江苏省泗洪中学2020届高三年级冲刺卷数学试题

江苏省泗洪中学2020届高三年级冲刺卷数学试题

‎2020届高三年级冲刺卷 数学Ⅰ试题 一、填空题：本大题共14小题．‎ ‎1．若复数（i为虚数单位），则________．‎ ‎2．设集合，，若，则________．‎ ‎3．函数的定义域为________．‎ ‎4．为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的500辆汽车的时速，所得数据均在区间中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的500辆汽车中，时速在区间内的汽车有________辆．‎ ‎5．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为________．‎ ‎6．函数的最小正周期是________．‎ ‎7．箱子中有4个分别标有号码2，0，1，5的小球，从中随机取出一个记下号码后放回，再随机取出一个记下号码，则两次记下的号码均为奇数或偶数的概率为________．‎ ‎8．已知双曲线C：的一个焦点坐标为，且它的一条渐近线与直线l：垂直，则双曲线C的标准方程为________．‎ ‎9．已知各项均为正数的等比数列满足，，则的值为________．‎ ‎10．已知函数，若，则________．‎ ‎11．已知，，则________．‎ ‎12．如图，直四棱柱的体积为27，四边形ABCD为正方形，点E，F分别为棱，上的点（异于端点），且，则四棱锥的体积为________．‎ ‎13．已知函数满足，当时，．若在区间上，函数恰有一个零点，则实数a的取值范围是________．‎ ‎14．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．已知AC=BC，，，且O是AC的中点，若，则的值为________．‎ 二、解答题：本大题共6小题．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15．如图，在三棱柱中，已知M，N分别为线段，的中点，，且．‎ 求证：（1）平面平面．（2）平面ABC．‎ ‎16．在三角形ABC中，已知，．‎ ‎（1）求角A的值；‎ ‎（2）若的面积为，求边BC的长．‎ ‎17．某地区现有一个直角梯形水产养殖区ABCD，，，，，，在点P处有一灯塔（如图），且点P到BC，CD的距离都是1200m，现拟将养殖区ACD分成两块，经过灯塔P增加一道分隔网EF，在内试验养殖一种新的水产品，当的面积最小时，对原有水产品养殖的影响最小．设．‎ ‎（1）若P是EF的中点，求d的值；‎ ‎（2）求对原有水产品养殖的影响最小时的d的值，并求面积的最小值．‎ ‎18．如图，定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫作椭圆的“辅圆”．过椭圆第一象限内的一点P作x轴的垂线交其“辅圆”于点Q，当点Q在点P的上方时，称点Q为点P的“上辅点”．已知椭圆E：上的点的上辅点为．‎ ‎（1）求椭圆E的方程；‎ ‎（2）若的面积等于，求上辅点Q的坐标；‎ ‎（3）过上辅点Q作辅圆的切线与x轴交于点T，判断直线PT与椭圆E的位置关系，并证明你的结论．‎ ‎19．已知函数的导函数．‎ ‎（1）若函数存在极值，求m的取值范围；‎ ‎（2）设函数（其中e为自然对数的底数），对任意，若关于x的不等式在上恒成立，求正整数k的取值集合．‎ ‎19．已知，，都是各项不为零的数列，且满足，，其中是数列的前n项和，是公差为的等差数列．‎ ‎（1）若数列是常数列，，，求数列的通项公式；‎ ‎（2）若（是不为零的常数），求证：数列是等差数列；‎ ‎（3）若（为常数，），．求证：对任意的，，恒成立．‎ ‎2020届高三年级冲刺卷 数学Ⅱ（附加题）‎ ‎21．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ A．已知矩阵．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求矩阵M的特征值和特征向量．‎ B．在极坐标系中，已知曲线C的方程为，直线l的方程为．设直线l与曲线C相交于A，B两点，且，求r的值．‎ ‎【必做题】第22题、第23题．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎22．商场举行有奖促销活动，顾客购买每满400元的商品即可抽奖一次．抽奖规则如下：抽奖者掷各面标有1~6点数的正方体骰子1次，若掷得点数不大于4，则可继续在抽奖箱中抽奖；否则获得三等奖，结束抽奖．已知抽奖箱中装有2个红球与个白球，抽奖者从箱中任意摸出2个球，若2个球均为红球，则获得一等奖，若2个球为1个红球和1个白球，则获得二等奖，否则，获得三等奖（抽奖箱中的所有小球，除颜色外均相同）．‎ ‎（1）若，求顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率；‎ ‎（2）若一等奖可获奖金400元，二等奖可获奖金300元，三等奖可获奖金100元，记顾客一次抽奖所获得的奖金为X，若商场希望X的数学期望不超过150元，求m的最小值．‎ ‎23．对有个元素的总体进行抽样，先将总体分成两个子总体和（m是给定的正整数，且），再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本．用表示元素i和j同时出现在样本中的概率．‎ ‎（1）求的表达式（用m，n表示）；‎ ‎（2）求所有的和．‎ ‎2020届高三年级冲刺卷 数学Ⅰ试题评分细则 一、填空题：本大题共14小题．‎ ‎1． 2． 3． 4．200 5．8 6． 7． 8．‎ ‎9．2 10．2 11． 12．9 13． 14．-3‎ 二、解答题：本大题共6小题．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15．证明：（1），且N是的中点，， ‎ 又，，‎ ‎，平面，平面，‎ 平面，∴平面平面．‎ ‎（2）取AC中点P，连接NP，BP，‎ ‎∵N是中点，P为AC中点，‎ ‎，且，‎ 又M为中点，，且，‎ ‎，且，∴四边形PNMB是平行四边形，‎ ‎， ‎ 平面ABC，平面ABC，‎ 平面ABC．‎ ‎16．解：（1）在中，，，，‎ ‎，故，‎ 所以，‎ ‎，所以；‎ ‎（2）由（1）知，设，‎ 利用正弦定理：得：‎ ‎，‎ 又，解得，‎ 所以的面积为：，‎ 所以，即．‎ ‎17．解：（1）以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，‎ 则，，，．‎ AC所在直线方程为，AD所在直线方程为．‎ 设，，，．‎ ‎∵P是EF的中点，，解得，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎（2）∵EF经过点P，，‎ 即，化简得．‎ 由基本不等式得：，‎ 即，当且仅当时等号成立． ‎ ‎，， ‎ ‎，‎ 此时，．‎ 故对原有水产品养殖的影响最小时，．面积的最小值为．‎ ‎18．解：（1）因为椭圆过点，‎ 所以．①‎ 又因为点在椭圆E的辅圆上，‎ 所以．②‎ 由①②解得，，‎ 故椭圆E的方程为；‎ ‎（2）设，，其中，．‎ 因为点P，Q分别在椭圆与圆上，‎ 所以，，解得．‎ 又因为，‎ 所以，‎ 将代入，得，‎ 由可知，则，‎ 所以；‎ ‎（3）直线PT与椭圆E相切．‎ 由（2）可设，，其中，，‎ 则QT：，．‎ 又直线PT的斜率，‎ 所以直线PT的方程为，‎ 联立方程组 消去y，并整理得，‎ 即，‎ 因为，‎ 所以，即，‎ 所以．‎ 综上可知，直线PT与椭圆E相切．‎ ‎19．解：（1），‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∵函数存在极值，‎ 令，得，‎ 则，即，‎ ‎，‎ ‎∴m的取值范围为：；‎ ‎（2），‎ ‎∵关于x的不等式在上恒成立，‎ 在上恒成立，‎ 即对任意，任意恒成立，‎ 令 ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 令，‎ 则，显然在上单调递增，且，‎ ‎，‎ ‎∴存在使得，即，‎ ‎∴当时，，单调递减；当时，，单调递增，‎ ‎，‎ ‎∵对勾函数，当时单调递减，‎ ‎，‎ 又，‎ ‎∴k=1或2，‎ ‎∴k的取值集合为 ‎20．（1）解：∵，，‎ ‎．‎ 是各项不为零的常数列，，则，‎ 则由，及，得，‎ 当时，，‎ 两式作差，可得．‎ 当n=1时，满足上式，则；‎ ‎（2）证明：，‎ 当时，，‎ 两式相减得：，‎ 即，．‎ 即．‎ 又，，即．‎ ‎∴当时，，‎ 两式相减得：．‎ ‎∴数列从第二项起是公差为的等差数列．‎ 又当时，由，得，‎ 当时，由，得．‎ 故数列是公差为的等差数列；‎ ‎（3）证明：由（2），当时，，即，‎ ‎，，即，‎ ‎，即．‎ ‎，‎ 当时，，即．‎ 故从第二项起数列是等比数列，‎ ‎∴当时，．‎ ‎．‎ 另外，由已知条件可得，又，，，‎ ‎，因而．‎ 令，则．‎ 故对任意的，，恒成立．‎ ‎2020届高三年级冲刺卷 数学Ⅱ（附加题）评分细则 ‎21．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ A．[选修4-2：矩阵与变换]‎ 解：‎ ‎（1）．‎ ‎（2）矩阵M的特征多项式．‎ 令，解得M的特征值为，．‎ ‎①，，得 令，则，于是矩阵M的属于特征值的一个特征向量为．‎ ‎②，，得 令，则，于是矩阵M的属于特征值的一个特征向量为．‎ 因此，矩阵M的特征值为1，3，对应的一个特征向量分别为，．‎ B．[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ 解：以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系xOy，‎ 于是曲线C：的直角坐标方程为，表示以原点为圆心，半径为r的圆，‎ 由直线l的方程，化简得，‎ 所以直线l的直角坐标方程方程为，‎ 记圆心到直线l的距离为d，则，‎ 又，即，‎ 所以．‎ ‎【必做题】第22题、第23题．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎22．解：（1）设顾客参加一次抽奖活动获得三等奖为事件A，‎ 则顾客掷得点数大于4的概率为，‎ 顾客掷得点数不大于4，然后抽得三等奖的概率为，‎ 所以；‎ ‎（2）由题意可知，随机变量X的可能取值为100，300，400，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴随机变量X的数学期望 ‎，‎ 化简得：，‎ 依题意可知，，即，‎ 化简得：，又，‎ ‎，‎ 的最小值为9．‎ ‎23．解：（1）表示元素i和j同时出现在样本中的概率．‎ ‎，．‎ ‎．‎ ‎（2）当i，j都在中时，，‎ 而从中选两个数的不同方法数为，则的和为1．‎ 当i，j同时在中时，同理可得的和为1．‎ 当i在中，j在中时，‎ ‎，‎ 而从中选取一个数，从中选一个数的不同方法数为，‎ 则的和为4．所以所有的和为1+1+4=6．‎