2015年高考试题——数学理（北京卷）解析版

2015年高考试题——数学理（北京卷）解析版

本试卷共 5 页，150 分．考试时长 120 分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作 答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共 40 分） 一、选择题：本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项 是符合题目要求的. 1.1．复数  i 2 i A．1 2i B．1 2i C． 1 2i D． 1 2i 【答案】A 【解析】 试题分析： (2 ) 1 2i i i   考点：复数运算 2.若 x ， y 满足 0 1 0 xy xy x     ≤ ， ≤ ， ≥ ， 则 2z x y 的最大值为 A．0 B．1 C． 3 2 D．2 【答案】D 【解析】 试题分析：如图，先画出可行域，由于 2z x y ，则 11 22y x z   ，令 0Z  ， 作直线 1 2yx ，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z 取 得最小值 2. 考点：线性规划； 3.执行如图所示的程序框图，输出的结果为 A． 22 ， B． 40 ， C． 44， D． 08， 开始 x=1，y=1，k=0 s=x-y，t=x+y x=s，y=t k=k+1 k≥3 输出(x，y) 结束 是 否 【答案】B 考点：程序框图 4.设 ，  是两个不同的平面， m 是直线且 m ⊂ ．“ m ∥ ”是“∥ ”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 试题分析：因为 ， 是两个不同的平面，m 是直线且 m ⊂ ．若 “ m ∥ ”，则平面 、 可能相交也可能平行，不能推出 //，反过来若 ， m  ，则有 ，则 “ ”是“∥ ”的必要而不充分条件. 考点：1.空间直线与平面的位置关系；2.充要条件. 5.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是 正(主)视图 11 俯视图 侧(左)视图 2 1 A． 25 B． 45 C． 2 2 5 D．5 【答案】C 【解析】 试题分析：根据三视图恢复成三棱锥P-ABC ，其中PC 平面 ABC，取 AB 棱的中点 D， 连接 CD、PD，有 ,PD AB CD AB，底面 ABC 为等腰三角形底边 AB 上的高 CD 为 2， AD=BD=1,PC=1, 5, ABCPD S 1 2 2 2,2    , 1 2 5 52PABS     , AC BC 5 ， 1 512PAC PBCSS    5 2 ,三棱锥表面积 表 2 5 2S . 考点：1.三视图；2.三棱锥的表面积. 6.设 na 是等差数列. 下列结论中正确的是 A．若 120aa，则 230aa B．若 130aa，则 120aa C．若 120 aa，则 2 1 3a a a D．若 1 0a  ，则  2 1 2 3 0a a a a   【答案】C 考点：1.等差数列通项公式；2.作差比较法 7.如图，函数  fx的图象为折线 ACB ，则不等式    2log 1f x x ≥ 的解集是 A B O x y -1 2 2 C A． | 1 0xx ≤ B． | 1 1xx ≤ ≤ C． | 1 1xx ≤ D． | 1 2xx ≤ 【答案】C 【解析】 考点：1.函数图象；2.解不等式. 8.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在 不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是 A．消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米 B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C．甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，消耗 10 升汽油 D．某城市机动车最高限速 80 千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 【答案】 【解析】 试题分析：“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，A 中乙车消耗 1 升汽油，最 多行驶的路程为乙车图象最高点的纵坐标值，A 错误；B 中以相同速度行驶相同路程，甲 燃油效率最高，所以甲最省油，B 错误，C 中甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，甲 车每消耗 1 升汽油行驶的里程 10km,行驶 80km，消耗 8 升汽油，C 错误，D 中某城市机动 车最高限速 80 千米/小时. 由于丙比乙的燃油效率高，相同条件下，在该市用丙车比用乙 车更省油,选 D. 考点：1.函数应用问题；2.对“燃油效率”新定义的理解；3.对图象的理解. 第Ⅱ卷（非选择题 共 110 分） 二、填空题（共 6 个小题，每题 5 分，共 30 分） 9.在 52 x 的展开式中， 3x 的系数为 ．（用数字作答） 【答案】40 【解析】 试题分析：利用通项公式， 5 152r r r rT C x  ，令 3r  ，得出 3x 的系数为 32 5 2 40C  考点：二项式定理 10.已知双曲线   2 2 2 10x yaa    的一条渐近线为 30xy，则 a  ． 【答案】 3 3 考点：双曲线的几何性质 11.在极坐标系中，点 π2 3   ‚ 到直线  cos 3sin 6  的距离为 ． 【答案】1 【解析】 试题分析：先把点(2, )3  极坐标化为直角坐标(1, 3)，再把直线的极坐标方程  cos 3sin 6  化为直角坐标方程 3 6 0xy   ，利用点到直线距离公式 1 3 6 1 13 d    . 考点：1.极坐标与直角坐标的互化；2.点到直线距离. 12.在 ABC△ 中， 4a  ， 5b  ， 6c  ，则 sin 2 sin A C  ． 【答案】1 【解析】 试题分析： 2 2 2sin 2 2 sin cos 2 sin sin 2 A A A a b c a C C c bc    2 4 25 36 16 16 2 5 6      考点：正弦定理、余弦定理 13.在 ABC△ 中，点 M ， N 满足 2AM MC ， BN NC ．若 MN xAB yAC，则 x  ； y  ． 【答案】 11,26 【解析】 试题分析：特殊化，不妨设 , 4, 3AC AB AB AC   ，利用坐标法，以 A 为原点， AB 为x 轴，AC 为y 轴，建立直角坐标系， 3(0,0), (0,2), (0,3), (4,0), (2, )2A M C B N ， 1(2, ), (4,0),2MN AB   (0,3)AC  ，则 1(2, ) (4,0) (0,3)2 xy   ， 1 1 14 2,3 , ,2 2 6x y x y       . 考点：平面向量 14.设函数      21 4 2 1. x axfx x a x a x     ‚ ‚ ‚ ≥ ①若 1a  ，则  fx的最小值为 ； ②若  fx恰有 2 个零点，则实数 a 的取值范围是 ． 【答案】(1)1，(2) 1 12 a或 2a  . 考点：1.函数的图象；2.函数的零点；3.分类讨论思想. 三、解答题（共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 15．（本小题 13 分） 已知函数 2( ) 2 sin cos 2 sin2 2 2 x x xfx． (Ⅰ) 求 ()fx的最小正周期； (Ⅱ) 求 ()fx在区间[ π 0] ， 上的最小值． 【答案】（1）2 ，（ 2） 21 2 【解析】 试题分析：先用降幂公式和辅助角公式进行三角恒等变形，把函数化为 ( ) sin( )f x A x m   形式，再利用周期公式 2T   求出周期，第二步由于 0,x   则可求出 3 4 4 4x      ，借助正弦函数图象 找出在这个范围内 当 42x    ，即 3 4x  时， ()fx取得最小值为： . 试题解析：(Ⅰ) 2 1 1 cos( ) 2 sin cos 2 sin 2 sin 22 2 2 2 2 x x x xf x x        2 2 2sin cos2 2 2xx   2sin( )42x    (1) ()fx的最小正周期为 2 21T  ； (2) 30, 4 4 4xx          ，当 3,4 2 4xx       时， 取得最小值为： 考点： 1.三角函数式的恒等变形；2.三角函数图像与性质. 16.（本小题 13 分） A ， B 两组各有 7 位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下： A 组：10，11，12，13，14，15，16 B 组：12，13，15，16，17，14， a 假设所有病人的康复时间互相独立，从 A ，B 两组随机各选 1 人，A 组选出的人记为甲， B 组选出的人记为乙． (Ⅰ) 求甲的康复时间不少于 14 天的概率； (Ⅱ) 如果 25a  ，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率； (Ⅲ) 当 a 为何值时， A ， B 两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明） 【答案】（1） 3 7 ，（ 2） 10 49 ，（ 3） 11a  或18 17.（本小题 14 分） 如图，在四棱锥 A EFCB 中， AEF△ 为等边三角形，平面 AEF 平面 EFCB ，EF BC∥ ， 4BC  ， 2EF a ， 60EBC FCB     ，O 为 EF 的中点． (Ⅰ) 求证： AO BE ； (Ⅱ) 求二面角 F AE B的余弦值； (Ⅲ) 若 BE  平面 AOC ，求 a 的值． O F E C B A 【答案】(1)证明见解析，（2） 5 5 ，（ 3） 4 3a  【解析】 试题分析：证明线线垂直可寻求线面垂直，利用题目提供的面面垂直平面 AEF 平面 EFCB ，借助性质定理证明 AO  平面 EFCB，进而得出线线垂直，第二步建立空间直角 坐标系，写出相关点的坐标，平面 AEF 的法向量易得，只需求平面 AEB 的法向量，设平 面 AEB 的法向量，利用线线垂直，数量积为零，列方程求出法向量，再根据二面角公式 求出法向量的余弦值；第三步由于 AO BE ，要想 BE  平面 AOC ，只需 BE OC ， 利用向量 、BE OC 的坐标，借助数量积为零，求出a 的值，根据实际问题予以取舍. 试题解析：(Ⅰ)由于平面 平面 ， AEF△ 为等边三角形，O 为 EF 的中点，则 AO EF ，根据面面垂直性质定理，所以 平面 EFCB，又 BE  平面 ，则 . (Ⅱ)取 CB 的中点 D，连接 OD,以 O 为原点，分别以 、 、OE OD OA 为 、 、xyz轴建立空间 直角坐标系， (0,0 3 )Aa， ( ,0,0), (2,2 3 3 ,0), ( ,0, 3 )E a B a AE a a   ， (2 ,2 3 3 ,0)EB a a   ，由于平面 AEF 与y 轴垂直，则设平面 的法向量为 1 (0,1,0)n  ，设平面 AEB 的法向量 2 ( , ,1)n x y ， 2 , - 3 0, 3n AE ax a x   ， 2 ,(2 ) (2 3 3 ) 0, 1n EB a x a y y       ，则 2n  ( 3, 1,1) ，二面角 F AE B的余弦值 12 12 12 15cos , 55 nnnn nn         ，由 二面角 为钝二面角，所以二面角 的余弦值为 . （Ⅲ）有（1）知 AO  平面 EFCB，则 AO BE ，若 BE  平面 AOC ，只需 BE OC ， (2 ,EB a2 3 3 ,0)a ，又 ( 2,2 3 3 ,0)OC a   ， 22(2 ) (2 3 3 ) 0BE OC a a       ，解得 2a  或 4 3a  ，由于 2a  ，则 4 3a  . 考点：1.线线垂直的证明；2.利用法向量求二面角；3.利用数量积解决垂直问题. 18.（本小题 13 分） 已知函数   1ln1 xfx x   ． （Ⅰ）求曲线  y f x 在点   00f， 处的切线方程； （Ⅱ）求证：当  01x ， 时，   3 2 3 xf x x ； （Ⅲ）设实数 k 使得   3 3 xf x k x 对  01x ， 恒成立，求 k 的最大值． 【答案】（Ⅰ）20xy，（ Ⅱ）证明见解析，（Ⅲ） 的最大值为 2. 试题解析：（Ⅰ） 2 12( ) ln , ( 1,1), ( ) , (0) 2, (0) 01 1 xf x x f x f fx x         ，曲线 在点 处的切线方程为 ； （Ⅱ）当 时， ，即不等式 3 ( ) 2( ) 03 xf x x   ，对 (0,1)x 成立，设 331( ) ln 2( ) ln(1 ) ln(1 ) 2( )1 3 3 x x xF x x x x xx          ，则 4 2 2() 1 xFx x    ，当  01x ， 时， ( ) 0Fx  ，故 ()Fx在（0，1）上为增函数，则 ( ) (0) 0F x F，因此对 ， 3 ( ) 2( )3 xf x x成立； （Ⅲ）使   3 3 xf x k x 成立，  01x ， ，等价于 31( ) ln ( ) 013 xxF x k xx     ， ； 4 2 22 22( ) (1 ) 11 kx kF x k x xx       ， 当 [0,2]k  时， ( ) 0Fx  ，函数在（0，1）上位增函数， ，符 合题意； 当 2k  时，令 4 0 2( ) 0, (0,1)kF x x k     ， x 0(0, )x 0x 0( ,1)x ()Fx - 0 + ()Fx 极小值 ( ) (0)F x F ，显然不成立， 综上所述可知： k 的最大值为 2. 考点：1.导数的几何意义；2.利用导数研究函数的单调性，证明不等式；3.含参问题讨 论. 19.（本小题 14 分） 已知椭圆 C ：   22 2210xy abab    的离心率为 2 2 ，点  01P ， 和点  A m n，  0m≠ 都 在椭圆C 上，直线 PA 交 x 轴于点 M ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求点 M 的坐标（用 m ， n 表示）； （Ⅱ）设 O 为原点，点 B 与点 A 关于 x 轴对称，直线 PB 交 x 轴于点 N ．问： y 轴上是否 存在点Q ，使得 OQM ONQ   ？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】 【解析】 试题分析：椭圆 C ：   22 2210xy abab    的离心率为 2 2 ，点  01P ， 在椭圆上，利用条 件列方程组，解出待定系数 222, 1ab，写出椭圆方程；由点 和点  A m n，  0m≠ ，写出 PA 直线方程，令 0y  求出 x 值，写出直线与 x 轴交点坐标； 由点 (0,1), ( , )P B m n ，写出直线PB 的方程，令 0y  求出 x 值，写出点 N 的坐标， 设 0(0, )Qy， , tan tanOQM ONQ OQM ONQ       求出tan OQM 和 tan ONQ ，利用二者相等，求出 0 2y  ，则存在点Q（0， 2） 使得 . 试题解析：（Ⅰ）由于椭圆 ： 过点 且离心率为 ， 2 2 1 1, 1,b b  2 2 2 ce a 22 22 111 2 ab aa     ， 2 2a  ，椭圆 的方程为 2 2 12 x y. (0,1), ( , )P A m n ,直线PA 的方程为： 1 1nyxm ，令 0, 1 myx n ， ( ,0)1 mM n  ； 考点：1.求椭圆方程；2.求直线方程及与坐标轴的交点；3.存在性问题. 20.（本小题 13 分） 已知数列 na 满足： * 1a N ， 1 36a ≤ ，且 1 2 18 2 36 18 nn n nn aaa aa    ， ≤ ， ，  12n  ， ， ． 记集合  *|nM a nN ． （Ⅰ）若 1 6a  ，写出集合 M 的所有元素； （Ⅱ）若集合 M 存在一个元素是 3 的倍数，证明： M 的所有元素都是 3 的倍数； （Ⅲ）求集合 M 的元素个数的最大值． 【答案】（1） {6,12,24}M  ，（ 2）证明见解析，（3）8 【解析】 ①试题分析：（Ⅰ）由 1 6a  ，可知 2 3 412, 24, 12,a a a   则 ； （Ⅱ）因为集合 M 存在一个元素是 3 的倍数，所以不妨设 ka 是 3 的倍数，用数学归纳法 证明对任意nk ， na 是 3 的倍数，当 1k  时，则 M 中的所有元素都是 3 的倍数， 如果 1k  时，因为 12kkaa 或 12 36ka   ，所以 12 ka  是 3 的倍数，于是 1ka  是 3 的倍数，类似可得， 21,......kaa 都是 3 的倍数，从而对任意 1n  ， na 是 3 的倍数， 因此 M 的所有元素都是 3 的倍数.第二步集合 M 存在一个元素是 3 的倍数，所以不妨设 ka 是 3 的倍数，由已知 1 2 18 2 36 18 nn n nn aaa aa    ， ≤ ， ， ，用数学归纳法证明对任意nk ， 是 3 的倍数；第三步由于 M 中的元素都不超过 36， 中的元素个数最多除了前面两个数外， 都是 4 的倍数，因为第二个数必定为偶数，由 na 的定义可知，第三个数及后面的数必定 是 4 的倍数，由定义可知， 1na  和2 na 除以 9 的余数一样，分 na 中有 3 的倍数和 na 中没 有 3 的倍数两种情况，研究集合 M 中的元素个数，最后得出结论集合 M 的元素个数的最 大值为 8. 试 题 解 析 ： （ Ⅰ ） 由 已 知 可 知 ： 1 2 3 46, 12, 24, 12,a a a a    {6,12,24}M （Ⅱ）因为集合 存在一个元素是 3 的倍数，所以不妨设 是 3 的倍数，由已知 ，可用用数学归纳法证明对任意 ， 是 3 的倍数，当 1k  时，则 M 中的所有元素都是 3 的倍数，如果 1k  时，因为 12kkaa 或 12 36ka   ，所以 12 ka  是 3 的倍数，于是 1ka  是 3 的倍数，类似可得， 都 是 3 的倍数，从而对任意 ， 是 3 的倍数，因此 的所有元素都是 3 的倍数. （Ⅲ）由于 中的元素都不超过 36，由 1 36a  ，易得 2 36a  ，类似可得 36na  ， 其次 中的元素个数最多除了前面两个数外，都是 4 的倍数，因为第二个数必定为偶数， 由 的定义可知，第三个数及后面的数必定是 4 的倍数，另外，M 中的数除以 9 的余数, 由定义可知， 和 除以 9 的余数一样， 考点：1.分段函数形数列通项公式求值；2.归纳法证明；3.数列元素分析.