2019-2020学年河南省三门峡市高二上学期期末数学（理）试题（解析版）

2019-2020学年河南省三门峡市高二上学期期末数学（理）试题（解析版）

‎2019-2020学年河南省三门峡市高二上学期期末数学（理）试题 一、单选题 ‎1．已知a，b，c为实数，则下列结论正确的是（ ）‎ A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 ‎【答案】C ‎【解析】根据不等式的性质，对各选项逐个判断即可得出．‎ ‎【详解】‎ 对A，若，当时，则，当时，则，所以A错误；‎ 对B，若，当时，则，当时，，‎ 当时，则，所以B错误；‎ 对C，若，，则，C正确；‎ 对D，若，当时，则，当时，则，所以D错误；‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查不等式的性质应用，属于基础题．‎ ‎2．命题“若,则且”的否命题为( )‎ A．若,则且 B．若,则或 C．若,则且 D．若,则或 ‎【答案】D ‎【解析】利用否命题的定义是条件、结论同时否定，将条件的“”变成“”，结论中的“”变成“”，但主要“且”的否定为“或”.‎ ‎【详解】‎ 因为命题的否命题是条件、结论同时否定，‎ 又因为的否定是；‎ 且的否定是则或；‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关写出给定命题的否命题的问题，属于简单题目.‎ ‎3．“双曲线的方程为”是“双曲线的渐近线方程为”的（ ）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】【详解】试题分析：若双曲线方程为，则渐近线方程为；但若渐近线为，其双曲线方程不一定是，还有很多，比如：．‎ ‎4．已知函数，则的值为（　　）‎ A． B．1 C． D．0‎ ‎【答案】D ‎【解析】求出的导函数，代入即得答案.‎ ‎【详解】‎ 根据题意，，所以，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导函的四则运算，比较基础.‎ ‎5．设a＞2，b＞0，若a+b=3，则的最小值为（ ）.‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据题意，分析可得（a-2）+b=1，进而可得=（）×[（a-2）+b]=2+（+），结合基本不等式的性质分析可得答案．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，若a+b=3，则（a-2）+b=1，‎ 则=（）×[（a-2）+b]=2+（+），‎ 又由a＞2，b＞0，则+≥2×=2，‎ 则=2+（+）≥4，即的最小值为4；‎ 当，即时，等号成立。‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查基本不等式的性质以及应用，注意对a+b=3的变形，属于基础题．‎ ‎6．设为正项等比数列的前项和，，，成等差数列，则的值为（ ）‎ A． B． C．16 D．17‎ ‎【答案】D ‎【解析】设等比数列的公比为q，q＞0，运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比q，再由等比数列的求和公式，计算可得所求值．‎ ‎【详解】‎ 正项等比数列{an}的公比设为q，q＞0，a5，3a3，a4成等差数列，‎ 可得6a3＝a5+a4，即6a1q2＝a1q4+a1q3，‎ 化为q2+q﹣6＝0，解得q＝2（﹣3舍去），‎ 则1+q4＝1+16＝17．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列的通项公式和求和公式，等差数列的中项性质，考查方程思想和化简运算能力，属于基础题．‎ ‎7．设关于的不等式组表示的平面区域内存在点满足，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】【详解】‎ 由约束条件，作出可行域如上图所示阴影部分，要使可行域存在，必有 ，可行域包括上的点，只要边界点在直线的上方，且在直线的下方，故有 ，解得 ，选D.‎ 点睛：平面区域的最值问题是线性规划的一类重要题型，在解答本题时，关键是画好可行域，分析目标函数的几何意义，然后利用数形结合的思想，找出点的坐标，即可求出答案．‎ ‎8．已知函数的图象与直线有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为，令，，则（ ）‎ A． B． C． D．与的大小不确定 ‎【答案】C ‎【解析】作出函数的图象与直线，由图可知，当直线 与 函数在上的图象相切时，刚好有三个交点，根据导数的几何意义即可 得到，以及，得，化简，即可得出答案．‎ ‎【详解】‎ 作出函数的图象与直线，如图所示：‎ 当直线与函数在上的图象相切时，刚好有三个交点．‎ 所以，，即得，‎ ‎，故．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数恒等变换，以及导数几何意义的应用，意在考查学生运用数形结合思想的能力和数学运算能力，属于中档题．‎ ‎9．设向量，，其中，则下列判断错误的是（ ）‎ A．向量与轴正方向的夹角为定值（与、之值无关）‎ B．的最大值为 C．与夹角的最大值为 D．的最大值为l ‎【答案】B ‎【解析】在A中，取z轴的正方向向量，求出与 的夹角即可判断命题正确；在B中，计算，利用不等式求出最大值即可判断命题错误；在C中，利用数量积求出与的夹角的最大值，即可判断命题正确；在D中，利用不等式求出最大值即可判断命题正确．‎ ‎【详解】‎ 解：由向量，，其中，知： 在A中，设z轴正方向的方向向量， 向量与z轴正方向的夹角的余弦值：‎ ‎， ∴向量与z轴正方向的夹角为定值45°（与c，d之值无关），故A正确； 在B中，， 且仅当a＝c，b＝d时取等号，因此的最大值为1，故B错误； 在C中，由B可得：， ， ∴与的夹角的最大值为，故C正确； 在D中，， ∴ad−bc的最大值为1．故D正确． 故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了空间向量的坐标运算、数量积的性质等基础知识与基本技能方法，考查运算求解能力，是中档题．‎ ‎10．已知是椭圆的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据题意设椭圆的右焦点，根据正弦定理即可求得a和c的关系，即可求得椭圆的离心率．‎ ‎【详解】‎ 设椭圆的右焦点F′，连接PF′，QF′，由∠PFQ=120°，则∠FPF′=60°，‎ 由正弦定理定理可知：∠PFF′=30°，‎ ‎∠PF′F=90°，‎ 则|FF′|=|QF|，即2c=|QF|，‎ ‎2a=|PF|+|QF|=3|QF|，‎ ‎∴椭圆的离心率e==，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 求解离心率的常用方法 ‎1.利用公式，直接求e.‎ ‎2.找等量关系，构造出关于，的齐次式，转化为关于的方程求解．‎ ‎3.通过取特殊位置或特殊点求解．‎ ‎11．已知函数，若方程有四个不等的实数根，则实数的取值范围是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先将方程有四个不等的实数根转化为的图像与直线有4个交点；用导数的方法判断函数的单调性，作出函数图像，根据函数的图像，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 方程有四个不等的实数根等价于的图像与直线有4个交点；‎ ‎（1）当时，，由得；由得；‎ 所以函数在上单调递增，在上单调递减；因此；‎ ‎（2）当时，，‎ 由得；由得；‎ 所以函数在上单调递增，在上单调递减；因此；‎ 由（1）（2）作出函数的图像与直线的图像如下：‎ 由图像易得.‎ 故选B ‎【点睛】‎ 本题主要考查由方程根的个数求参数的问题，灵活运用数形结合的方法，熟记导数方法判定函数单调性即可，属于常考题型.‎ ‎12．定义在区间上的函数使不等式恒成立，其中为的导数，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】依据题意可构造函数，，利用其单调性即可比较出大小．‎ ‎【详解】‎ 设，则，‎ 所以在上单调递减，可得，即，亦即；‎ 设，则，‎ 所以在上单调递增，可得，即，亦即．‎ 综上，可得．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的应用，以及利用导数研究函数的单调性，解题的关键是从题目条件构造出合适的函数，利用其单调性比较出大小，意在考查学生数学建模能力和数学运算能力，属于较难题．‎ 二、填空题 ‎13．函数取得极小值时的x值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据函数的导数得其单调性，即可求出．‎ ‎【详解】‎ 因为，令，解得或，‎ 当时，，当时，，当时，．‎ 所以，当时，函数取得极小值．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用导数求函数的极值点，属于基础题．‎ ‎14．设， 分别为曲线上不同的两点， ，若，且，则__________．‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】曲线，化简为 根据抛物线的定义得到 ‎ 又因为，故 ‎ 故答案为8.‎ ‎15．数列中，，，，，，，则________.‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】依题意可得，，，所以根据累乘法和裂项相消法即可求出，进而求出．‎ ‎【详解】‎ 由及得，，，‎ ‎，即．‎ 所以，，即有，‎ ‎　 .‎ 即有，．‎ 所以，．‎ 故答案为：5．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查累乘法和裂项相消法的应用，意在考查学生的分析能力和数学运算能力，属于中档题．‎ ‎16．方程的曲线即为函数的图象，对于函数，有如下结论：①在上单调递减；②函数存在零点；③函数的值域是R；④若函数和的图象关于原点对称，则函数的图象就是确定的曲线 其中所有正确的命题序号是________.‎ ‎【答案】①③‎ ‎【解析】根据绝对值的定义去绝对值，将方程化简，得到相应函数在各区间上的表达式，由此作出图象，即可即可判断各命题的真假．‎ ‎【详解】‎ 当且时，方程为，此时方程不成立；‎ 当且时，方程为，即，‎ 当且时，方程为，即，‎ 当且时，方程为，即，‎ 作出函数的图象，如图所示：‎ 对于①，由图可知，函数在上单调递减，所以①正确；‎ 对于②，由得，，因为双曲线和的渐近线为，所以函数的图象与直线无公共点，因此，函数不存在零点，所以②错误；‎ 对于③，由图可知，函数的值域是R，所以③正确；‎ 对于④，若函数和的图象关于原点对称，则用分别替换可得，‎ 即，则函数的图象是确定的曲线，而不是确定的曲线，所以④错误．‎ 综上，正确的为①③．‎ 故答案为：①③．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数图象和性质的应用，函数零点的存在性问题的解法应用，涉及圆锥曲线的有关几何性质，意在考查学生分析问题和解决问题的能力，以及数形结合和数学运算能力，属于较难题．‎ 三、解答题 ‎17．已知，命题p：对任意，不等式恒成立，命题q：方程表示焦点在x轴上的椭圆.‎ ‎（1）若命题p为真，求m的取值范围；‎ ‎（2）若命题为真，求m的取值范围.‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）‎ ‎【解析】（1）依题意可知，在成立，即，解出不等式即可求出；‎ ‎（2）先求出命题为真时对应的m的取值范围，再根据真值表可知，和为真，列出不等式组即可求出．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）命题p：对任意，不等式恒成立.‎ 若p真，可得在成立，由，则，可得；‎ ‎（2）∵椭圆焦点在x轴上，所以，∴‎ ‎∵为真，和为真．‎ 由（1）知，为真，则，‎ ‎∴，解得，.‎ 则实数m的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查不等式恒成立问题和一元二次不等式的解法应用，二次方程表示椭圆的条件应用，以及真值表的应用，意在考查学生的运算能力，属于基础题．‎ ‎18．已知函数．‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）函数，若方程在上有解，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）的增区间为，减区间为；（2）．‎ ‎【解析】（1）利用函数导数，求得函数的单调区间.‎ ‎（2）利用导数，求得的单调区间和值域，根据在有解列不等式，解不等式求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）函数的定义域为，， ‎ 令解得：，‎ 时，，此时函数是减少的．‎ 时，，此时函数是增加的．‎ 函数的增区间为，减区间为．‎ ‎（2），则，‎ 由（1）知，在为增函数，，‎ 在为增函数，即．‎ 在有解，只需满足即 实数a的取值范围为．‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数求函数的值域，属于中档题.‎ ‎19．如图，在底面是正方形的四棱锥中，，点在底面的射影恰是的中点.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）求二面角的正弦值大小.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】（1）推导出，，从而平面，由此能证明平面平面．‎ ‎（2）取的中点以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的大小．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：依题意，得平面，‎ 又平面，所以.‎ 又，，所以平面.‎ 又平面，‎ 所以平面平面.‎ ‎（2）取的中点，依题意，得，，两两互相垂直，‎ 所以以，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 由已知得，，‎ 所以，，，，‎ 则，，.‎ 设是平面的法向量，‎ 则 ‎ 令，则.‎ 设是平面的法向量，‎ 则 ‎ 令，则，‎ ‎ ，‎ 二面角的正弦值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．‎ ‎20．已知数列的前n项和为，且满足，数列中，，对任意正整数，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）是否存在实数，使得数列是等比数列？若存在，请求出实数及公比q的值，若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）求数列前n项和.‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）存在，， ‎ ‎（3）（）‎ ‎【解析】（1）根据与的关系即可求出；‎ ‎（2）假设存在实数，利用等比数列的定义列式，与题目条件，比较对应项系数即可求出，即说明存在这样的实数；‎ ‎（3）由（2）可以求出，所以根据分组求和法和分类讨论法即可求出．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，‎ 当时，；‎ 当时，． ‎ 故；‎ ‎（2）假设存在实数，使得数列是等比数列，数列中，，‎ 对任意正整数，.可得，且，‎ 由假设可得，即，‎ 则，可得，‎ 可得存在实数，使得数列是公比的等比数列；‎ ‎（3）由（2）可得，则，‎ 则前n项和 当n为偶数时，‎ 当n为奇数时，‎ 则（）．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查与的关系的应用，等比数列定义的应用，以及分组求和法和分类讨论法的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题．‎ ‎21．已知椭圆的左、右顶点分别为，，上下顶点分别为，，左、右焦点分别为，，离心率为e.‎ ‎（1）若，设四边形的面积为，四边形的面积为，且，求椭圆C的方程；‎ ‎（2）若，设直线与椭圆C相交于P，Q两点，分别为线段，的中点，坐标原点O在以MN为直径的圆上，且，求实数k的取值范围.‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）‎ ‎【解析】（1）依题意可得，，，再结合，即可解出，得出椭圆C的方程；‎ ‎（2）联立直线和椭圆C的方程，可解得，，再利用坐标原点O在以MN为直径的圆上，得到，且为矩形，因此，即可用表示出，然后根据离心率的范围求出的范围，即可根据二次函数的知识求出．‎ ‎【详解】‎ ‎（1），∴，由，可得，化为，‎ 联立，解得，，，∴椭圆C的方程为.‎ ‎（2）设，，联立，可得，‎ ‎∴，.‎ 由题意可知：，且为矩形，‎ ‎∴，而，‎ ‎∴，‎ 即，∴，‎ ‎∵，∴，‎ 可得，∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，圆的几何知识的应用，以及二次函数有关性质的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题．‎ ‎22．已知函数.‎ ‎（Ⅰ）若曲线在处的切线与直线平行，求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）若函数在定义域上为增函数，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）若有两个极值点，且，，若不等式恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）；（Ⅲ）．‎ ‎【解析】分析：（1）先求一阶导函数，，求参数的值 ‎（2）在定义域上为增函数，转化为恒成立，已知不等式的恒成立，求解参数的取值范围，分离变量，转化为求函数的最值问题．‎ ‎（3）一阶导函数，是方程的两正根，列出两根的关系式，用去表示，不等式的恒成立，求解参数的取值范围，分离变量，转化为求函数的最值问题 详解：（Ⅰ） ．‎ ‎（Ⅱ）的定义域为，函数在定义域上为增函数，‎ 在上恒成立， ‎ 即在上恒成立，‎ 可得，实数的取值范围．‎ ‎（Ⅲ），有两个极值点且 是方程的两正根，，‎ 不等式恒成立，即恒成立，‎ ‎ ，‎ 由得 ‎ 令 ‎ 令 ，‎ 即得 即 在上是减函数，‎ ‎ 故 ． ‎ 点睛：等价转化是解决本题的关键，导数是研究函数性质的基本工具，已知不等式的恒成立，求解参数的取值范围，分离变量，构造函数，求的最值问题．‎