2020届高考理科数学全优二轮复习训练：专题3 第1讲　空间几何体的表面积与体积

2020届高考理科数学全优二轮复习训练：专题3 第1讲　空间几何体的表面积与体积

专题复习检测 A卷 ‎1．(2018年新课标Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是(　　)‎ ‎ ‎ A B ‎ ‎ C D ‎【答案】A ‎【解析】由题意，木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，小的长方体是榫头，从图形看出轮廓是长方形，内含一个长方形，且一条边重合，另外3边是虚线．故选A．‎ ‎2．(2019年北京海淀区模拟)一个正四棱锥的底面边长为2，高为，则该正四棱锥的全面积为(　　)‎ A．8　 B．12　　‎ C．16　 D．20‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意得侧面三角形的高为＝2，所以该四棱锥的全面积为4××2×2＋22＝12.故选B．‎ ‎3．(2019年四川广安模拟)已知△ABC中，AB＝AC＝2，AB⊥AC，将△ABC绕BC所在直线旋转一周，形成一个几何体，则该几何体的表面积为(　　)‎ A．2π　 B．4π　　　　‎ C．　 D． ‎【答案】B ‎【解析】过点A作AH⊥BC于点H，则AH＝，根据题意，所得几何体是两个全等圆锥底面相接而成的组合体，圆锥底面半径为r＝，母线长为l＝2，所以表面积为S＝2πrl＝4π.故选B．‎ ‎4．如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB＝AC，侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB1A1的面积为(　　)‎ A．2　 B．1　　‎ C．　 D． ‎【答案】C ‎【解析】连接BC1，B1C交于点O，则O为平面BCC1B1的中心且BC1⊥B1C.由题意知，球心为O，BC为截面圆的直径，所以∠BAC＝90°.设正方形BCC1B1的边长为x，在Rt△OB1C1中，OC1＝OB1＝R＝1(R为球的半径)，所以x＝＝，则AB＝AC＝1.所以侧面ABB1A1的面积为×1＝.故选C．‎ ‎5．(2019年江苏)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E－BCD的体积是________．‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】由题意，VABCD－A1B1C1D1＝AB·BC·DD1＝120，VE－BCD＝S△BCD·CE＝×·BC·DC·CE＝AB·BC·DD1＝10.‎ ‎6．(2019年北京)某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为________．‎ ‎【答案】40‎ ‎【解析】‎ 由三视图还原原几何体如图，该几何体可看作是两个四棱柱的组合体，则该几何体的体积V＝×4＝40.‎ B卷 ‎7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(　　)‎ A．18＋2π　　 B．20＋π C．20＋　　　　 D．16＋π ‎【答案】B ‎【解析】由三视图知该几何体是一个边长为2的正方体割去了相对边对应的两个半径为1、高为1的圆柱体，其表面积相当于正方体五个面的面积与两个圆柱的侧面积的和，即该几何体的表面积S＝4×5＋2×2π×1×1×＝20＋π.‎ ‎8．(2019年新课标Ⅱ)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为________．‎ ‎　　‎ ‎【答案】26　－1‎ ‎【解析】该半正多面体共有8＋8＋8＋2＝26个面，设其棱长为x，则x＋x＋x＝1，解得x＝－1.‎ ‎9．(2018年江苏南通三模)在菱形ABCD中，A＝，AB＝4，将△ABD沿BD折起到△PBD的位置，若取BD中点为E，此时∠PEC＝，三棱锥P－BCD的外接球心为O，则三棱锥P－BCD的外接球的表面积为________．‎ ‎【答案】112π ‎【解析】∵四边形ABCD是菱形，A＝，∴△BCD是等边三角形．如图，过球心O作OO′⊥平面BCD，则O′为等边△BCD的中心，BD的中点为E，连接PO.易证△POE≌△COE，由∠PEC＝，得∠OEC＝.∵AB＝4，∴AE＝EC＝6，EO′＝EC＝2.在Rt△OEO′中，由∠OEO′＝，得OE＝4.在△OEC中，OC2＝OE2＋EC2－2OE·EC·cos∠OEC＝28，即OC＝2.∴三棱锥P－BCD的外接球的半径为R＝2，表面积S＝4πR2＝112π.‎