广西省柳州市融水中学2020届高三上学期第五次周考数学（文）试卷

广西省柳州市融水中学2020届高三上学期第五次周考数学（文）试卷

数学（文）‎ 一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．已知集合，，则集合中元素的个数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知复数，其中为虚数单位.则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．且）是增函数，那么函数的图象大致是（ ）‎ A． B．C． D．‎ ‎4．已知向量，且，则的值是（　　）‎ A． B． C．3 D．‎ ‎5．已知函数，，则的零点个数为( )‎ A．6 B．7 C．8 D．9‎ ‎6．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则函数的一个单调减区间为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎7．的内角的对边分别为成等比数列，且，则等于（　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．设，向量，且则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知数列的前项和为，且，则等于（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎10．边长为的菱形中，, 点满足,则的值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知数列满足：，．则下列说法正确的是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎12．已知定义域为的函数，对任意的都有，且.当时，不等式的解集为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．已知，，则______.‎ ‎14．已知，，若是的充分条件，则实数的取值范围是______.‎ ‎15．已知下列命题：‎ ‎①命题“”的否定是“”；‎ ‎②已知为两个命题，若为假命题，则为真命题；‎ ‎③“”是“”的充分不必要条件；‎ ‎④“若则且”的逆否命题为真命题.‎ 其中 真命题的序号是__________．（写出所有满足题意的序号）‎ ‎16．已知函数，若存在实数满足，且，则的最大值为______.‎ 三、解答题:‎ 共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎17．（本题满分12分）数列满足，（）．‎ ‎（1）求证：数列是等差数列；‎ ‎（2）若，求正整数的最小值．‎ ‎18．（本题满分12分）某快递公司的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买台机器人的总成本(万元)．‎ ‎(1)若要使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？‎ ‎(2)现按(1)中的数量购买机器人，需要安排人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣，经实验知，每台机器人的日平均分拣量 (单位：件)，已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？‎ ‎19．（本题满分12分）在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，点，分别为，的中点，且，，.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的余弦值.‎ ‎20．（本题满分12分）已知抛物线，过其焦点的直线与抛物线相交于、两点，满足.‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）已知点的坐标为，记直线、的斜率分别为，，求的最小值.‎ ‎21．（本题满分12分）已知函数.‎ ‎（Ⅰ）若函数在上是单调递增函数，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若，对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ 选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ 22. ‎[选修4-4：坐标系与参数方程] 在直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数，），以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，已知直线与曲线C交于不同的两点A，B．‎ ‎(1)求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(2)设P(1，2)，求的取值范围．‎ ‎23.[选修4-5：不等式选讲]已知关于的函数．‎ ‎（Ⅰ）若对所有的R恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围 数学（文）‎ 参考答案 一、选择题 C B D A B A B C B C B D 二、填空题 13． 14． 15．② 16．‎ 三、解答题 ‎ ‎17.（1）由已知可得：，故：，‎ 所以数列是等差数列，‎ 首项，公差.‎ ‎（2）由（1）可得 ‎，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ ‎，‎ ‎∴，‎ 解得，‎ ‎∴，即正整数的最小值为17.‎ ‎18． (1)由总成本p(x)＝万元，可得每台机器人的平均成本y＝＝＝x＋＋1≥2＋1＝2.当且仅当x＝，即x＝300时，上式等号成立．∴若使每台机器人的平均成本最低，应买300台．‎ ‎(2)引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量 q(m)＝当1≤m≤30时，300台机器人的日平均分拣量为160m(60－m)＝－160m2＋9600m，∴当m＝30时，日平均分拣量有最大值144000件．当m＞30时，日平均分拣量为480×300＝144000(件)．∴300台机器人的日平均分拣量的最大值为144000件．若传统人工分拣144000件，则需要人数为＝120(人)．‎ ‎∴日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少×100%＝75%.‎ ‎19．（1）证明：取中点，连接，，‎ ‎∵为中点，∴，且，‎ 又为中点，底面为平行四边形，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，，即为平行四边形，‎ ‎∴，又平面，且平面，‎ ‎∴平面.‎ ‎（2）∵平面，平面，‎ ‎∴平面平面，‎ 过作，则平面，连结，‎ 则为直线与平面所成的夹角，‎ 由，，，得，‎ 由，得，‎ 在中，，得，‎ 在中，， ∴，‎ 即直线与平面所成角的余弦值为.‎ ‎20．（1）因为直线过焦点，设直线的方程为，‎ 将直线的方程与抛物线的方程联立，消去得，‎ 所以有，，，因此，抛物线的方程；‎ ‎（2）由（1）知抛物线的焦点坐示为，设直线的方程为，‎ 联立抛物线的方程，所以，，‎ 则有，，‎ 因此 ‎.‎ 因此，当且仅当时，有最小值.‎ ‎21．（Ⅰ）易知不是常值函数，∵在上是增函数，‎ ‎∴恒成立，所以，只需；‎ ‎（Ⅱ）因为，由（Ⅰ）知，函数在上单调递增，设，‎ 则，可化为，‎ 设，则，‎ 所以为上的减函数，即在上恒成立，‎ 等价于在上恒成立，设，所以，‎ 因为，所以函数在上是增函数，‎ 所以（当且仅当时等号成立）．‎ 所以．即的最小值为12．‎ ‎22．解：（1）因为，所以，两式相减可得直线的普通方程为. ‎ 因为，，，‎ 所以曲线的直角坐标方程. ‎ ‎（2）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程， ‎ 整理得关于的方程： . ‎ 因为直线与曲线有两个不同的交点，所以上述方程有两个不同的解，设为，‎ 则 ，. ‎ 并且，‎ 注意到 ，解得. ‎ 因为直线的参数方程为标准形式，所以根据参数的几何意义，‎ 有 ‎，‎ 因为，所以，.‎ 因此的取值范围是.‎ ‎23．（Ⅰ），‎ ‎∴或，‎ ‎∴或. ‎ 故m的取值范围为.‎ ‎（Ⅱ）∵的解集非空，∴，‎ ‎∴，‎ ‎①当时，，恒成立，即均符合题意；‎ ‎②当时，，，‎ ‎∴不等式可化为，解之得.‎ 由①②得，实数的取值范围为.‎