高二数学暑假综合练习二

高二数学暑假综合练习二

‎【2019最新】精选高二数学暑假综合练习二 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷纸相应位置上．‎ ‎1．已知集合A＝{x|x2＜3x＋4，xR}，则A∩Z中元素的个数为 ___________．‎ ‎2．已知＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，则ab＝___________．‎ ‎3．为了调查城市PM2.5的值，按地域把36个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为6，12，18．若用分层抽样的方法抽取12个城市，则乙组中应抽取的城市数为 ___________．‎ ‎4．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各参加其中一个小组，且他们参加各个兴趣小组是等可能的，则甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率为___________．‎ ‎5．已知非零向量a，b满足|a|＝|a＋b|＝1，a与b夹角为120°，则向量b的模为___________．‎ 开始 k←1‎ S←0‎ S＜20‎ k←k＋2‎ S←S＋k Y N 输出k 结束 ‎(第8题)‎ ‎6．在平面直角坐标系xOy中，已知焦点为F的抛物线y2＝2x上的点P到坐标原点O的距离为，则线段PF的长为___________．‎ ‎7．已知等比数列{an}的公比q＝－，Sn为其前n项和，则＝___________．‎ ‎8．右图是一个算法的流程图，最后输出的k＝___________．‎ ‎9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝1，A＝60°，‎ c＝,3)，则△ABC的面积为 ___________．‎ 16 / 16‎ ‎10．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的圆心在第一象限，圆C与x轴交于 A(1，0)，B(3，0)两点，且与直线x－y＋1＝0相切，则圆C的半径为___________．‎ ‎11．已知函数f(x)＝是R上的增函数，则实数k的取值范围 是_________．‎ ‎12．已知α，β为平面，m，n为直线，下列命题：‎ ‎①若m∥n，n∥α，则m∥α； ②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；‎ ‎③若α∩β＝n，m∥α， m∥β，则m∥n； ④若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n．‎ 其中是真命题的有___________．(填写所有正确命题的序号)‎ ‎13．已知直线x＝a(0＜a＜)与函数f(x)＝sinx和函数g(x)＝cosx的图象分别交于M，N两点，若MN＝，则线段MN的中点纵坐标为___________．‎ ‎14．已知函数f(x)＝2x2＋m的图象与函数g(x)＝ln|x|的图象有四个交点，则实数m的取值范围为___________． ‎ 16 / 16‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15．已知平面向量a＝(1，2sinθ)，b＝(5cosθ，3)．‎ ‎（1）若a∥b，求sin2θ的值；‎ ‎（2）若a⊥b，求tan(θ＋)的值．‎ ‎16．如图，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC，D为BC的中点．‎ ‎（1）若平面ABC⊥平面BCC1B1，求证：AD⊥DC1；‎ A B C D A1‎ B1‎ C1‎ ‎(第16题)‎ ‎（2）求证：A1B//平面ADC1．‎ ‎17．经观察，人们发现鲑鱼在河中逆流匀速行进时所消耗的能量为E＝kv3t，其中v为鲑鱼在静水中的速度，t为行进的时间(单位：h)，k为大于零的常数．如果水流的速度为3 km/h，鲑鱼在河中逆流行进100 km．‎ ‎（1）将鲑鱼消耗的能量E表示为v的函数；‎ ‎（2）v为何值时，鲑鱼消耗的能量最少?‎ ‎18．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A，B，离心率为，右准线为l：x＝4．M为椭圆上不同于A，B的一点，直线AM与直线l交于点P．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）若＝，判断点是否在以PM为直径的圆上，并说明理由；‎ A B P M N x y O ‎(第18题)‎ ‎（3）连结PB并延长交椭圆C于点N，若直线MN垂直于x轴，求点M的坐标．‎ ‎19．设t＞0，已知函数f (x)＝x2(x－t)的图象与x轴交于A、B两点．‎ ‎（1）求函数f (x)的单调区间；‎ 16 / 16‎ ‎（2）设函数y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率为k，当x0∈(0，1]时，k≥－恒成立，求t的最大值；‎ ‎（3）有一条平行于x轴的直线l恰好与函数y＝f(x)的图象有两个不同的交点C，D，若四边形ABCD为菱形，求t的值．‎ ‎20．已知数列{an}的首项a1＝a，Sn是数列{an}的前n项和，且满足：S＝3n2an＋S，an≠0，n≥2，n∈N*．‎ ‎（1）若数列{an}是等差数列，求a的值；‎ ‎（2）确定a的取值集合M，使aM时，数列{an}是递增数列．‎ 16 / 16‎ ‎21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ A．选修4—1：几何证明选讲 A B D C P O ‎·‎ ‎(第21A题)‎ 如图，CP是圆O的切线，P为切点，直线CO交圆O于A，B两点，AD⊥CP，垂足为D．‎ 求证：∠DAP＝∠BAP．‎ B．选修4—2：矩阵与变换 设a＞0，b＞0，若矩阵A＝ 把圆C：x2＋y2＝1变换为 椭圆E：＋＝1．‎ ‎（1）求a，b的值；‎ ‎（2）求矩阵A的逆矩阵A－1．‎ C．选修4—4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知圆C：ρ＝4cosθ被直线l：ρsin(θ－)＝a截得的弦长为2，求实数a的值．‎ D．选修4—5：不等式选讲 已知a，b是正数，求证：a2＋4b2＋≥4．‎ ‎【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎22．如图，PA⊥平面ABCD，AD//BC，∠ABC＝90°，AB＝BC＝PA＝1，AD＝3，E是PB的中点．‎ 16 / 16‎ ‎（1）求证：AE⊥平面PBC；‎ P A B C D E ‎(第22题)‎ ‎（2）求二面角B－PC－D的余弦值．‎ ‎23．在一个盒子中有大小一样的7个球，球上分别标有数字1，1，2，2，2，3，3．现从盒子中同时摸出3个球，设随机变量X为摸出的3个球上的数字和．‎ ‎ （1）求概率P(X≥7)；‎ ‎ （2）求X的概率分布列，并求其数学期望E(X)．‎ 16 / 16‎ 高二暑假综合练习（二）参考答案 一、填空题．‎ ‎1．4 2．－6 3．4 4． 5．1‎ ‎6． 7．－5 8．11 9．,6) 10． ‎11．[，1) 12．②③④ 13． 14．(－∞，－－ln2)‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15．（本小题满分14分）‎ 解：（1）因为a∥b，所以1×3－2sinθ×5cosθ＝0， …………………3分 即5sin2θ－3＝0，所以sin2θ＝． …………………6分 ‎（2）因为a⊥b，所以1×5cosθ＋2sinθ×3＝0． …………………8分 所以tanθ＝－． …………………10分 所以tan(θ＋)＝,1－tanθtan)＝． …………………14分 ‎16．（本小题满分14分）‎ 证明：（1）因为AB＝AC，D为BC的中点，所以AD⊥BC． ‎ 因为平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1＝BC，ADÌ平面ABC，‎ 16 / 16‎ 所以AD⊥平面BCC1B1． …………………5分 因为DC1Ì平面BCC1B1，所以AD⊥DC1． …………………7分 ‎（2）(证法一)‎ 连结A1C，交AC1于点O，连结OD， 则O为A1C的中点．‎ 因为D为BC的中点，所以OD//A1B． …………………11分 因为OD平面ADC1，A1B平面ADC1， ‎ 所以A1B//平面ADC1． …………………14分 16 / 16‎ ‎(证法二)‎ 取B1C1的中点D1，连结A1D1，D1D，D1B．则D1C1,dfo4()sup2(∥))BD．‎ 所以四边形BDC1D1是平行四边形．所以D1B// C1D．‎ 因为C1D平面ADC1，D1B平面ADC1，‎ 所以D1B//平面ADC1．‎ 同理可证A1D1//平面ADC1．‎ 因为A1D1平面A1BD1，D1B平面A1BD1，A1D1∩D1B＝D1，‎ 所以平面A1BD1//平面ADC1． …………………11分 因为A1B平面A1BD1，所以A1B//平面ADC1． …………………14分 ‎17．（本小题满分14分）‎ 解：（1）鲑鱼逆流匀速行进100km所用的时间为t＝． …………………2分 所以E＝kv3t＝kv3＝(v(3，＋¥))． …………………6分 ‎（2）E¢＝100k ＝100k． …………………10分 令E¢＝0，解得v＝4.5或v＝0(舍去)．‎ 因为k＞0，v＞3，所以当v(3，4.5)时，E¢＜0，当v(4.5，＋¥)时，E¢＞0．‎ 故E＝在(3，4.5)上单调递减，在(4.5，＋¥‎ 16 / 16‎ ‎)上单调递增．…………13分 所以，当v＝4.5时，E取得最小值．‎ 即v＝4.5km/h时，鲑鱼消耗的能量最小． …………………14分 ‎18．（本小题满分16分）‎ 解：（1）由＝，,＝4．))解得所以b2＝3．‎ ‎ 所以椭圆方程为＋＝1． …………………4分 ‎（2）因为＝，所以xM＝1，代入椭圆得yM＝，即M(1，)，‎ ‎ 所以直线AM为：y＝(x＋2)，得P(4，3)，‎ ‎ 所以＝(－1，)，＝(2，3)． …………………8分 因为·＝≠0，所以点B不在以PM为直径的圆上． …………………10分 ‎（3）因为MN垂直于x轴，由椭圆对称性可设M(x1，y1)，N(x1，－y1)．‎ 直线AM的方程为：y＝(x＋2)，所以yp＝，‎ 直线BN的方程为：y＝(x－2)，所以yp＝， …………………12分 所以＝．因为y1≠0，所以＝－．解得x1＝1．‎ 所以点M的坐标为(1，)． …………………16分 ‎19．（本小题满分16分）‎ 解：（1）f ′(x)＝3x2－2tx＝x(3x－2t)＞0，因为t＞0，所以当x＞或x＜0时，f ′(x)＞0，‎ 所以(－∞，0)和(，＋∞)为函数f (x)的单调增区间；‎ 当0＜x＜时，f ′(x)＜0，所以(0，)为函数f ‎ 16 / 16‎ ‎(x)的单调减区间． ………………4分 ‎（2）因为k＝3x02－2tx0≥－恒成立，所以2t≤3x0＋恒成立， …………………6分 因为x0∈（0，1]，所以3x0＋≥2)＝，‎ 即3x0＋≥，当且仅当x0＝,6)时取等号．‎ 所以2t≤，即t的最大值为,2)． …………………8分 ‎（3）由（1）可得，函数f (x)在x＝0处取得极大值0，在x＝处取得极小值－．‎ 因为平行于x轴的直线l恰好与函数y＝f (x)的图象有两个不同的交点，‎ 所以直线l的方程为y＝－． …………………10分 令f (x)＝－，所以x2(x－t)＝－，解得x＝或x＝－．‎ 所以C（，－），D（－，－）． …………………12分 因为A（0，0），B（t，0）．易知四边形ABCD为平行四边形．‎ AD＝)2＋(－)2)，且AD＝AB＝t，‎ 所以)2＋(－)2)＝t，解得：t＝,2)． …………………16分 ‎20．（本小题满分16分）‎ 解：（1）在S＝3n2an＋S中分别令n＝2，n＝3，及a1＝a得 16 / 16‎ ‎(a＋a2)2＝12a2＋a2，(a＋a2＋a3)2＝27a3＋(a＋a2)2，‎ 因为an≠0，所以a2＝12－2a，a3＝3＋2a． …………………2分 因为数列{an}是等差数列，所以a1＋a3＝2a2，即2(12－2a)＝a＋3＋2a，解得a＝3．……4分 经检验a＝3时，an＝3n，Sn＝，Sn－1＝满足S＝3n2an＋S．‎ ‎（2）由S＝3n2an＋S，得S－S＝3n2an，即(Sn＋Sn－1)(Sn－Sn－1)＝3n2an，‎ 即(Sn＋Sn－1)an＝3n2an，因为an≠0，所以Sn＋Sn－1＝3n2，(n≥2)，① ……………6分 所以Sn＋1＋Sn＝3(n＋1)2，②‎ ‎②－①，得an＋1＋an＝6n＋3，(n≥2)．③ ………………8分 所以an＋2＋an＋1＝6n＋9，④‎ ‎④－③，得an＋2－an＝6，(n≥2)‎ 即数列a2，a4，a6，…，及数列a3，a5，a7，…都是公差为6的等差数列， ………10分 因为a2＝12－2a，a3＝3＋2a．‎ 所以an＝ …………………12分 要使数列{an}是递增数列，须有 a1＜a2，且当n为大于或等于3的奇数时，an＜an＋1，且当n为偶数时，an＜an＋1，‎ 16 / 16‎ 即a＜12－2a，‎ ‎3n＋2a－6＜3(n＋1)－2a＋6(n为大于或等于3的奇数)，‎ ‎3n－2a＋6＜3(n＋1)＋2a－6(n为偶数)，‎ 解得＜a＜．‎ 所以M＝(，)，当aM时，数列{an}是递增数列． ………………16分 ‎21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ A．选修4—1：几何证明选讲 证明：因为CP与圆O 相切，所以∠DPA＝∠PBA． ………………2分 ‎ 因为AB为圆O直径，所以∠APB＝90°，‎ ‎ 所以∠BAP＝90°－∠PBA． ………………6分 A B D C P O ‎·‎ ‎(第21A题)‎ ‎ 因为AD⊥CP，所以∠DAP＝90°－∠DPA，‎ ‎ 所以∠DAP＝∠BAP． ………………10分 B．选修4—2：矩阵与变换 解（1）：设点P（x，y）为圆C：x2＋y2＝1上任意一点，‎ 经过矩阵A变换后对应点为P′（x′，y′）‎ 16 / 16‎ 则 ＝＝，所以． ………………2分 因为点P′（x′，y′）在椭圆E：＋＝1上，‎ 所以＋＝1，这个方程即为圆C方程． ………………6分 所以，因为a＞0，b＞0，所以a＝2，b＝． ………………8分 ‎（2）由（1）得A＝))，所以A－1＝ 0,0 ,3)))． ………………10分 C．选修4—4：坐标系与参数方程 解：因为圆C的直角坐标方程为(x－2) 2＋y2＝4，‎ ‎ 直线l的直角坐标方程为x－y＋2a＝0． ………………4分 ‎ 所以圆心C到直线l的距离d＝＝|1＋a|． ………………6分 ‎ 因为圆C被直线l截得的弦长为2，所以r2－d2＝3．‎ 即4－(1＋a)2＝3．解得a＝0，或a＝－2． ………………10分 D．选修4—5：不等式选讲 已知a，b是正数，求证：a2＋4b2＋≥4．‎ 证明：因为a，b是正数，所以a2＋4b2≥4ab． ………………2分 所以a2＋4b2＋≥4ab＋≥2)＝4．‎ 16 / 16‎ 即a2＋4b2＋≥4． ………………10分 ‎22．（1）根据题意，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ P A B C D E x y z 则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，‎ D(0，3，0)，P(0，0，1)，E(，0，)， ‎ ‎＝(，0，)，＝(0，1，0)，＝(－1，0，1)．‎ 因为·＝0，·＝0，‎ 所以⊥，⊥．‎ 所以AE⊥BC，AE⊥BP．‎ 因为BC，BP平面PBC，且BC∩BP＝B， ‎ 所以AE⊥平面PBC． ………………4分 ‎（2）设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)，则n·＝0，n·＝0．‎ 因为＝(－1，2，0)，＝(0，3，－1)，所以－x＋2y＝0，3y－z＝0．‎ 令x＝2，则y＝1，z＝3．‎ 所以n＝(2，1，3)是平面PCD的一个法向量． ………………8分 因为AE⊥平面PBC，所以是平面PBC的法向量．‎ 所以cos<，n>＝＝,14)．‎ 由此可知，与n的夹角的余弦值为,14)．‎ 根据图形可知，二面 16 / 16‎ 角B－PC－D的余弦值为－,14)． ………………10分 ‎23．解（1）P(X＝7)＝＝，P(X＝8)＝＝．‎ 所以P（X≥7）＝. ………………………4分 ‎（2）P(X＝6)＝＝，P(X＝5)＝＝，P(X＝4)＝＝．‎ 所以随机变量X的概率分布列为 X ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ P ‎　　　　　　　　　 …………………………………………8分 所以E(X)＝4×＋5×＋6×＋7×＋8×＝6． ………………………10分 16 / 16‎