江西省赣州市石城中学2020届高三下学期第三次考试数学（理）试题（解析版）

江西省赣州市石城中学2020届高三下学期第三次考试数学（理）试题（解析版）

石城中学2020届高三下学期第三次（线上）考试 理科数学试卷 满分：150分 时间：120分钟 命题范围：高考范围 下次周考范围：高考范围 一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1．已知集合， 则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．设且则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．设复数，则的二项展开式的第项是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．对任意向量，下列关系式中不恒成立的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎5．已知函数，其中表示不超过的最大整数，则关于函数的性质表述正确的是（ ）‎ A．定义域为 B．偶函数 C．周期函数 D．在定义域内为减函数 ‎6．在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分(曲线为正态分布的密度曲线)的点的个数的估计值为（ ）‎ 附：若，则，.‎ A．1193 B．‎1359 ‎C．2718 D．3413‎ ‎7．已知函数的图像与坐标轴的所有交点中，距离原点最近的两个点的坐标分别为和，则该函数图像距离轴最近的一条对称轴方程是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．从中任取个不同的数，事件“取到的个数之和为偶数”，事件“取到两个数均为偶数”，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎9．设A，B是椭圆C：长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则m的取值范围是 （ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎10．（错题再现）已知件产品中有件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝(1＋cos2)an＋sin2，则该数列的前10项和为 (　　)‎ A．2101 B．‎1067 C．1012 D．2012‎ ‎12．（错题再现）设函数， 其中 ，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、 填空题：（本大题共4题，每小题5分，共20分.）‎ ‎13．在平面内，三角形的面积为，周长为，则它的内切圆的半径．在空间中，三棱锥的体积为，表面积为，利用类比推理的方法，可得三棱锥的内切球（球面与三棱锥的各个面均相切）的半径__________．‎ ‎14．学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为在圆锥底部挖去一个正方体后的剩余部分（正方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点在圆惟底面上），圆锥底面直径为，高为‎10cm.打印所用部料密度为．不考虑打印损耗．制作该模型所需原料的质量为________g．（取，精确到0.1）‎ ‎15．函数，且，，则的取值范围是__________．‎ ‎16．已知函数．若存在，使得，则实数的取值范围是____．‎ 三、解答题：（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．设a，命题p：x，满足,‎ 命题q：x，.‎ ‎(1若命题是真命题，求a的范围；‎ ‎（2）为假，为真，求a的取值范围．‎ ‎18．某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，在 实验地分别用甲、乙方法培训该品种花苗．为观测其生长情况，分别在实验地随机抽取各株，对每株进行综合评分，将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图．记综合评分为及以上的花苗为优质花苗．‎ ‎（1）求图中的值，并求综合评分的中位数．‎ ‎（2）用样本估计总体，以频率作为概率，若在两块试验地随机抽取棵花苗，求所抽取的花苗中的优质花苗数的分布列和数学期望；‎ ‎（3）填写下面的列联表，并判断是否有的把握认为优质花苗与培育方法有关．‎ 优质花苗 非优质花苗 合计 甲培育法 乙培育法 合计 附：下面的临界值表仅供参考． ‎ ‎（参考公式：，其中．）‎ ‎19．如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．‎ ‎（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；‎ ‎（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值.‎ ‎20．已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为．‎ ‎（Ⅰ）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；‎ ‎（Ⅱ）若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由．‎ ‎21．已知函数.‎ ‎(I)当a=2时,求曲线在点处的切线方程；‎ ‎(II)设函数,讨论的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎22．在直角坐标系中，曲线的方程为.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求的直角坐标方程；‎ ‎（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程.‎ 选修4-5：不等式选讲 ‎23．已知.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若时不等式成立，求的取值范围.‎ ‎ ‎ 一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1．已知集合， 则（ D ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【详解】‎ ‎∵，＝，‎ ‎2．设且则（ C ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由已知得，，去分母得，，所以 ‎，又因为，‎ ‎，所以，即，选 ‎3．设复数，则的二项展开式的第项是（ A ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】‎ ‎∵，‎ 所以（1+z）9＝（1+i）9‎ 展开式的第7项是：C9613i6＝﹣84‎ ‎4．对任意向量，下列关系式中不恒成立的是（ B ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【解析】‎ 因为，所以选项A正确；当与方向相反时，不成立，所以选项B错误；向量的平方等于向量的模的平方，所以选项C正确；，所以选项D正确．‎ ‎5．已知函数，其中表示不超过的最大整数，则关于函数的性质表述正确的是（ C ）‎ A．定义域为 B．偶函数 C．周期函数 D．在定义域内为减函数 ‎【解析】‎ 由于表示不超过的最大整数，如，，则，所以定义域为错误；当时，，，，，是偶函数错误，由于，所以函数的的图象是一段一段间断的，所以不能说函数是定义域上的减函数，但函数是周期函数，其周期为1，例如任取，则，，则 ，则 。‎ ‎6．在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分(曲线为正态分布的密度曲线)的点的个数的估计值为（ B ）‎ 附：若，则，.‎ A．1193 B．‎1359 ‎C．2718 D．3413‎ ‎【解析】‎ 由正态分布的性质可得，图中阴影部分的面积 ，‎ 则落入阴影部分（曲线为正态分布的密度曲线）的点的个数的估计值为 .‎ 点睛：关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法 ‎①熟记P(μ－σ0，‎ 则若存在x∈[,2],使得ex(x−b)+xex(x−b+1)>0，‎ 即存在x∈[,2],使得b< 成立，‎ 令 ，‎ 则 ，‎ g(x)在 递增，‎ ‎∴g(x)最大值=g(2)= ，则实数的取值范围是 三、解答题：（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）‎ 17． 设a，命题p：x，满足,‎ 命题q：x，.‎ ‎(1若命题是真命题，求a的范围；‎ ‎(2)为假，为真，求a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ 解：1真，则或得；‎ q真，则，得，‎ 真，；‎ ‎2由为假，为真、q同时为假或同时为真，‎ 若p假q假，则 得，‎ 若p真q真，则，得，‎ 综上或．‎ 故a的取值范围是．‎ ‎18．某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，在实验地分别用甲、乙方法培训该品种花苗．为观测其生长情况，分别在实验地随机抽取各株，对每株进行综合评分，将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图．记综合评分为及以上的花苗为优质花苗．‎ ‎（1）求图中的值，并求综合评分的中位数．‎ ‎（2）用样本估计总体，以频率作为概率，若在两块试验地随机抽取棵花苗，求所抽取的花苗中的优质花苗数的分布列和数学期望；‎ ‎（3）填写下面的列联表，并判断是否有的把握认为优质花苗与培育方法有关．‎ 优质花苗 非优质花苗 合计 甲培育法 乙培育法 合计 附：下面的临界值表仅供参考． ‎ ‎（参考公式：，其中．）‎ ‎【答案】（1），中位数；（2）见解析；（3）有的把握认为优质花苗与培育方法有关 ‎【详解】‎ ‎（1）因为，解得，‎ 设为评分的中位数，则前三组的概率和为，前四组的概率和为，知，‎ 所以，则；‎ ‎（2）由（1）知，树高为优秀的概率为：，记优质花苗数为，‎ 由题意知的所有可能取值为，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎0.064‎ ‎0.288‎ ‎0.432‎ ‎0.216‎ 所以数学期望；‎ ‎（3）填写列联表如下，‎ 优质花苗 非优质花苗 合计 甲培育法 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 乙培育法 ‎40‎ ‎10‎ ‎50‎ 合计 ‎60‎ ‎40‎ ‎100‎ 计算，‎ 所以有90%的把握认为优质花苗与培育方法有关．‎ ‎19．如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．‎ ‎（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；‎ ‎（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用题意证得二面角的平面角为90°，则可得到面面垂直；‎ ‎（2）利用题意求得两个半平面的法向量，然后利用二面角的夹角公式可求得二面角 D–AE–C的余弦值为.‎ 试题解析：（1）由题设可得，，从而.‎ 又是直角三角形，所以.‎ 取AC的中点O，连接DO,BO,则DO⊥AC,DO=AO.‎ 又由于是正三角形，故.‎ 所以为二面角的平面角.‎ 在中，.‎ 又，所以，‎ 故.‎ 所以平面ACD⊥平面ABC.‎ ‎（2）由题设及（1）知，两两垂直，以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.则.‎ 由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，即E为DB的中点，得.‎ 故.‎ 设是平面DAE的法向量，则即 ‎ 可取.‎ 设是平面AEC的法向量，则同理可取.‎ 则.‎ 所以二面角D-AE-C的余弦值为.‎ ‎【名师点睛】（1）求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算时，要认真细心，准确计算.‎ ‎（2）设m，n分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与互补或相等，故有.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.‎ ‎20．已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为．‎ ‎（Ⅰ）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；‎ ‎（Ⅱ）若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由．‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）能，或．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）设直线，直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理求根与系数的关系，并表示直线的斜率，再表示；‎ ‎（2）第一步由 (Ⅰ)得的方程为．设点的横坐标为，直线与椭圆方程联立求点的坐标，第二步再整理点的坐标，如果能构成平行四边形，只需，如果有值，并且满足，的条件就说明存在，否则不存在.‎ 试题解析：解：(1)设直线，，，．‎ ‎∴由得，‎ ‎∴，．‎ ‎∴直线的斜率，即．‎ 即直线的斜率与的斜率的乘积为定值．‎ ‎（2）四边形能为平行四边形．‎ ‎∵直线过点，∴不过原点且与有两个交点的充要条件是，‎ 由 (Ⅰ)得的方程为．设点的横坐标为．‎ ‎∴由得，即 将点的坐标代入直线的方程得，因此．‎ 四边形为平行四边形当且仅当线段与线段互相平分，即 ‎∴．解得，．‎ ‎∵，，，‎ ‎∴当的斜率为或时，四边形为平行四边形．‎ 考点：直线与椭圆的位置关系的综合应用 ‎【一题多解】第一问涉及中点弦，当直线与圆锥曲线相交时，点是弦的中点，（1）知道中点坐标，求直线的斜率，或知道直线斜率求中点坐标的关系，或知道求直线斜率与直线斜率的关系时，也可以选择点差法，设,，代入椭圆方程，两式相减，化简为，两边同时除以得 ‎，而,,即得到结果，‎ ‎（2）对于用坐标法来解决几何性质问题，那么就要求首先看出几何关系满足什么条件，其次用坐标表示这些几何关系，本题的关键就是如果是平行四边形那么对角线互相平分，即，分别用方程联立求两个坐标，最后求斜率.‎ ‎21．已知函数.‎ ‎(I)当a=2时,求曲线在点处的切线方程；‎ ‎(II)设函数,讨论的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，求出切线的斜率,再用点斜式写出切线方程；（Ⅱ）由,通过讨论确定的单调性,再由单调性确定极值.‎ 试题解析：（Ⅰ）由题意，‎ 所以，当时，，，‎ 所以，‎ 因此，曲线在点处的切线方程是，‎ 即.‎ ‎（Ⅱ）因为，‎ 所以，‎ ‎，‎ 令，‎ 则，‎ 所以在上单调递增，‎ 因为，‎ 所以，当时，；当时，.‎ ‎（1）当时，，‎ 当时，，，单调递增；‎ 当时，，，单调递减；‎ 当时，，，单调递增.‎ 所以当时取到极大值，极大值是，‎ 当时取到极小值，极小值是.‎ ‎（2）当时，，‎ 当时，，单调递增；‎ 所以在上单调递增，无极大值也无极小值.‎ ‎（3）当时，，‎ 当时，，，单调递增；‎ 当时，，，单调递减；‎ 当时，，，单调递增.‎ 所以当时取到极大值，极大值是；‎ 当时取到极小值，极小值是.‎ 综上所述：‎ 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是，极小值是；‎ 当时，函数在上单调递增，无极值；‎ 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是，极小值是.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎22．在直角坐标系中，曲线的方程为.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求的直角坐标方程；‎ ‎（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程.‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2) .‎ 详解：（1）由，得的直角坐标方程为 ‎．‎ ‎（2）由（1）知是圆心为，半径为的圆．‎ 由题设知，是过点且关于轴对称的两条射线．记轴右边的射线为，轴左边的射线为．由于在圆的外面，故与有且仅有三个公共点等价于与只有一个公共点且与有两个公共点，或与只有一个公共点且与有两个公共点．‎ 当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．‎ 经检验，当时，与没有公共点；当时，与只有一个公共点，与有两个公共点．‎ 当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或 ‎．‎ 经检验，当时，与没有公共点；当时，与没有公共点． ‎ 综上，所求的方程为．‎ 点睛：该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，涉及到的知识点有曲线的极坐标方程向平面直角坐标方程的转化以及有关曲线相交交点个数的问题，在解题的过程中，需要明确极坐标和平面直角坐标之间的转换关系，以及曲线相交交点个数结合图形，将其转化为直线与圆的位置关系所对应的需要满足的条件，从而求得结果.‎ 选修4-5：不等式选讲 ‎23．已知.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若时不等式成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ 分析：(1)将代入函数解析式，求得，利用零点分段将解析式化为，然后利用分段函数，分情况讨论求得不等式的解集为；‎ ‎(2)根据题中所给的，其中一个绝对值符号可以去掉，不等式可以化为时，分情况讨论即可求得结果.‎ 详解：（1）当时，，即 故不等式的解集为．‎ ‎（2）当时成立等价于当时成立．‎ 若，则当时；‎ 若，的解集为，所以，故．‎ 综上，的取值范围为．‎