题考查了极坐标、参数方程与直角坐标之间的相互转化关系，并利用参数方程与直角坐标方程联立的方式求线段和的值，要熟练掌握相互转化公式，难度中等。‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]‎ 已知函数的最小值为.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若不等式恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】分析：（1）分类讨论 的取值情况，去绝对值；根据最小值确定 的值。‎ ‎（2）代入 的值，由绝对值不等式确定表达式；去绝对值解不等式即可得到最后取值范围。‎ 详解：（1），‎ 所以最小值为，即.‎ ‎（2）由（1）知，恒成立，‎ 由于，‎ 等号当且仅当时成立，‎ 故，解得或.‎ 所以的取值范围为. ‎ 点睛：本题综合考查了分类讨论解绝对值不等式，根据绝对值不等式成立条件确定参数的范围，属于中档题。‎