云南省曲靖市罗平县第一中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试卷
数学试卷（理科）
一、选择题.
1．从某班65名同学中选取6名组成一个志愿者团，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从65人中剔除5人，余下的60人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的机会
A．不全相等 B．均不相等
C．都相等 D．无法确定
2.“若x2<1,则－1
1或x<－1,则x2>1 D.若x≥1或x≤－1,则x2≥1
3.已知命题p：在△ABC中,若A>B,则sin A>sinB,则下列命题为假命题的是
A.p的逆命题 B.p的否命题
C.p的逆否命题 D.p的否定
4．当x＝2时，下面的程序段结果是
A．3 B．7
C．15 D．17
5．如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的
数据，可以估计平均数与中位数分别是
A．12.5 12.5
B．12.5 13
C．13 12.5
D．13 13
6．某调查机构调查了某地100个新生婴儿的体重，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图(如图所示)，则新生婴儿的体重(单位：kg)在[3.2,4.0)的人数是
A．30 B．40 C．50 D．55
7．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为S＝105，
则判断框中应填入
A．i<6? B．i<7?
C．i<9? D．i<10?
8．已知过点P(2,2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a＝
A．－ B．1 C．2 D.
9．已知点M(1,0)和N(－1,0)，过点P(1,1)直线l与线段MN相交，则l斜率的取值范围为
A．（－,] B．[，+） C.[0,] D．（0，]
10.设f(x)＝x2－4x(x∈R),则f(x)>0的一个必要不充分条件是
A.x<0 B.x<0或x>4
C.|x－1|>1 D.|x－2|>3
11．为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，调查部门对某校6名学生进行问卷调查，6人得分情况如下：5,6,7,8,9,10.把这6名学生的得分看成一个总体．如果用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本，
则该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为
A. B. C. D.
12．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M、N分别是圆C1、C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为
A．5－4 B.－1 C．6－2 D.
二、填空题.
13. 命题“∀x∈R,ax2－2ax＋3>0”是假命题,则实数a的取值范围是________________.
14．若点P(1,1)为圆x2＋y2－6x＝0的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为
15．甲、乙、丙三人进行传球练习，共传球三次，球首先从甲手中传出，则第3次球恰好传回给甲的概率是________．
16．设点M(x0,1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是_______ _．
三.解答题（17题10分，18-22题均为12分）
17．甲乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢．
(1)若以A表示和为6的事件，求P(A)；
(2)这种游戏规则公平吗？试说明理由．
18.已知p：实数x满足x2－4ax＋3a2＜0,其中a＜0；q：实数x满足x2－x－6≤0.若﹁p是﹁q的必要条件,求实数a的取值范围.
19.过点P（-3,4）的直线l与x轴负半轴y轴正半轴分别交于A,B两点.
（1）求|OA|+|OB|的最小值，并求出此时l的方程.
（2）求面积的最小值，并求出此时l的方程.
20．为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：
(1)估计该校男生的人数；
(2)估计该校学生身高在170～185 cm之间的概率；
(3)从样本中身高在180～190 cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185～190 cm之间的概率．
21．已知圆C: x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，O为坐标原点，动点P在圆C外，过P（1,3）作圆C的切线.
(1)切线l的方程；
(2)已知Q(4,0), M为圆C上一动点，求面积的最大值
22．假设关于某设备的使用年限x(年)和所支出的维修费用y(万元)有如下的统计资料：
x
2
3
4
5
6
y
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
(1)求回归直线方程；
(2)估计使用年限为10年时，维修费用是多少？
数学试卷（理科）参考答案
一.1C;2D;3D;4C;5D;6B;7C;8C;9B;10D;11A;12A
二.13， 14,2x-y-1=0 15, 16,[-1,1]
17．解 (1)甲、乙出手指都有5种可能，因此基本事件的总数为5×5＝25，事件A包括甲、乙出的手指的情况有(1,5)、(5,1)、(2,4)、(4,2)、(3,3)共5种情况，∴P(A)＝＝.
(2)这种游戏规则不公平．由(1)知和为偶数的基本事件数为13个．(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(5,1)，(5,3)，(5,5)．所以甲赢的概率为，乙赢的概率为.所以这种游戏规则不公平．
18.解：由x2－4ax＋3a2＜0且a＜0得3a＜x＜a,
所以p：3a＜x＜a,对应集合A＝{x|3a＜x＜a}.
由x2－x－6≤0得－2≤x≤3,
所以q：－2≤x≤3,对应集合B＝{x|－2≤x≤3}.
因为﹁q⇒﹁p,所以p⇒q,所以A⊆B,
所以⇒－≤a＜0, 所以a的取值范围是.
19.解：由题意可设l:y-4=k(x+3)(k>0)
x=0时得B（0,3k+4）
y=0时得A()
(1) |OA|+|OB|=3k+4++3
所以|OA|+|OB|的最小值
此时3k=解得
l:+12=0
(2)
=24+
=24
所以的面积最小值为24
此时 解得k=
所以l:4x-3y+24=0
20．解 (1)样本中男生人数为40，由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为400.
(2)由统计图知，样本中身高在170～185 cm之间的学生有14＋13＋4＋3＋1＝35(人)，样本容量为70，所以样本中学生身高在170～185 cm之间的频率f＝＝0.5.故由f估计该校学生身高在170～185 cm之间的概率p1＝0.5.
(3)样本中身高在180～185 cm之间的男生有4人，设其编号为①②③④，样本中身高在185～190 cm之间的男生有2人，设其编号为⑤⑥.
从上述6人中任选2人的树状图为：
故从样本中身高在180～190 cm之间的男生中任选2人的所有可能结果数为15，至少有1人身高在185～190 cm之间的可能结果数为9，
因此，所求概率p2＝＝.
21解：把圆C的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，
∴圆心为C(－1,2)，半径r＝2.
(1)当l的斜率不存在时，此时l的方程为x＝1，C到l的距离d＝2＝r，满足条件．
当l的斜率存在时，设斜率为k，得l的方程为y－3＝k(x－1)，
即kx－y＋3－k＝0，
则＝2，解得k＝－.
∴l的方程为y－3＝－(x－1)，
即3x＋4y－15＝0.
综上，满足条件的切线l的方程为x＝1或3x＋4y－15＝0.
(2) |PQ|=3
直线PQ的方程为：x+y-4=0
点C到直线PQ的距离为：d=
所以 M到直线PQ的距离的最大值为d+r=
所以 的最大值为
22．解
(1) ＝4，＝5，＝90，iyi＝112.3
计算得： ＝＝＝1.23，
于是： ＝－ ＝5－1.23×4＝0.08，
即得回归直线方程为 ＝1.23x＋0.08.
(2)把x＝10代入回归方程 ＝1.23x＋0.08得 ＝12.38，
因此，估计使用10年维修费用是12.38万元．
