2019届二轮复习导数概念及其几何意义学案（全国通用）

2019届二轮复习导数概念及其几何意义学案（全国通用）

第三章 导数 第01节 导数概念及其几何意义 ‎【考纲解读】‎ 考 点 考纲内容 ‎5年统计 分析预测 导数概念及其几何意义 了解导数的概念与实际背景，理解导数的几何意义.‎ ‎2013·浙江卷文21；理22; ‎ ‎2018·浙江卷22.‎ ‎1.求切线方程或确定切点坐标问题为主； ‎ ‎2.单独考查导数概念的题目极少.‎ ‎3.导数的几何意义为全国卷高考热点内容，常见的命题探究角度有：‎ ‎(1)求切线斜率、倾斜角、切线方程．‎ ‎(2)确定切点坐标问题．‎ ‎(3)已知切线问题求参数．‎ ‎(4)切线的综合应用．‎ ‎4.备考重点：‎ ‎ (1) 熟练掌握基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则；‎ ‎(2) 熟练掌握直线的倾斜角、斜率及直线方程的点斜式.‎ ‎【知识清单】‎ ‎1．导数的概念 ‎1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即.‎ ‎2．函数f(x)的导函数 称函数为f(x)的导函数．‎ ‎2．函数在处的导数几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点 (x0，f(x0))处的切线的斜率(‎ 瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．‎ ‎【重点难点突破】‎ 考点1 利用导数的定义求函数的导数 ‎【1-1】一质点运动的方程为.‎ ‎（1）求质点在[1，1+Δt]这段时间内的平均速度；‎ ‎（2）求质点在t=1时的瞬时速度（用定义及求求导两种方法）‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【领悟技法】‎ ‎1.根据导数的定义求函数在点处导数的方法：‎ ‎①求函数的增量；‎ ‎②求平均变化率；‎ ‎③得导数，简记作：一差、二比、三极限.‎ ‎2.函数的导数与导数值的区间与联系：导数是原来函数的导函数，而导数值是导函数在某一点的函数值，导数值是常数学 ]‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】法一（注重导数概念的应用的解法）：因为，所以 ‎ ]‎ ‎，选B；‎ 法二（注重导数定义中各变量的联系的解法）：因为，所以 ‎（其中：），故选B. . ]‎ 考点2 导数的几何意义 ‎【2-1】【2018年全国卷II文】曲线在点处的切线方程为 ．‎ ‎【答案】y=2x–2‎ 点睛：求曲线在某点处的切线方程的步骤：①求出函数在该点处的导数值即为切线斜率；②写出切线的点斜式方程；③化简整理.学 + ‎ ‎【2-2】【2018年全国卷Ⅲ理】曲线在点处的切线的斜率为，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：求导，利用导数的几何意义计算即可。‎ 详解：‎ 则 所以 ]‎ 故答案为-3.‎ ‎【2-3】【2018届天津市河东区二模】函数在点处切线斜率为3，则值为 ．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】分析：首先对函数求导，利用导数的几何意义，即为导函数在相应的点的函数值等于3，从而得到其所满足的等量关系式，从而求得结果.‎ 详解：根据题意可得，，‎ 令，解得，‎ 则，所以的值为2.‎ ‎【2-4】已知函数的图象在点处的切线方程是，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由函数在某点的导数等于函数在该点的切线的斜率可知，有点必在切线上，代入切线方程，可得，所以有．‎ ‎【2-5】【2017届北京西城八中高三上期中】某堆雪在融化过程中，其体积（单位：）与融化时间（单位：）近似满足函数关系：（为常数），其图像如图所示．记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为．那么，，，中，瞬时融化速度等于的时刻是图中的 ．‎ ‎【答案】‎ 点睛：本题考查瞬时变化率与平均变化率的概念与区别，考查识别与应用基本概念解决问题的能力.‎ ‎【领悟技法】‎ ‎1.求函数图象上点处的切线方程的关键在于确定该点切线处的斜率，由导数的几何意义知，故当存在时，切线方程为.‎ ‎2.可以利用导数求曲线的切线方程，由于函数在处的导数表示曲线在点处切线的斜率，因此，曲线在点处的切线方程，可按如下方式求得：‎ 第一，求出函数在处的导数，即曲线在点处切线的斜率；‎ 第二，在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程；如果曲线在点处的切线平行于y轴(此时导数不存在)时，由切线的定义可知，切线的方程为.‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】【福建省厦门市2018届二模】设函数，直线是曲线的切线，则的最小值是（ ）‎ A. B. 1 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：设切点是，求出切线方程，可得，利用导数研究函数的单调性，根据单调性求出的最小值即可的结果.‎ 详解：设切点是，‎ 由是切线斜率，‎ 切线方程为，‎ 整理得，‎ ‎， 学 ]‎ 记，‎ 当，递减；‎ 当，递增；‎ 故，‎ 即的最小值是故选C.‎ 点睛：本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及利用导数研究函数的单调性与最值，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点 出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.‎ ‎【变式二】【2018届云南省昆明第一中学第八次月考】已知定义在上的函数，设两曲线与在公共点处的切线相同，则值等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：根据题意设出切点坐标为，根据导数的几何意义及两曲线与在公共点处的切线相同可得，解方程组即可求得的值 详解：依题意设曲线与在公共点处的切线相同.‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，即 ‎∵‎ ‎∴，‎ 故选D.‎ 点睛：本题考查导数的几何意义，解答本题的关键是列出方程组，方程组主要是从“两曲线与在公共点处的切线相同”转化引申出来的，说明切线的斜率相等，且这个切点在两个函数的图象上，即切点的导数相等，且切点的坐标满足两个函数的解析式.‎ ‎【变式三】曲线在点处的切线平行于直线，则点的坐标为（ ）‎ A． B． C．和 D．‎ ‎【答案】C.‎ ‎【解析】因，令，故或，所以或，经检验，点，均不在直线上，故选C．‎ ‎【变式四】曲线过点处的切线方程是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【变式五】已知函数，则函数点P（1，）的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为切线斜率所以切线方程为，与两坐标轴的交点为因此围成的三角形的面积为 ‎【易错试题常警惕】‎ 易错典例1：已知曲线．‎ ‎（1）求曲线在处的切线方程；‎ ‎（2）求曲线过点的切线方程．‎ 易错分析：易于因为审题不严或理解有误，将两道小题混淆，特别是第（2）小题独立出现时．‎ 正确解析：（1）∵ ，‎ ‎∴曲线在处的斜率． ‎ ‎∵时，，‎ ‎∴曲线在处的切线方程为，‎ 即． ‎ ‎(2) 设过点的切线与曲线相切于点，‎ 则切线的斜率为， ‎ ‎∴，‎ 整理得，‎ ‎∴，‎ 解得，或，‎ ‎∴所求的切线为，或．‎ 温馨提醒：(1)对于曲线切线方程问题的求解，对函数的求导是一个关键点，因此求导公式，求导法则及导数的计算原则要熟练掌握．(2)对于已知的点，应首先认真审题,对于确定切线的方程问题，要注意区分“该曲线过点P的切线方程”与“该曲线在点P处的切线方程”的两种情况，避免出错.从历年高考题看，“该曲线在点P处的切线方程”问题的考查较为普遍.‎ ‎【学 素养提升之思想方法篇】‎ ‎————近似与精确、有限与无限——无限逼近的极限思想 ‎1.由可以知道，函数的导数是函数的瞬时变化率，函数的瞬时变化率是平均变化率的极限，充分说明极限是人们从近似中认识精确的数学方法.极限的实质就是无限近似的量，向着有限的目标无限逼近而产生量变导致质变的结果，这是极限的实质与精髓，也是导数的思想及其内涵.‎ ‎2.曲线的切线定义，充分体现了运动变化及无限逼近的思想：“两个不同的公共点→两公共点无限接近→两公共点重合(切点)”“割线→切线”.‎ ‎(1)在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点P处的切线方程和求曲线过点P的切线方程，在点P处的切线，一定是以点P为切点，过点P的切线，不论点P在不在曲线上，点P不一定是切点．‎ ‎【典例】己知曲线存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a的取值范围为 ． ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由题意得，的导数为，由题意可得，即有两个不等的正根，则，，，解得．‎