2019-2020学年江西省南昌市第十中学高一上学期期末数学试题（解析版）

2019-2020学年江西省南昌市第十中学高一上学期期末数学试题（解析版）

‎2019-2020学年江西省南昌市第十中学高一上学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合A={x|x<1}，B={x|}，则 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵集合 ‎∴‎ ‎∵集合 ‎∴，‎ 故选A ‎2．在下列函数中，同时满足：①是奇函数，②以为周期的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由正弦函数，余弦函数的周期为知：A，B选项错误，‎ 周期为，且为奇函数，故正确，周期为，故错误，‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正弦函数、余弦函数、正切函数的周期性与奇偶性，属于容易题.‎ ‎3．已知平面向量，，且，则等于( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先根据向量的平行求出的值，再根据向量的坐标运算计算即可．‎ ‎【详解】‎ 解：∵，，且， ， 解得，， ， ， 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了向量的平行和向量的坐标运算，属于基础题．‎ ‎4．已知向量满足，，，那么向量的夹角为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题意，设向量的夹角为，由数量积的计算公式可得，结合的范围，即可得答案．‎ ‎【详解】‎ 解：根据题意，设向量的夹角为， 又由， 则， 又由， 则； 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量数量积的计算公式，关键是掌握向量夹角的计算公式．‎ ‎5．已知为第二象限的角，且，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由，①，，②，联立①②，再结合已知条件即可求出的值，则答案可求．‎ ‎【详解】‎ 解：，①，，②， 又为第二象限的角， ， 联立①②，解得， 则． 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数的化简求值，考查了同角三角函数基本关系，是基础题．‎ ‎6．已知，，则的值为( )‎ A．0 B． C． D．1‎ ‎【答案】B ‎【解析】直接利用数量积的坐标运算求解即可．‎ ‎【详解】‎ 解：因为，，‎ ‎．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数量积的坐标运算，以及两角差的余弦公式，是基础题．‎ ‎7．若，，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】，故选C.‎ 点睛：在三角化简求值类题目中，常常考“给值求值”的问题，遇见这类题目一般的方法为——配凑角：即将要求的式子通过配凑，得到与已知角的关系，进而用两角和差的公式展开求值即可.‎ ‎8．已知，则a，b，c的大小关系为（　　）‎ A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a ‎【答案】A ‎【解析】因为a=ln＜0，b=sin，c==＞，‎ 所以a＜b＜c，‎ 故选A．‎ 点睛：这个题目考查的是比较指数和对数值的大小；一般比较大小的题目，常用的方法有：先估算一下每个数值，看能否根据估算值直接比大小；估算不行的话再找中间量，经常和0，1，-1比较；还可以构造函数，利用函数的单调性来比较大小．‎ ‎9．若函数的图象向左平移后得到的图象关于y轴对称，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据三角函数的平移变换规律化简，图象关于y轴对称，可得函数是偶函数，可求的值．‎ ‎【详解】‎ 解：函数的图象向左平移后得到：‎ ‎， ∵平移后图象关于轴对称， ， ‎ ‎， 当时，可得， 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数的图象的平移变换规律，以及偶函数的性质，属于基础题．‎ ‎10．如图，正方形的边长为2，为的中点，，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】以点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则：，‎ 据此可得：，‎ 由平面向量数量积的坐标运算法则有：.‎ 本题选择A选项.‎ 点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．‎ ‎11．已知函数为的零点，为图象的对称轴，且在单调，则的最大值为 A．11 B．9‎ C．7 D．5‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x为f（x）的零点，x为y＝f（x）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f（x）在（，）上单调，可得ω的最大值．‎ ‎【详解】‎ ‎∵x为f（x）的零点，x为y＝f（x）图象的对称轴，‎ ‎∴，即，（n∈N）‎ 即ω＝2n+1，（n∈N）‎ 即ω为正奇数，‎ ‎∵f（x）在（，）上单调，则，‎ 即T，解得：ω≤12，‎ 当ω＝11时，φ＝kπ，k∈Z，‎ ‎∵|φ|，‎ ‎∴φ，‎ 此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；‎ 当ω＝9时，φ＝kπ，k∈Z，‎ ‎∵|φ|，‎ ‎∴φ，‎ 此时f（x）在（，）单调，满足题意；‎ 故ω的最大值为9，‎ 故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题将三角函数的单调性与对称性结合在一起进行考查,题目新颖,是一道考查能力的好题.注意本题求解中用到的两个结论：①的单调区间长度是最小正周期的一半;②若的图像关于直线对称,则或.‎ ‎12．若是定义在R上的奇函数，对任意不相等实数，都有，且有，则，，的大小关系是    ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据条件可得函数为周期函数，单调递增函数，利用函数的性质将变形，然后利用单调性比较大小.‎ ‎【详解】‎ 解：由已知对任意不相等实数，都有，则在上单调递增，又，则是周期函数，周期为4，‎ 因为是定义在R上的奇函数，‎ 所以，，，‎ 又，‎ ‎.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的奇偶性，周期性，单调性的综合应用，关键是要利用函数性质将自变量变到范围内，是基础题.‎ 二、填空题 ‎13．已知向量，，若，则________．‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】运用向量的加减运算和向量垂直的条件：数量积为0，计算即可得到．‎ ‎【详解】‎ 解：，，，‎ ‎，‎ 解得 故答案为7‎ ‎【点睛】‎ 本题考查平面向量的数量积的坐标表示和性质，考查向量垂直的条件，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎14．已知，tanα=2，则=______________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由得，又，所以，因为，所以，因为，所以．‎ ‎15．若向量,,则的最大值为 .‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】试题分析：根据题意，由于向量,,则可知=，那么化为单一函数可知，可知最大值为3，故填写3.‎ ‎【考点】向量的数量积 点评：解决的关键是对于向量的数量积的坐标运算以及数量积的性质的运用，属于基础题．‎ ‎16．已知不等式，对于任意的恒成立，则实数m的取值范围是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简整理，确定的不等式关系，进而利用的范围和正弦函数的性质确定的范围，进而求得的范围．‎ ‎【详解】‎ 解：， ， ， ， ， ， ， 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数的化简求值，三角函数的最值问题，不等式恒成立的问题．涉及了知识面较多，考查了知识的综合性，属于中档题．‎ 三、解答题 ‎17．已知，.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】(1);(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用同角基本关系及两角和余弦公式可得的值；‎ ‎（2）利用二倍角正余弦公式及两角差正弦公式可得所求值.‎ 试题解析：‎ ‎（1） ，.‎ ‎，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（2） ‎ ‎，‎ ‎ .‎ ‎18．已知向量，．‎ ‎1若 ，共线，求x的值；‎ ‎2若，求x的值；‎ ‎3当时，求与夹角的余弦值．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）‎ ‎【解析】（1）根据题意，由向量平行的坐标公式可得，解可得的值，即可得答案； （2）若，则有，利用数量积的坐标运算列方程，解得 的值即可； （3）根据题意，由的值可得的坐标，由向量的坐标计算公式可得和的值，结合，计算可得答案．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，向量，，‎ 若，则有，解可得．‎ 若，则有，‎ 又由向量，，‎ 则有，即，‎ 解可得. ‎ 根据题意，若，‎ 则有， ‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查两个向量共线、垂直的性质，两个向量坐标形式的运算，两个向量夹角公式的应用，属于中档题．‎ ‎19．已知函数．‎ ‎（1）求的最小正周期；‎ ‎（2）若，且，求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）首先将函数的解析式化为的形式，再利用求最小正周期的公式求得；‎ ‎（2）由已知，结合（1）可得：‎ ‎，然后由已知x的取值范围，确定出的取值范围，最后结合三角函数的图象可求得的值．‎ 试题解析：（1）‎ ‎．‎ 因为， 所以的最小正周期是．‎ ‎（2）由（1）得，因为，所以 而， 所以，‎ 所以 ‎【考点】1．三角恒等变形；2．三角函数的图象及性质．‎ ‎20．已知的部分图象如图所示 写出A，，的值直接写出结果；‎ 若，求在上的值域．‎ ‎【答案】（1），，；（2）‎ ‎【解析】（1）由的部分图象直接可求得，，和的值； （2）由求得的解析式，化为正弦型函数，再求在上的值域．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由的部分图象知， ，解得； ‎ ‎； 令， 解得； （2）由（1）知，； 所以； 当时，， 所以， 所以， 即函数在上的值域为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角恒等变换应用问题，是基础题．‎ ‎21．如图，在中，已知，，，点D，E分别在边AB，AC上，且，.‎ ‎（1）若点为的中点，用向量和来线性表示；‎ ‎（2）在（1）的条件下，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）利用向量的加法运算与数乘运算，用向量和来线性表示； （2）用，表示出，再计算.‎ ‎【详解】‎ 解：由已知 由可得，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎ ‎ ‎．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了平面向量的基本定理，平面向量的数量积运算，属于中档题．‎ ‎22．已知函数在区间上的最大值为10．‎ 求a的值及的解析式；‎ 设，若不等式在上有解，求实数t的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】(1)先对函数求导，判断出函数的最大值，进而可求出a的值及的解析式；‎ 根据(1)的结果得到，再由不等式在上有解，得到在上有解，令，即可得到在上有解，结合配方法可求出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎，，令，解得：，‎ 令，解得：，故在递减，在递增，，‎ 故，解得：，‎ 故；‎ 由，‎ 若不等式在上有解，‎ 则在上有解，‎ 即在上有解，‎ 令，，‎ 则在上有解，‎ 当时，，‎ 于是，‎ 故实数t的范围是．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数在函数中的应用，通常需要用导数的方法研究函数的单调性和最值等，属于常考题型.‎