【数学】2018届一轮复习人教A版考点45古典概型学案

【数学】2018届一轮复习人教A版考点45古典概型学案

典型高考数学试题解读与变式2018版 ‎ 考点45 古典概型 一、 知识储备汇总与命题规律展望 1. 知识储备汇总:‎ ‎（1）概率的有关概念：‎ ‎①随机事件和随机试验是两个不同的概念：在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件，件每实现一次，叫做一次试验，如果试验结果预先无法确定，这种试验就是随机试验．‎ ‎②频率与概率有本质的区别，不可混为一谈．频率随着试验次数的改变而变化，概率却是一个常数，它是频率的 学抽象．当试验次数越 越多时，频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就可以近似地当作随机事件的概率．概率是频率的近似值，两者是不同概念。‎ ‎③基本事件空间：在一次试验中，我们常常要关心的是所有可能发生的基本结果，它们是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以用它们 描绘，这样的事件称为基本事件，所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，通常用大写希腊字母Ω表示．‎ ‎④事件的关系与运算：‎ 定义 符号表示 包含关系 ‎ 如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件 ‎ A包含于事件B) ‎ A⊆B 相等关系 若B⊇A且A⊇B A=B 并事件 ‎(和事件)‎ 若某事件发生当且仅当A发生或事件B发生，称此事件 为事件A与事件B的和事件 A∪B(或A＋B)‎ 交事件 ‎(积事件)[:学 ‎ 若某事件发生当且仅当A发生且事件B发生，则称 此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)‎ A∩B(或AB)‎ 互斥事件 若A∩B为不可能事件，则事件A与事件B互斥 A∩B＝∅‎ 对立事件 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件 A与事件B互为对立事件 A∩B＝∅；P(A∪B)＝‎ P(A)＋P(B)＝1‎ 其中，互斥事件与对立事件的区别与联系是：互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”‎ 的必要但不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分但不必要条件．‎ ‎（2）古典概型 ‎①定义：具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，[ :学_ _ ]‎ ‎（ⅰ）有限性试：验中所有可能出现的基本事件只有有限个；[ :学_ _ ]‎ ‎（ⅱ）等可能性：每个基本事件出现的可能性相等，简称古典概型．‎ ‎ ②概率公式：如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝.从集合的角度去看待古典概型，在一次试验中，等可能出现的全部结果组成一个集合I，基本事件的个数n就是集合I的元素个数，事件A是集合I的一个包含m个元素的子集．故P(A)＝＝.‎ ‎③若事件与事件互斥，则事件的概率；‎ 若事件与事件是对立事件，则.‎ 1. 命题规律展望：古典概型是高考考查的重点与热点，主要考查利用排列组合知识、互斥事件的和概率公式、相互独立事件的积概率公式及古典概型的知识求古典概型的概率，题型为选择题、填空题或理 解答题中求随机变量分布列中求概率或文 解答题中求古典概率，分值为5至17分，难度为基础题或中档难度题. ‎ 二、题型与相关高考题解读 ‎1.简单的古典概型问题 ‎1.1考题展示与解读 例1 【2017山东，理8】从分别标有，，，的张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【命题意图探究】本题主要考查利用排列组合知识计算古典概型，是中档题.‎ ‎【答案】C ‎【解析】标有，，，的张卡片中，标奇数的有张，标偶数的有张，所以抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是 ,选C.‎ ‎【解题能力要求】应用意识，运算求解能力 ‎【方法技巧归纳】解决古典概型问题首先要搞清所求问题是否是古典概型问题，其判断依据是：(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个．(2)每个基本事件出现的可能性相等．其次要搞清基本事件的总数以及所求事件中包含的基本事件的个数，然后利用古典概型的概率公式求解．‎ ‎1.2【典型考题变式】‎ ‎【变式1：改编条件】为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种颜色的花种在一个花坛中，余下的2种颜色的花种在另一花坛中，则红色和紫色的花种在同一花坛的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】从四种颜色中选择两种颜色种植在一个花坛中，则另外两种颜色的花种植在另外一个花坛中，种花的方法共有： 种，而红色和紫色的花种在同一花坛有2种方法，其概率值为,故选C.‎ ‎【变式2：改编结论】扇形AOB的半径为1，圆心角为90°.点C，D，E将弧AB等分成四份．连接OC，OD，OE，从图中所有的扇形中随机取出一个，若取到扇形的面积恰为S的概率为，则S=(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【变式3：改编问法】袋子中有四个小球，分别写有“幸”“福”“快”“乐”四个字，有放回地从中任取一个小球，取到“快”就停止，用随机模拟的方法估计直到第二次停止的概率：先由计算器产生1到4之间取整数值的随机数，且用1,2,3,4表示取出小球上分别写有“幸”“福”“快”“乐”四个字，以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：‎ ‎13　24　12　32　43　14　24　32　31　21‎ ‎23　13　32　21　24　42　13　32　21　34‎ 据此估计，直到第二次就停止的概率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由随机数表可知，在20个随机数组中，第二个数字是3的共有13 43 23 13 13共5个，所以其发生的概率为，故选B.‎ 2. 复杂古典概型问题 ‎2.1考题展示与解读 例2【2016高考天津文数】甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【命题意图探究】本题考查互斥事件的和概率公式，是基础题.‎ ‎【答案】A ‎【解析】甲不输概率为选A.‎ ‎【解题能力要求】运算求解能力 ‎【方法技巧归纳】复杂古典概型问题，常分成若干个简单互斥事件的和，再利用排列组合的知识计算这些简单事件的概率，最后利用互斥事件的和概率公式求解，常用正难则反思想求解.‎ ‎2.2【典型考题变式】‎ ‎【变式1：改编条件】一次数学考试中，4位同学各自在第22题和第23题中任选一题作答，则第22题和第23题都有同学选答的概率为（ ）学 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【变式2：改编结论】四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币．若硬币正面朝上，则这个人站起 ；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着．那么，没有相邻的两个人站起 的概率为（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】四个人抛硬币的可能结果有种，有不相邻人站起 的可能为：正反正反，反正反正，只有 人站起 的可能有种，没有人站起 的可能有种，所以所求概率为： ．选B.‎ ‎【变式3：改编问法】设分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，则方程有实根的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎3.古典概型与其他知识的交汇 ‎3.1考题展示与解读 例3 【2016高考四川文 】从2、3、8、9任取两个不同的数值，分别记为a、b，则为整数的概率= .‎ ‎【命题意图探究】本题以对数的概率为载体考查古典概型的计算，是基础题.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】从2，3，8，9中任取两个数记为，作为作为对数的底数与真数，共有个不同的基本事件，其中为整数的只有两个基本事件，所以其概率.‎ ‎【解题能力要求】转化与化归思想、运算求解能力 ‎【方法技巧归纳】解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算.‎ ‎3.2【典型考题变式】‎ ‎【变式1：改编条件】集合和，分别从集合， ‎ 中随机取一个数作为和，则方程表示焦点落在轴上的椭圆的概率是（ ）[ :学| | ]‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【变式2：改编结论】将甲、乙两枚骰子先后各抛一次，a、b分别表示抛掷甲、乙两枚骰子所出现的点数．若点P(a，b)落在直线x＋y＝m(m为常数)上，且使此事件的概率最大，则此时m的值为 (　　)‎ A. 6 B. 5 C. 7 D. 8‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意易知将甲、乙两枚骰子先后各抛一次，点（a，b）共有36种情况，其中当a＋b＝7时，共有6种情况，即（1,6），（2,5），（3,4），（4,3），（5,2），（6,1），此时概率最大，故当m＝7时，事件的概率最大．选C。学Z ‎ ‎【变式3：改编问法】将一颗骰子投掷两次，第一次、第二次出现的点数分别记为，设直线与平行的概率为，相交的概率为，则圆上到直线的距离为的点有（ ）‎ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 ‎【答案】C ‎【解析】由直线与平行得 ‎ 由直线与相交得所以，因此圆心到直线的距离为 ‎ ，即圆上到直线的距离为的点有三个，选C.‎ 三、 课本试题探 ‎ 必修3 P133页练习第4题第（1）小题：掷两粒骰子，计算出现点数总和为7的概率.‎ ‎【解析】掷两粒骰子总共有36种结果，其中点数之和的结果有：（1,6），（2,5），（3,4），（4,3），（5,2），（6,1）共6种，故出现点数之和为7的概率为.‎ 四．典例高考试题演练 ‎1.【江西省宜春市2017届五调】从1，2，3，4，5这5个数字中随机抽取3个，则所抽取的数字之和能被4整除的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】依题意，从5个数字中随机抽取3个，所有的情况为（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5），共10种可能，其中满足条件的为（1，2，5），（1，3，4），（3，4，5），共3种可能，故所求概率，故选A.‎ ‎2.【湖南省五市十校教研教改共同体2018届12月联考】齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马， 田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为（ ）[ :学 ]‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】设齐王的三匹马分别记为a1,a2,a3,田忌的三匹马分别记为b1,b2,b3，齐王与田忌赛马，其情况有：(a1, b1)、(a1, b2)、(a1, b3)、(a2, b1)、(a2, b2)、(a2, b3)、(a3, b1)、(a3, b2) 、(a3, b3)，共9种；其中田忌的马获胜的有(a2, b1)、(a3, b1)、(a3, b2)共3种,则田忌获胜的概率为，故选：A.‎ ‎3.【河北省衡水第一中学2018届分 综合考试】2017年3月22日，习近平出访俄罗斯，在俄罗斯掀起了中国文化热．在此期间，俄罗斯某电视台记者， 在莫斯 大学随机采访了7名大学生，其中有3名同学会说汉语，从这7人中任意选取2人进行深度采访，则这2人都会说汉语的概率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎4.【华中师范大学第一附属中学2018届上期期中】两次抛掷一枚骰子，则向上的点数之差的绝对值等于的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】 连续两次抛掷一枚骰子，记录向上的点数，基本事件的总数为，向上的点数之差的绝对值为包含的基本事件有： 共8个，所以向上的点数之差的绝对值为的概率为，故选B.‎ ‎5.【广东省广州市南沙区一中2018届期中】已知某运动员每次投篮命中的概率为40 .现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示没有命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了20组随机数：‎ ‎907　966　191　925　271　932　812　458　569　683　431　257　393　027　556　488　730　113　537　989‎ 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为(　　)‎ A. 0.35 B. 0.25 C. 0,20 D. 0.15‎ ‎【答案】B ‎【解析】观察数据，代表三次都命中的有431， 113共两个，而总的试验数据共20个，所以该运动员三次投篮都命中的概率为0，故选C． ‎ ‎6.【湖南省益阳市、湘潭市2018届高三9月调研】已知，则函数为减函数的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】函数为减函数，则.只有满足题意..所以函数为减函数的概率是.故选C.‎ ‎7.【贵州省贵阳市一中2018届月考（一）】某市国际马拉松邀请赛设置了全程马拉松、半程马拉松和迷你马拉松三个比赛项目，4位长跑爱好者各自任选一个项目参加比赛，则这4人中三个项目都有人参加的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】，故选B.‎ ‎8.【浙江省ZDB联盟2017届高三一模】袋子里有大小、形状相同的红球个，黑球个（），从中任取1个球是红球的概率记为，若将红球、黑球个数各增加1个，此时从中任取1个球是红球的概率记为；若将红球、黑球个数各减少1个，此时从中任取1个球是红球的概率记为，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】 因为，‎ 所以选D. ‎ ‎9.【广东省阳春市第一中学2018届高三上学期第三次月考】已知、、、，从这四个数中任取一个数使函数有极值点的概率为（ ）‎ A. B. C. D. 1‎ ‎【答案】B ‎10.【湖北省武汉市2018届部分学校新高三起点调研考】将一枚质地均匀的骰子投两次，得到的点数依次记为和，则方程有实数解的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】若方程有实根，则必有，若，则；若，则；若，则；若，则若，则；若，则， 事件“方程有实根”包含基本事件共， 事件的概率为，故选C.‎ ‎11.【南京师范大学附属中学2017届模拟一】从中任取两个数，其中一个作为对数的底数，另一个作为对数的真数，则对数值大于的概率是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】所有基本事件为 共六个，满足题设条件的事件有共三个，由古典概型的计算公式所求事件的概率，应填答案。‎ ‎12.【复旦大学附属中学2017届第一次月考】从集合中任取两个数，要使取到的一个数大于，另一个数小于（其中）的概率是，则________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】从集合中任取两个数的基本事件有种，取到的一个数大于k，另一个数小于k，比k的小的数有（k-1）个．比k的大的数有（10-k）个，故有，所以取到的一个数大于k，另一个数小于k（其中k∈{5，6，7，8，9}）的概率是，解得k=7，故答案为：7‎ ‎13.【河南省周口市一中2018届11月考】将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数，则直线与圆有公共点的概率为________.学 ‎ ‎【答案】‎ ‎14.【陕西省西安中学2018届高三上学期期中考试】某校从高一年级学生中随机抽取40中学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段： ， ，…， 所得到如图所示的频率分布直方图.‎ ‎（1）求图中实数的值；‎ ‎（2）若该校高一年级共有640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；‎ ‎（3）若从数学成绩在与两个分数段内的学生中随机选取2名学生，求这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率.‎ ‎【答案】(1)0.03;(2)544;(3) .‎ ‎【解析】(1)由于图中所有小矩形的面积之和等于1，所以10×(0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01)=1.‎ 解得a=0.03.‎ ‎ (2)根据频率分布直方图,成绩不低于60分的频率为1−10×(0.005+0.01)=0.85由于该校高一年级共有学生640人,利用样本估计总体的思想,可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为640×0.85=544人 .‎ ‎(3)成绩在[40,50)分数段内的人数为40×0.05=2人,分别记为A,B，成绩在[90,100]分数段内的人数为40×0.1=4人,分别记为C,D,E,F.‎ 若从数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生,则所有的基本事件有：(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F)共15种.‎ 如果两名学生的数学成绩都在[40,50)分数段内或都在[90,100]分数段内,那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在[40,50)分数段内,另一个成绩在[90,100]分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10.‎ 记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M,则事件M包含的基本事件有：(A,B),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),( D,F),(E,F)共7种.所以所求概率为P(M)= .‎ ‎15.【安徽省合肥市2018届高三调研性检测】近期“共享单车”在全国多个城市持续升温，某移动互联 ‎ 机构通过对使用者的调查得出，现在市场上常见的八个品牌的“共享单车”的满意度指数如茎叶图所示：‎ ‎（Ⅰ）求出这组数据的平均数和中位数；‎ ‎（Ⅱ）某用户从满意度指数超过80的品牌中随机选择两个品牌使用，求所选两个品牌的满意度指数均超过85的概率.‎ ‎【答案】（Ⅰ）平均数；中位数为83 （Ⅱ）概率为