2020年高考数学(理)二轮复习讲练测 专题03 函数性质（测）（解析版）
专题03 函数性质(测)
【满分：100分 时间：90分钟】
一、选择题(12*5=60分)
1．【山东省济宁市2019届高三二模数学】已知是定义在上的周期为4的奇函数，当时，，则 ( )
A． B．0
C．1 D．2
【答案】A
【解析】由题意可得：.
【名师点睛】本题考查函数的奇偶性，函数的周期性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
2．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上是减函数的是( )
A．y＝x－1 B．y＝ln x2
C．y＝ D．y＝－x2
【答案】D
【解析】由函数的奇偶性排除A、C，由函数的单调性排除B，由y＝－x2的图象可知当x>0时此函数为减函数，又该函数为偶函数.
3．已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且f(x＋1)＝，若f(x)在[－1,0]上是减函数，那么f(x)在[2,3]上是( )
A．增函数 B．减函数
C．先增后减的函数 D．先减后增的函数
【答案】A
【解析】由题意知f(x＋2)＝＝f(x)，所以f(x)的周期为2，又函数f(x)是定义域为R的偶函数，且f(x)在[－1,0]上是减函数，则f(x)在[0,1]上是增函数，所以f(x)在[2,3]上是增函数．
4．已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为( )
A．－3 B．1
C．2 D．1或2
【答案】B
【解析】由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，经检验只有n＝1符合题意．
5．若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax－5)的图象关于直线x＝0对称，则f(x)的最大值是( )
A．－4 B．4
C．4或－4 D．不存在
【答案】B
【解析】依题意，函数f(x)是偶函数，则y＝x2＋ax－5是偶函数，故a＝0，则f(x)＝(1－x2)(x2－5)＝－x4＋
6x2－5＝－(x2－3)2＋4，当x2＝3时，f(x)取最大值为4.
6．已知函数f(x)＝log2x＋，若x1∈(1,2)，x2∈(2，＋∞)，则( )
A．f(x1)<0，f(x2)<0 B．f(x1)<0，f(x2)>0
C．f(x1)>0，f(x2)<0 D．f(x1)>0，f(x2)>0
【答案】B
【解析】∵函数f(x)＝log2x＋在(1，＋∞)上为增函数，且f(2)＝0，∴当x1∈(1,2)时，f(x1)
f(2)＝0，即f(x1)<0，f(x2)>0.
7．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足f(2|a－1|)＞f(－)，则a的取值范围是( )
A. B.∪
C. D.
【答案】C
【解析】因为f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，所以f(－x)＝f(x)，且f(x)在(0，＋∞)上单调递减．由f(2|a－1|)＞f(－)，f(－)＝f()，可得2|a－1|＜，即|a－1|＜，所以＜a＜.
8．已知二次函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，且f(x)在[0,2]上是增函数，若f(a)≥f(0)，则实数a的取值范围是( )
A．[0，＋∞) B．(－∞，0]
C．[0,4] D．(－∞，0]∪[4，＋∞)
【答案】C
解析：由f(2＋x)＝f(2－x)可知，函数f(x)图象的对称轴为x＝＝2，又函数f(x)在[0,2]上单调递增，所以由f(a)≥f(0)可得0≤a≤4.
9．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则( )
A．f(－25)＜f(11)＜f(80) B．f(80)＜f(11)＜f(－25)
C．f(11)＜f(80)＜f(－25) D．f(－25)＜f(80)＜f(11)
【答案】D
【解析】∵f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，∴f(x－8)＝f(x)，∴函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝
f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．∵f(x)在区间[0,2]上是增函数，f(x)在R上是奇函数，∴f(x)在区间[－2,2]上是增函数，∴f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－25)＜f(80)＜f(11)．
10．【宁夏银川一中2018届高三第二次模拟考试数学】已知不等式对于恒成立，则的取值范围是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】不等式对于恒成立，等价于对于
恒成立，令，则，在上恒成立，，时，，，故的取值范围是.故选C．
【名师点晴】本题主要考查二次函数的性质以及不等式恒成立问题，不等式恒成立问题的常见解法：①分离参数，恒成立，即，或恒成立，即；②数形结合，的图象在图象的上方；③讨论最值，或恒成立.
11．已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，当x1，x2∈(0，＋∞)，x1≠x2时，都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0.
设a＝ln，b＝(ln π)2，c＝ln，则( )
A．f(a)>f(b)>f(c) B．f(b)>f(a)>f(c)
C．f(c)>f(a)>f(b) D．f(c)>f(b)>f(a)
【答案】C
【解析】由题意可知f(x)在(0，＋∞)上是减函数，且f(a)＝f(|a|)，f(b)＝f(|b|)，f(c)＝f(|c|)，又|a|
＝ln π>1，|b|＝(ln π)2>|a|，|c|＝ln π，且0|a|>|c|>0，∴f(|c|)>f(|a|)>f(|b|)，即f(c)>f(a)>f(b)．
12．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设函数的定义域为R，满足，且当时，．若对任意，都有，则m的取值范围是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】∵，．∵时，；
∴时，，；
∴时，，，
如图：当时，由
解得，，若对任意，
都有，则.则m的取值范围是
.故选B.
【名师点睛】本题考查了函数与方程，二次函数.解题的关键是能够得到时函数的解析式，并求出函数值为时对应的自变量的值.
二、填空题(4*5=20分)
13.若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝________.
【答案】1
【解析】∵f(x)为偶函数，∴f(－x)－f(x)＝0恒成立，∴－xln(－x＋)－xln(x＋)＝0恒成
立，∴xln a＝0恒成立，∴ln a＝0，即a＝1.
14．设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的单调递减区间是________．
【答案】[0,1)
【解析】
由题意知g(x)＝函数图象如图所示，由函数图象易得函数g(x)
的单调递减区间是[0,1)．
15．设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.
【答案】2
【解析】f(x)＝＝1＋，观察函数g(x)＝，显然函数g(x)为奇函数，所以g(x)的最大值与最小值的和为0，所以函数f(x)的最大值与最小值的和为2.
16．定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f＝0，则满足flogx>0的x的集合为________．
【答案】∪(1,3)
【解析】由题意，y＝f(x)为奇函数且f＝0，所以f＝－f＝0，又y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
则y＝f(x)在(－∞，0)上单调递增，于是或
即或解得00，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，
结合f(x)的图象(如图所示)知所以1＜a≤3，
故实数a的取值范围是(1,3]．
18、已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，a＞0且a≠1.
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；
(3)当a＞1时，求使f(x)＞0的x的解集．
【解析】(1)要使函数f(x)有意义，则解得－1＜x＜1.故所求函数f(x)的定义域为(－1,1)．
(2)由(1)知f(x)的定义域为(－1,1)，
又f(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x)＝－[loga(x＋1)－loga(1－x)]＝－f(x)，故f(x)为奇函数．
(3)因为当a＞1时，f(x)在定义域(－1,1)内是增函数，所以f(x)＞0⇔＞1，解得0＜x＜1.
所以使f(x)＞0的x的解集是(0,1)．
19、设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；
(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)．
【解析】(1)∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期为4的周期函数．
(2)当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2.
又f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2，∴f(x)＝x2＋2x.
又当x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]，∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．
又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.
从而求得x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8.
(3)f(0)＝0，f(2)＝0，f(1)＝1，f(3)＝－1.又f(x)是周期为4的周期函数，
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 008)＋f(2 009)＋f(2 010)
＋f(2 011)＝f(2 012)＋f(2 013)＋f(2 014)＋f(2 015)＝0，
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＝f(0)＋f(1)＝0＋1＝1.
20．设f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝。
(1)求当x<0时，f(x)的解析式。
(2)解不等式f(x)<－。
【解析】(1)因为f(x)是奇函数，所以当x<0时，f(x)＝－f(－x)，－x>0，又因为当x>0时，f(x)＝，所以当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－＝。
(2)f(x)<－，
当x>0时，即<－，所以<－，所以>，所以0<3x－1<8，解得0－，所以3－x>32，所以x<－2，
所以解集是(－∞，－2)∪(0,2)。
21．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x有f＝－f成立。
(1)证明y＝f(x)是周期函数，并指出其周期。
(2)若 f(1)＝2，求f(2)＋f(3)的值。
(3)若g(x)＝x2＋ax＋3，且y＝|f(x)|·g(x)是偶函数，求实数a的值。
【解析】(1)由f＝－f，且f(－x)＝－f(x)，知f(3＋x)＝f＝－f
＝－f(－x)＝f(x)，所以y＝f(x)是周期函数，且T＝3是其一个周期。
(2)因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，且f(－1)＝－f(1)＝－2，
又T＝3是y＝f(x)的一个周期，所以f(2)＋f(3)＝f(－1)＋f(0)＝－2＋0＝－2。
(3)因为y＝|f(x)|·g(x)是偶函数，且|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，所以|f(x)|为偶函数。
故g(x)＝x2＋ax＋3为偶函数，即g(－x)＝g(x)恒成立，
于是(－x)2＋a(－x)＋3＝x2＋ax＋3恒成立。于是2ax＝0恒成立，所以a＝0。
22．已知函数f(x)＝lg，其中a是大于0的常数。
(1)求函数f(x)的定义域。
(2)当a∈(1,4)时，求函数f(x)在[2，＋∞)上的最小值。
(3)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，试确定a的取值范围。
【解析】(1)由x＋－2>0，得>0，
当a>1时，x2－2x＋a>0恒成立，定义域为(0，＋∞)；
当a＝1时，定义域为{x|x>0且x≠1}；
当01＋}。
(2)设g(x)＝x＋－2，
当a∈(1,4)，x∈[2，＋∞)时，g′(x)＝1－＝>0恒成立，
所以g(x)＝x＋－2在[2，＋∞)上是增函数。所以f(x)＝lg在[2，＋∞)上是增函数。
所以f(x)＝lg在[2，＋∞)上的最小值为f(2)＝lg。
(3)对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，即x＋－2>1对x∈[2，＋∞)恒成立。
所以a>3x－x2，令h(x)＝3x－x2，而h(x)＝3x－x2＝－2＋在[2，＋∞)上是减函数，
所以h(x)max＝h(2)＝2，所以a>2，即a的取值范围为(2，＋∞)。
