2019-2020学年陕西省商洛市洛南县高二上学期期末数学（理）试题（解析版）

2019-2020学年陕西省商洛市洛南县高二上学期期末数学（理）试题（解析版）

2019-2020 学年陕西省商洛市洛南县高二上学期期末数学（理） 试题 一、单选题 1．抛物线 的焦点坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：由于抛物线焦点在 x 轴上，开口向右，2p=2,故 p/2=1/2,,因此选择 D 2．命题“存在 ”的否定是（ ） A．存在 B．存在 C．任意 D．任意 【答案】C 【解析】根据命题的否定的形式，即可得出结论. 【详解】 “存在 ”的否定是 “任意 ”. 故选:C 【点睛】 本题考查命题的否定，要注意特称量词和全称量词之间的转换，属于基础题. 3．“ ”的一个充分条件是（ ） A． 或 B． 且 C． 且 D． 或 【答案】C 【解析】对于 或 ，不能保证 成立，故 不对；对于 或 ，不能保证 成立，故 不对；对于 且 ，由同向不等式相 加的性质知，可以推出 ，故 正确；对于 或 ，不能保证 成立，故 不对，故选 C. 4．已知 ，则 取最大值时 的值为（　　）． 2 2y x= 10, 2      10, 2  −   1 ,02  −   1 ,02      0 0 0(0, ),ln 1x x x∈ +∞ = − 0 0 0(0, ),ln 1x x x∈ +∞ ≠ − 0 0 0(0, ),ln 1x x x∉ +∞ = − (0, ),ln 1x x x∈ +∞ ≠ − (0, ),ln 1x x x∉ +∞ ≠ − 0 0 0(0, ),ln 1x x x∈ +∞ = − (0, ),ln 1x x x∈ +∞ ≠ − 2a b c+ > a c> b c> a c> b c< a c> b c> a c> b c< ,A a c> b c> 2a b c+ > A ,B a c> b c< 2a b c+ > B ,C a c> b c> 2a b c+ > C ,D a c> b c< 2a b c+ > D 0 1x< < (3 3 )x x− x A． B． C． D． 【答案】B 【解析】分析：由 ，利用基本不等式可得结果. 详解：∵ ， ∴ ，当且仅当 时取等号． ∴ 取最大值 时 的值为 ． 故选 ． 点睛：本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一 定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正； 二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一 定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用 或 时等号能否同时成立）. 5．等差数列 中，已知公差 ，且 ，则 的值为（ ） A．170 B．150 C．145 D．120 【答案】C 【解析】∵数列{an}是公差为 的等差数列，∴数列{an}中奇数项构成公差为 1 的等差数 列， 又∵a1+a3+…+a97+a99=60，∴50 + ×1=60, , = 145 故选 C 6．已知直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，若 ， ， 则直线 与平面 的位置关系是（ ） A．垂直 B．平行 C．相交但不垂直 D．直线 在平面 内或直线 与平面 平行 【答案】D 【解析】由 ，即可判断出直线 l 与平面 α 的位置关系． 1 3 1 2 2 3 3 4 ( ) ( )3 3 3 1x x x x− = − 0 1x< < ( ) ( ) 21 33 3 3 1 3 2 4 x xx x x x + − − = − ≤ ⋅ =   1 2x = ( )3 3x x− 3 4 x 1 2 B ≥ ≤ { }na 1 2d = 1 3 99 60a a a+ + + = 1 2 3 100a a a a+ + + + 1 2 1a 50 49 2 × 1a = 6 49 5 2 − 1 2 3 100a a a a+ + + + 1 100 99 1100 2 2a ×+ × = l a α n ( )1,1,1a = ( )1,0,1n = − l α l α l α 0a n = 【详解】 ∵ ， ∴ ⊥ ， ∴直线 l 在平面 α 内或直线 l 与平面 α 平行． 故选：D． 【点睛】 本题考查平面法向量的应用、直线与平面位置关系的判定，考查推理能力与计算能 力． 7． 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，已知 ,则 A= A． B． C． D． 【答案】C 【解析】试题分析：由余弦定理得： ，因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，故选 C. 【考点】余弦定理 【名师点睛】本题主要考查余弦定理的应用、同角三角函数的基本关系，是高考常考知 识内容.本题难度较小，解答此类问题，注重边角的相互转换是关键，本题能较好地考 查考生分析问题、解决问题的能力及基本计算能力等. 8．各项都是正数的等比数列 中， 成等差数列，则 的值为（ ） A． B． C． D． 或 【答案】A 【解析】根据已知条件 成等差数列，求出等比数列的公比，即可得结论. 【详解】 1 1 0a n = − + =  a n ABC 2 2, 2 (1 )b c a b sinA= = − 3 4 π 3 π 4 π 6 π ( )2 2 2 2 2 22 cos 2 2 cos 2 1 cosa b c bc A b b A b A= + − = − = − ( )2 22 1 sina b A= − cos sinA A= cos 0A ≠ tan 1A = ( )0,A π∈ 4A π= { }na 3 2 4 1, ,2a a a 2 5 1 2 − 5 1 2 + 1 5 2 − 5 1 2 − 5 1 2 + 3 2 4 1, ,2a a a 设等比数列 公比为 ， 成等差数列， ， . 故选：A. 【点睛】 本题考查等比数列基本量的运算，属于基础题. 9．已知 满足 ，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】作出满足条件的一元二次不等式组所表示的可行域，即可求出目标函数的取值 范围. 【详解】 作出可行域，如下图所示： 设 ， 当目标函数过 时，取得最小值 ， 当目标函数过 时，取得最大值 ， 的取值范围是 . 故选:B 【点睛】 { }na q 3 2 4 1, ,2a a a 2 2 3 4 2 2 2 , 0, 1 0a a a q q qa qa q= + = + > ∴ + − = ( ) ( ) 33 4 14 5 1 1 2 3 2 3 4 1 1 1 15 1 5 1,2 1 2 a q qa a a q a qq qa a a q a q a q q ++ +− −= ∴ = = = =+ + + ,x y 2 4 4 2 x y x y ≤ + ≤ − ≤ − ≤ − 2x y− [ 6,0]− [ 5, 1]− − [ 6,1]− [ 5,0]− 2 , 2z x y y x z= − ∴ = − ( 1,3)A − 5− ( )1,3B 1− 2x y− [ 5, 1]− − 本题考查二元一次不等式组表示平面区域，以及求线性目标函数的范围，属于基础题. 10．已知圆 与抛物线 的准线相切，则 的值为（ ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【解析】根据抛物线的准线与 轴负半轴垂直，求出圆满足条件的切线，即可求值. 【详解】 圆 与 轴负半轴垂直的切线是与 ， 即为抛物线的准线方程，所以 . 故选:B 【点睛】 本题考查抛物线的标准方程，属于基础题. 11．若双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为（ ） A．y=±2x B．y= C． D． 【答案】B 【解析】双曲线的离心率为 ，渐进性方程为 ，计算得 ，故渐进性方程为 . 【考点定位】本小题考查了离心率和渐近线等双曲线的性质. 12．将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角 A－BD－C，有如下四个结论： ① ② 是等边三角形 ③AB 与平面 BCD 所成的角是 ④AB 与 CD 所成角为 ，其中错误的结论个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】设正方形的边长为1，取 中点 ，连接 ，根据已知条件可得 平面 ， 平面 ，可证 平面 ，故 为正确；由 ，可求出 ，故 是等边三角形为正确； 平面 ， 2 2( 3) 16x y− + = 2 2 ( 0)y px p= > p 1 2 x 2 2( 3) 16x y− + = x 1x = − 2p = 2 2 2 2 1x y a b − = 3 2x± 1 2y x= ± 2 2y x= ± 2 2 3a b a + = by xa = ± 2b a = 2y x= ± AC BD⊥ ACD∆ 60° 60° BD O ,AO CO OC ⊥ ABD OA ⊥ BCD BD ⊥ AOC AC BD⊥ 2 2OA OC= = 1AC = ACD∆ 0A ⊥ BCD 求出 平面 所成角 ，故③不正确；过 作 ，可求出 ，故④正确，可得结论. 【详解】 设正方形的边长为 1，取 中点 ，连接 ， 可得 平面 ， 平面 ，①正确； 正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角 A－BD－C， 即平面 平面 ， ，平面 平面 ， 平面 ，同理 平面 ， ， 故 为正三角形，故②正确； 由 平面 ，所以 为 平面 所成角， 而 ，故③不正确； 过 作 ，连 ，则 或补角为 与 所成角， 在 ， 由余弦定理得 ， ，由余弦定理得 ， ， 平面 所成角为 ，故④正确. 故选：A 【点睛】 本题考查平面图形翻折后空间图形的垂直关系，三角形形状判断，求空间角，属于中档 AB BCD 45 D // ,DE AB DE AB= 120CDE∠ =  BD O ,AO CO , , ,OC BD OA BD OC OA O BD⊥ ⊥ = ∴ ⊥ AOC AC ⊂ ,AOC BD AC∴ ⊥ ABD ⊥ BCD OC BD⊥ ABD ∩ BCD BD= OC∴ ⊥ ABD OA ⊥ BCD 2 22, , 12OC OA OC OA AC OA OC∴ ⊥ = = ∴ = + = ACD∆ OA ⊥ BCD ABO∠ AB BCD 45ABO∠ =  D // ,DE AB DE AB= ,CE OE CDE∠ AB CD 2 3, 1, ,2 4ODE DE OD EDO π∆ = = ∠ = 2 2 2 25 , 32OE CE OE OC= = + = 1DE CD= = 2 2 2 1cos 2 2 CD DE CECDE CD DE + −∠ = = −⋅ 120CDE∴∠ =  AB BCD 60 题. 二、填空题 13．已知数列 ，则其前 项的和等于 ______． 【答案】 【解析】由题意可知此数列为 ，将 代入，根据数列特点，将通项公式化简， 利用裂项相消的求和方法即可求出前 n 项和. 【详解】 由题意可知此数列分母为以 1 为首项，以 1 为公比的等差数列的前 n 项和， 由公式可得： ，所以数列通项： ， 求和得： . 【点睛】 本题考查数列通项公式与数列求和，当通项公式为分式且分母为之差为常数时，可利用 裂项相消的方法求和，裂项时注意式子的恒等，有时要乘上系数. 14．在 中, 则 ＝____________. 【答案】 【解析】由正弦定理求出 ，即可求解. 【详解】 ， . 故答案为: 【点睛】 本题考查正弦定理的应用，属于基础题. 15．若 对任意的 恒成立，则实数 的取值范围是 ___________. 1 1 11 1 2 1 2 3 1 2 3 n+ + + + + + +  ， ， ， ， ， n 2 1 n n + 1 nS       nS ( )1 2n n nS += ( ) 1 2 1 121 1nS n n n n  = = − + +  1 22 1 1 1 n n n  − = + +  ABC∆ 2 3 ,3A a cπ∠ =＝ ， C∠ 6 π sinC 13 , sin 3sin , sin 2a c A C C= ∴ = ∴ = 0 ,2 6C C π π< < ∴ = 6 π 21x a ax + ≥ − (0, )x∈ +∞ a 【答案】 . 【解析】 转化为 ，求出 ，解关于 的不等 式，即可求解. 【详解】 ，当且仅当 时，等号成立， 对任意的 恒成立， 等价于 ，解得 ， 所以实数 的取值范围是 . 故答案为: 【点睛】 本题考查不等式恒成立问题，利用等价转化思想转化为函数的最值与参数 的关系，属 于基础题. 16．已知命题 函数 的定义域为 ，命题 若 ，则函 数 在 上是增加的，则下列结论中错误的是_______ ① 真 ② 假 ③ 假 ④ 假 【答案】②③ 【解析】判断命题 均为真命题，根据“或、且、非”命题间的真假关系，可得②③ 错误. 【详解】 因为 的定义域为 ，命题 为真； 根据反比例函数的图像特征可得命题 为真； 所以 为真， 为真， 为真， 为假. 故答案为: ②③ 【点睛】 本题考查复合命题的真假的判断，属于基础题. 三、解答题 17．已知等差数列 满足 ，前 3 项和 . [ 1,2]− 21x a ax + ≥ − 2 min 1( )x a ax + ≥ − min 1( )x x + a 1(0, ), 2x x x ∈ +∞ ∴ + ≥ 1x = 21x a ax + ≥ − (0, )x∈ +∞ 2 2a a− ≤ 1 2a− ≤ ≤ a [ 1,2]− [ 1,2]− a :p 0.5( ) log (3 )f x x= − ( ,3)−∞ :q k 0< ( ) kh x x = ( )0, ∞+ p q∧ p q∨ ( )p q∨ ¬ ( ) ( )p q¬ ∧ ¬ ,p q 0.5( ) log (3 )f x x= − ( ,3)−∞ p q p q∧ p q∨ ( )p q∨ ¬ ( ) ( )p q¬ ∧ ¬ { }na 3 2a = 3 9 2S = (1)求 的通项公式； (2)设等比数列 满足 ， ，求 的前 项和 . 【答案】(1)an (2) =2n﹣1． 【解析】（1）先设等差数列 的公差为 ，根据题意求出首项与公差，即可求出结 果； （2）先设等比数列 的公比为 ，根据题意求出公比，由求等比数列的求和公式， 即可求出结果. 【详解】 （1）设等差数列 的公差为 ，∵ ，前 3 项和 ． ∴ ， ，解得 ， ． ∴ ． （2）设等比数列 的公比为 ， 因为 ， ， 所以 ，解得 ． ∴ 前 项和 ． 【点睛】 本题主要考查等差数列与等比数列，熟记等差数列与等比数列的通项公式、求和公式即 可，属于常考题型 18． 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ．向量 与 平行． （Ⅰ）求 ； （Ⅱ）若 ， 求 的面积． 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） ． 【解析】【详解】试题分析：（1）根据平面向量 ，列出方程，在利用正弦定理求 出 的值，即可求解角 的大小；（2）由余弦定理，结合基本不等式求出 的最 大值，即得 的面积的最大值. { }na { }nb 1 1b a= 4 15b a= { }nb n nT 1 2 n += nT { }na d { }nb q { }na d 3 2a = 3 9 2S = 1 2 2+ =a d 1 93 3 2 + =a d 1 1a = 1 2d = 1 11 ( 1)2 2n na n += + − = { }nb q 1 1 1b a= = 4 15 8= =b a 3 8q = 2q = { }nb n 2 1 2 12 1 −= = −−n n nT C∆ΑΒ Α Β C a b c ( ), 3m a b= ( )cos ,sinn = Α Β Α 7a = 2b = C∆ΑΒ 3 π 3 3 2 //m n  tan A A bc ABC∆ 试题解析：（1）因为向量 与 平行， 所以 ， 由正弦定理得 ， 又 ，从而 tanA＝ ，由于 00，所以 c＝3. 故△ABC 的面积为 bcsinA＝ . 【考点】平面向量的共线应用；正弦定理与余弦定理. 19．曲线 上任意一点 到定点 的距离比到直线 的距离大 2. （1）求曲线 的方程； （2）过点 且斜率为 1 的直线与曲线 交于 A、B 两点， 为坐标原点，求 的面积. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】（1）把已知条件转为曲线 上任意一点 到定点 的距离等于到直线 的距离相等，根据抛物线的定义，即可求出曲线 的方程； （2）求出过点 且斜率为 1 的直线方程，与抛物线方程联立，消元，得到一元二次方 程，结合韦达定理，即可求出结论. 【详解】 （1）曲线 上任意一点 到定点 的距离比到直线 的距离大 2. 则曲线 上任意一点 到定点 的距离等于到直线 的距离， 曲线 的轨迹就是以 为焦点， 为准线的抛物线， 其方程为 ； （2）过点 且斜率为 1 的直线方程为 ， ( ), 3m a b= ( )cos ,sinn = Α Β 3 0asinB bcosA－ ＝ sinAsinB－ 3 0sinBcosA＝ sin 0B ≠ 3 3 π 7 3 π 1 2 3 3 2 C M (3,0)F 1x = − C F C O OAB∆ 2 12y x= 18 2 C M (3,0)F 3x = − C F C M (3,0)F 1x = − C M (3,0)F 3x = − C (3,0)F 3x = − 2 12y x= F 3y x= − 联立 ，消去 ，得 ， 设 ， . 【点睛】 本题考查抛物线的定义求方程，考查抛物线与直线的位置关系，以及相交弦有关的面积 问题，属于中等题. 20．如图，已知菱形 和矩形 所在的平面互相垂直， ， . (1)求直线 与平面 的夹角； (2)求点 到平面 的距离. 【答案】(1) . (2) 【解析】设 ,以 点为坐标原点，以 为 轴， 为 轴，过 点 且平行于 的方向为 轴正方向，建立空间坐标系， （1）由题意，求出直线 的方向向量，平面 的一个法向量，由向量夹角，即 可得到直线与平面夹角； （2）先求出平面 的一个法向量 ，由点 到平面 的距离 ，即可 求出结果. 【详解】 设 ，因为菱形 和矩形 所在的平面互相垂直，所以易得 平面 ；以 点为坐标原点，以 为 轴， 为 轴，过 点且平行 于 的方向为 轴正方向，建立空间坐标系， （1）由已知得： , , , , , 2 12 3 y x y x  =  = − x 2 12 36 0y y− − = 1 1 2 2 1 2 1 2( , ), ( , ), 12, 36A x y B x y y y y y∴ + = = − 2 1 2 1 2 1 2 1 33 | | ( ) 4 18 22 2OABS y y y y y y∆∴ = × × − = + − = ABCD ACEF 2= =AB AF 060ADC∠ = BF ABCD A FBD 4 π 2 5 5 AC BD O= O OD x OA y O AF z BF ABCD FBD n A FBD ⋅=    AF nd n AC BD O= ABCD ACEF AF ⊥ ABCD O OD x OA y O AF z (0,1,0)A ( 3,0,0)B − (0, 1,0)C − ( 3,0,0)D (0,1,2)F 因为 轴垂直于平面 ， 因此可令平面 的一个法向量为 ，又 , 设直线 与平面 的夹角为 ， 则有 , 即 ， 所以直线 BF 与平面 ABCD 的夹角为 . （2）因为 , , 设平面 的法向量为 ， ，令 得 ， 又因为 , 所以点 到平面 的距离 . 【点睛】 本题主要考查求直线与平面所成的角，以及点到平面的距离问题，灵活运用空间向量的 方法求解即可，属于常考题型. 21．已知二次函数 的二次项系数为 ，且不等式 的解集为（1，3）． （1）若方程 有两个相等的实数根，求 的解析式； （2）若 的最大值为正数，求 的取值范围． z ABCD ABCD (0,0,1)m = ( 3,1,2)BF = BF ABCD θ 2 2sin cos , 21 2 2 θ ⋅ = < > = = = ⋅⋅       m BF m BF m BF 4 πθ = 4 π (2 3,0,0)BD = ( 3,1,2)BF = FBD ( , , )n x y z= 2 3 00 0 3 2 0 xBD n BF n x y z  =⋅ = ⇒ ⋅ = + + =      1z = (0, 2,1)n = − (0,0,2)AF = A FBD 2 2 5 55 AF nd n ⋅= = =    ( )f x a ( ) 2f x x> − ( ) 6 0f x a+ = ( )f x ( )f x a 【答案】（1） （2）a 的取值范围是 【解析】第一问利用 ∴ 所以 ① 由方程 ② 因为方程②有两个相等的根，所以 第二问由 及 由 解得 解：（1） ∴ 所以 …………………………2 分[来 ① 由方程 ② ……………………4 分 因为方程②有两个相等的根，所以 ， 即 ………………………6 分 由于 代入①得 的解析式为 ……………………………8 分 （若本题没有舍去“ ”第一小问得 6 分） （2）由 及 ……………………………12 分 21 6 3( ) 5 5 5f x x x= − − − ( ) 2 ( 1)( 3),f x x a x x+ = − − 0a < ( ) 2 ( 1)( 3),f x x a x x+ = − − 0a < 1a = 由 解得 故当 的最大值为正数时，实数 a 的取值范围是 …15 分 22．已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ，过 且垂直 于 轴的焦点弦的弦长为 ，过 的直线 交椭圆 于 ， 两点，且 的 周长为 . （1）求椭圆 的方程； （2）已知直线 ， 互相垂直，直线 过 且与椭圆 交于点 ， 两点，直线 过 且与椭圆 交于 ， 两点.求 的值. 【答案】（1） （2） 【解析】分析：（1）根据周长确定 ，由通径确定 ，求得 ， 因而确定椭圆的方程。 （2）分析得直线 、直线 的斜率存在时，根据过焦点可设出 AB 直线方程为 ，因而直线 的方程为 .联立椭圆方程消去 y，得到关于 x 的一元二次方程 .由韦达定理求得 和 ，进而 . 当 AB 斜率不存在时，求得 ， ，所以 。 当直线 的斜率为 时，求得 ， ，所以 。 M 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 1F 2F 2F x 2 2 1F l M G H 2GHF∆ 8 2 M 1l 2l 1l 1F M A B 2l 2F M C D 1 1 AB CD + 2 2 18 4 x y+ = 1 1 3 2 8AB CD + = 2 2a = 22 2 2b a = 2 4b = AB CD ( )2y k x= + CD ( )1 2y xk = − − ( )2 2 2 22 1 8 8 8 0k x k x k+ + + − = ( )2 2 4 2 1 2 1 k AB k + = + ( )2 2 4 2 1 2 k CD k + = + 1 1 3 2 8AB CD + = 2 2AB = 4 2CD = 1 1 3 2 8AB CD + = AB 0 4 2AB = 2 2CD = 1 1 3 2 8AB CD + = 即可判断 。 详解：（1）将 代入 ，得 ，所以 . 因为 的周长为 ，所以 ， ， 将 代入 ，可得 ， 所以椭圆 的方程为 . （2）（i）当直线 、直线 的斜率存在且不为 时， 设直线 的方程为 ，则直线 的方程为 . 由 消去 得 . 由韦达定理得 ， ， 所以， . 同理可得 . . （ii）当直线 的斜率不存在时， ， ， . （iii）当直线 的斜率为 时， ， ， . 综上， . 点睛：本题综合考查了圆锥曲线的定义、应用，对直线和圆锥曲线的位置问题，常见方 法是设出直线方程，联立曲线方程，得到一元二次方程，利用韦达定理解决相关问题， 思路较为清晰，关键是注意计算，综合性强，属于难题。 1 1 3 2 8AB CD + = x c= 2 2 2 2 1x y a b + = 2by a = 22 2 2b a = 2GHF∆ 8 2 4 8 2a = 2 2a = 2 2a = 22 2 2b a = 2 4b = M 2 2 18 4 x y+ = AB CD 0 AB ( )2y k x= + CD ( )1 2y xk = − − ( ) 2 2 2 18 4 y k x x y  = + + = y ( )2 2 2 22 1 8 8 8 0k x k x k+ + + − = 2 1 2 2 8 2 1 kx x k −+ = + 2 1 2 2 8 8 2 1 kx x k −= + ( )22 1 2 1 21 4AB k x x x x= + ⋅ + − ( )2 2 4 2 1 2 1 k k + = + ( )2 2 4 2 1 2 k CD k + = + ( ) 2 2 1 1 2 1 4 2 1 k AB CD k ++ = + ( ) 2 2 2 3 2 84 2 1 k k ++ = + AB 2 2AB = 4 2CD = 1 1 3 2 8AB CD + = AB 0 4 2AB = 2 2CD = 1 1 3 2 8AB CD + = 1 1 3 2 8AB CD + =