2017-2018学年湖南师范大学附属中学高二下学期期末考试数学（理）试题（Word版）

2017-2018学年湖南师范大学附属中学高二下学期期末考试数学（理）试题（Word版）

‎2017-2018学年湖南师范大学附属中学高二下学期期末考试 数　学(理科)‎ 命题：‎ 审题：高二数学备课组 时量：120分钟　　　满分：150分 得分：______________‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1．已知复数z满足(2＋i)z＝2－i(i为虚数单位)，则z等于 A．3＋4i B．3－4i C.＋i D.－i ‎2．已知P＝{x|x2－5x＋4＜0}，Q＝，则P∩Q等于 A．(1，4) B．[2，4)‎ C．(1，2] D．(－∞，2]‎ ‎3．已知两组样本数据{x1，x2，…，xn}、{y1，y2，…，ym}的平均数分别为h和k，则把两组数据合并成一组以后，这组样本的平均数为 A. B. C. D. ‎4．已知{an}为等比数列，a1>0，a4＋a7＝2，a‎5a6＝－8，则a1＋a4＋a7＋a10等于 A．－7 B．－‎5 C．5 D．7‎ ‎5．如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面4个结论：‎ ‎①直线BE与直线CF异面；‎ ‎②直线BE与直线AF异面；‎ ‎③直线EF∥平面PBC；‎ ‎④平面BCE⊥平面PAD.‎ 其中正确的有 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎6．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)以及双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线将第一象限三等分，则双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为 A．2或 B.或 C．2或 D.或 ‎7．函数f(x)＝sin(2x＋φ)(0≤φ≤π)图像向右平移个单位后关于y轴对称，则φ的值是 A．0 B. C. D. ‎8．在正三角形ABC内任取一点P，则点P到A，B，C的距离都大于该三角形边长一半的概率为 A．1－ B．1－ C．1－ D．1－ ‎9．底面是边长为1的正方形，侧面是等边三角形的四棱锥的外接球的体积为 A. B. C. D. ‎10．在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为 A. B. C．(6－2)π D. ‎11．已知函数f(x)＝F(x)＝f(x)－x－1，且函数F (x)有2个零点，则实数a的取值范围为 A．(－∞，0] B．(－∞，1)‎ C．[1，＋∞) D．(0，＋∞)‎ ‎12．已知表示大于x的最小整数，例如＝4，＝－1，下列命题中正确的是 ‎①函数f(x)＝－x的值域是；‎ ‎②若{an}是等差数列，则也是等差数列；‎ ‎③若{an}是等比数列，则也是等比数列；‎ ‎④若x∈(1，2 018)，则方程－x＝有2 017个根．‎ A．②④ B．③④ C．①③ D．①④‎ 选择题答题卡 题 号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 得 分 答 案 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．‎ ‎13．从3名男同学和2名女同学中任选2名参加体能测试，则恰有1名男同学参加体能测试的概率为________．(结果用最简分数表示)‎ ‎14．《九章算术》是我国古代内容较为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆堡壔，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？答曰：二千一百一十二．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡壔就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一．”就是说：圆堡壔(圆柱体)的体积V＝×(底面的圆周长的平方×高)，则该问题中圆周率π的取值为________．(注：一丈＝10尺)‎ ‎15.(1＋x)6展开式中x2的系数为________．(结果用数字表示)‎ ‎16．如图2，“六芒星”由两个全等的正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行．点A，B是“六芒星”(如图1)的两个顶点，动点P在“六芒星”上(内部以及边界)，若＝x＋y，则x＋y的最大值是________．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．(本小题满分11分)‎ 如图，△ABC是等边三角形，D是BC边上的动点(含端点)，记∠BAD＝α，∠ADC＝β.‎ ‎(1)求2cos α－cos β的最大值；‎ ‎(2)若BD＝1，cos β＝，求△ABD的面积．‎ ‎18.(本小题满分11分)‎ 已知正项等比数列的公比为q，且a3＋a4＋a5＝，‎3a5是a3，a4的等差中项．数列满足b1＝1，数列的前n项和为2n2＋n.‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)求数列{bn}的通项公式．‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ 已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其中正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．‎ ‎(1)设Μ为ΑΒ中点，若＝.求证：ΜΡ∥平面CΝΒ1；‎ ‎(2)设二面角Β－CΒ1－Ν大小为θ，求sin θ的值．‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 某卫生监督检查部门对5家餐饮店进行卫生检查，若检查不合格，则必须整改．若整改后经复查仍不合格，则强制关闭．设每家餐饮店检查是否合格是相互独立的，且每家餐饮店整改前合格的概率是0.5，整改后复查合格的概率是0.8.计算：‎ ‎(1)恰好有两家餐饮店必须整改的概率；‎ ‎(2)平均有多少家餐饮店必须整改；‎ ‎(3)至少关闭一家餐饮店的概率．(精确到0.01)‎ ‎21.(本小题满分12分)‎ 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，其焦点为F1，F2，离心率为，若点P满足|PF1|＋|PF2|＝‎2a.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)若直线l：y＝kx＋m(k，m∈R)与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，△AOB的重心G满足：·＝－，求实数m的取值范围．‎ ‎22.(本小题满分12分)‎ 设函数f(x)＝ln(x＋a)＋x2.‎ ‎(1)若f(x)为定义域上的单调函数，求实数a的取值范围；‎ ‎(2)若g(x)＝ex＋x2－f(x)，当a≤2时，证明：g(x)>0.‎ ‎ ‎ 数学(理科)参考答案 一、选择题 ‎1．D　【解析】由(2＋i)z＝2－i，得z＝＝＝－i，故选D.‎ ‎2．C　【解析】解x2－5x＋4＜0，即(x－1)(x－4)＜0，得1＜x＜4，故P＝(1，4)．Q表示函数y＝的定义域，所以4－2x≥0，所以x∈(－∞，2]，即Q＝(－∞，2]．故P∩Q＝(1，2]．故选C.‎ ‎3．B　【解析】因为样本数据{x1，x2，…，xn}的平均数为h，{y1，y2，…，ym}的平均数为k，所以第一组数据和为nh，第二组数据和为mk，因此把两组数据合并成一组以后，这组样本的平均数为，故选B.‎ ‎4．B　【解析】由等比数列的性质可得a‎5a6＝a‎4a7＝－8，又a4＋a7＝2，解得a4＝－2，a7＝4或a7＝－2，a4＝4，因为a7＝a1q6>0，所以a4＝－2，a7＝4，a7＝a4q3＝－2q3＝4，所以q3＝－2，所以a1＝＝1，a10＝a7q3＝－8，所以a1＋a4＋a7＋a10＝－5，故选B.‎ ‎5．B　【解析】将展开图还原为几何体(如图)，因为E，F分别为PA，PD的中点，所以EF∥AD∥BC，即直线BE与CF共面，①错；因为B∉平面PAD，E∈平面PAD，E∉AF，所以BE与AF是异面直线，②正确；因为EF∥AD∥BC，EF平面PBC，BC平面PBC，所以EF∥平面PBC，③正确；平面PAD与平面BCE不一定垂直，④错．故选B.‎ ‎6．A　【解析】由题意可知，双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线的倾斜角为30°或60°，则k＝，∴k＝或，则e＝，∴e＝＝＝＝2或.‎ ‎7．D　【解析】f(x)＝sin(2x＋φ)(0≤φ≤π)图像向右平移个单位后得到的函数是g(x)＝sin，又g(0)＝sin＝±1，得φ－＝kπ＋(k∈Z)，∴φ＝kπ＋(k∈Z)，故选D.‎ ‎8．A　【解析】满足条件的正三角形ABC如图所示：设边长为2，其中正三角形ABC的面积S ‎△ABC＝×4＝.满足到正三角形ABC的顶点A，B，C的距离至少有一个小于1的平面区域如图中阴影部分所示，其加起来是一个半径为1的半圆，则S阴影＝π，则使取到的点到三个顶点A，B，C的距离大于1的概率P＝1－，故选A.‎ ‎9．D　【解析】设四棱锥为P－ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，PA＝PB＝PC＝PD＝1的外接球的半径为R，过P作PO1⊥底面ABCD，垂足O1为正方形ABCD的对角线AC，BD的交点，设球心为O，连接AO，由于AO＝PO＝R，AO1＝PO1＝，OO1＝－R，在Rt△AOO1中，＋＝R2，解得R＝，V球＝πR3＝π＝.‎ ‎10．A　【解析】设直线l：2x＋y－4＝0.因为|OC|＝|AB|＝d1，其中d1为点C到直线l的距离，所以圆心C的轨迹为以O为焦点，l为准线的抛物线．圆C半径最小值为d2＝×＝，其中d2为点O到直线l的距离，圆C面积的最小值为π＝.故选A.‎ ‎11．B　【解析】因为F(x)＝f(x)－x－1，且函数F(x)有2个零点，即f(x)－x－1＝0有2个实数根，所以当x≤0时，令ex－x－1＝0，解得x＝0，此时只有一个实数根，当x＞0时，令f(x)－x－1＝0，即x2＋(a－1)x＝0，即x[x－(1－a)]＝0，此时解得x＝1－a，要使得函数F(x)有2个零点，则1－a＞0，所以a＜1，故选B.‎ ‎12．D　【解析】当x∈Z时，＝x＋1，f(x)＝－x＝x＋1－x＝1；当xZ时，令x＝n＋a，n∈Z，a∈(0，1)，则＝n＋1，f(x)＝－x＝1－a∈(0，1)，因此f(x)＝－x的值域是；0.9，1，1.1是等差数列，但＝1，＝2，＝2不成等差数列；0.5，1，2是等比数列，但＝1，＝2，＝3不成等比数列；由前分析可得当x∈Z时，f(x)＝1；当xZ，x＝n＋a，n∈Z，a∈(0，1)时，f(x)＝1－a＝1－(x－n)＝n＋1－x，所以f(x＋1)＝f(x)，即f(x)＝－x是周期为1的函数，由于x∈(1，2)时f(x)＝2－x＝，x＝，即一个周期内有一个根，所以若x∈(1，2 018)，则方程－x＝有2 017个根．①④正确，故选D.‎ 二、填空题 ‎13.　【解析】从3名男同学和2名女同学中任选2名参加体能测试，则恰有1名男同学参加体能测试的概率为＝.‎ ‎14．3　【解析】圆柱体体积公式V＝πr2h，而由题意有V＝×(2πr)2×h，所以π＝3.‎ ‎15．30　【解析】因为(1＋x)6＝1·(1＋x)6＋·(1＋x)6，则(1＋x)6展开式中含x2的项为1·Cx2＝15x2，·(1＋x)6展开式中含x2的项为·Cx4＝15x2，故x2的系数为15＋15＝30.‎ ‎16．5　【解析】令正三角形边长为3，则＝(1，0)，＝，设直线AB与OC的交点为点D，若＝x＋y，则x＋y＝1.又由线性规划知识知当P在C点时，x＋y有最大值，此时＝5，故x＋y的最大值是5.‎ 三、解答题 ‎17．【解析】(1)由△ABC是等边三角形，得β＝α＋，‎ ‎0≤α≤，故2cos α－cos β＝2cos α－cos＝sin，‎ 故当α＝，即D为BC中点时，原式取最大值.5分 ‎(2)由cos β＝，得sin β＝，‎ 故sin α＝sin＝sin βcos －cos βsin ＝，7分 由正弦定理＝，‎ 故AB＝BD＝×1＝，9分 故S△ABD＝AB·BD·sin B＝××1×＝.11分 ‎18．【解析】(1)依题意，a3＋a4＋a5＝，‎6a5＝a3＋a4，则a5＝，a3＋a4＝，得＋＝，‎ 即6q2－q－1＝0，解得q＝或q＝－(舍)，所以q＝，a1＝1，‎ ‎∴数列的通项公式为an＝.5分 ‎(2)设cn＝(bn＋1－bn)·an，数列的前n项和为Sn，则Sn＝2n2＋n，所以cn＝‎ eq lc{(avs4alco1(S1　（n＝1）,Sn－Sn－1　（n≥2）))，‎ 解得cn＝4n－1.7分 所以bn＋1－bn＝(4n－1)·2n－1，故bn－bn－1＝(4n－5)·2n－2，n≥2，‎ bn－b1＝＋＋…＋＋ ‎＝(4n－5)·2n－2＋(4n－9)·2n－3＋…＋7·21＋3，9分 设Tn＝3＋7·21＋…＋(4n－9)·2n－3＋(4n－5)·2n－2，‎ ‎2Tn＝3·2＋7·22＋…＋(4n－9)·2n－2＋(4n－5)·2n－1，‎ 所以，－Tn＝3＋4·21＋…＋4·2n－3＋4·2n－2－(4n－5)·2n－1，‎ 因此Tn＝(4n－9)·2n－1＋5，n≥2，又b1＝1，‎ 所以bn＝(4n－9)·2n－1＋6.11分 ‎19．【解析】(1)证明：∵该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，‎ 俯视图为直角梯形，∴BA，BC，BB1两两垂直．且BC＝4，BA＝4，BB1＝8，AN＝4，‎ 以BA，BB1，BC分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图 则N(4，4，0)，B1(0，8，0)，C1(0，8，4)，C(0，0，4)，∴M(2，0，0)．‎ ‎∵＝，∴P(0，0，1)，则＝(－2，0，1)，设n2＝(x，y，z)为平面NCB1的一个法向量，‎ 则 取n2＝(1，1，2)，∴·n2＝(－2，0，1)·(1，1，2)＝0，又PM平面CNB1，∴MP∥平面CNB16分 ‎(2)由(1)可知平面ΒCΒ1的一个法向量为＝(4，0，0)，平面CΒ1Ν的法向量为n2＝(1，1，2)，‎ 则cos θ＝＝＝，∴sin θ＝.12分 ‎【注】本题只给出向量法，其他方法请参照标准酌情给分．‎ ‎20．【解析】(1)每家餐饮店必须整改的概率是1－0.5＝0.5，‎ 且每家餐饮店是否整改是相互独立的．‎ 所以恰好有两家餐饮店必须整改的概率是P1＝C×(1－0.5)2×0.53＝.4分 ‎(2)由题知，必须整改的餐饮店数ξ服从二项分布B(5，0.5)．从而ξ的数学期望是 Eξ＝5×0.5＝2.5，即平均有2.5家餐饮店必须整改.8分 ‎(3)某餐饮店被关闭，即该餐饮店第一次检查不合格，整改后经复查仍不合格，所以该餐饮店被关闭的概率是P2＝(1－0.5)×(1－0.8)＝0.1，从而该餐饮店不被关闭的概率是0.9.由题意，每家餐饮店是否被关闭是相互独立的，所以至少关闭一家餐饮店的概率是P3＝1－0.95≈‎0.41.12‎分 ‎21．【解析】(1)由e＝，可设椭圆C的方程为＋＝1，‎ 点P满足|PF1|＋|PF2|＝‎2a，等价于点P在椭圆上，∴＋＝1，∴a2＝2，‎ 所以椭圆C的方程为＋y2＝1.5分 ‎(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得方程组 消去y并整理得(1＋2k2)x2＋4kmx＋‎2m2‎－2＝0，‎ 则①.7分 设△AOB的重心为G(x，y)，由·＝－，可得x2＋y2＝.②‎ 由重心公式可得G，代入②式，‎ 整理可得(x1＋x2)2＋(y1＋y2)2＝4(x1＋x2)2＋[k(x1＋x2)＋‎2m]2＝4，③‎ 将①式代入③式并整理，得m2＝，10分 则m2＝＝1＋＝1＋.又由Δ>0可知k≠0，令t＝>0，∴t2＋4t>0，‎ ‎∴m2>1，∴m∈(－∞，－1)∪(1，＋∞).12分 ‎22．【解析】(1)解法1：f(x)的定义域为(－a，＋∞)，f′(x)＝ 方程2x2＋2ax＋1＝0的判别式Δ＝‎4a2－8.‎ ‎(ⅰ)若Δ<0，即－0，故f(x)单调递增．‎ ‎(ⅱ)若Δ＝0，则a＝或a＝－.‎ 若a＝，x∈(－，＋∞)，f′(x)＝.‎ 当x＝－时，f′(x)＝0，当x∈∪时，f′(x)>0，所以f(x)单调递增．‎ 若a＝－，x∈(，＋∞)，f′(x)＝>0，f(x)单调递增．‎ ‎(ⅲ)若Δ>0，即a>或a<－，‎ 则2x2＋2ax＋1＝0有两个不同的实根x1＝，x2＝.‎ 当a<－时，x1<－a，x2<－a，从而f′(x)在f(x)的定义域内没有零点，故f(x)单调递增．‎ 当a>时，x1>－a，x2>－a，f′(x)在f(x)的定义域内有两个不同的零点，‎ 即f(x)在定义域上不单调．综上：实数a的取值范围为a≤.6分 解法2：很显然f′(x)不可能有连续零点，若f(x)为定义域上的单调函数，‎ 则f′(x)≤0或f′(x)≥0恒成立，又f′(x)＝＋2x，因为x＋a>0，‎ 所以f′(x)<0不可能恒成立，所以f(x)为定义域上的单调函数时，只可能f′(x)≥0恒成立，‎ 即＋2x≥0恒成立，即＋2(x＋a)－‎2a≥0，即‎2a≤＋2(x＋a)，而＋2(x＋a)≥2，‎ 所以‎2a≤2，a≤，即实数a的取值范围为a≤.‎ 解法3：由解法2可知x∈(－a，＋∞)，＋2x≥0恒成立，得≥0恒成立，‎ 即2x2＋2ax＋1≥0恒成立，(ⅰ)当a≤0时，－a－＝－≥0，‎ 所以2x2＋2ax＋1>‎2a2－‎2a2＋1＝1，所以当a≤0时2x2＋2ax＋1≥0恒成立；‎ ‎(ⅱ)当a>0时，－a－＝－<0，所以(2x2＋2ax＋1)min＝－＋1，‎ 所以－＋1≥0时2x2＋2ax＋1≥0恒成立，解得00.‎ 当a＝2时，函数g′(x)＝ex－在(－2，＋∞)上单调递增，‎ 又g′(－1)<0，g′(0)>0，故g′(x)＝0在(－2，＋∞)上有唯一实根x0，且x0∈(－1，0)，‎ 当x∈(－2，x0)时，g′(x)<0，当x∈(x0，＋∞)时，g′(x)>0，从而当x＝x0时，g(x)取得最小值g(x0)．‎ 由g′(x0)＝0得ex0＝，ln(x0＋2)＝－x0，‎ 故g(x0)＝ex0－ln(x0＋2)＝＋x0＝＝>0，所以g(x)≥g(x0)>0.‎ 综上，当a≤2时，g(x)>0.12分