海淀区2020高三年级数学二模

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海淀区高三年级第二学期阶段性测试 数学 ‎2020春 本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。‎ 第一部分（选择题共40 分）‎ 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。‎ ‎（1）在复平面内，复数对应的点位于 ‎（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 ‎（2）已知集合，，则集合B可以是 ‎（A）{1，2}（B）{1，3}（C）{0，1，2}（D）{1，2，3}‎ ‎（3）已知双曲线的离心率为 ，则b的值为 ‎（A）1（B）2（C）3（D）4‎ ‎（4）已知实数在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是 ‎（A）（B）（C）（D）‎ ‎（5）在的展开式中，常数项为 ‎（A）-120（B）120（C）-160（D）160‎ ‎（6）如图，半径为1的圆M与直线相切于点，圆M沿着直线滚动．当圆M滚动到圆时，圆 与直线相切于点B．点运动到点，线段的长度为，则点到直线的距离为 ‎（A）1（B）（C） （D）‎ ‎（7）已知函数与函数的图象关于y轴对称．若在区间（1,2）内单调递减，则m的取值范围为 ‎（A）[-1，+∞)（B）（-∞，-1] （C）[-2，+∞)（D）（-∞，-2]‎ ‎（8）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥中最长棱的棱长为 ‎（A)（B）‎ ‎（C）（D)‎ ‎（9）若数列满足，则“”是“为等比数列”的 ‎（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 ‎（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎（10）形如（n是非负整数）的数称为费马数，记为．数学家费马根据都是质数提出了猜想：费马数都是质数．多年之后，数学家欧拉计算出，不是质数，那么的位数是 ‎（参考数据； )‎ ‎（A）9（B）10（C）11（D）12‎ 第二部分（非选择题共110分）‎ 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。‎ ‎（11）已知点P（1，2）在抛物线C：y2 =2px上，则抛物线C的准线方程为．‎ ‎（12）在等差数列{an}中，a1=3，a2+a5=16，则数列{an}的前4项的和为．‎ ‎（13）已知非零向量a，b满足|a|=|a-b|，则（a-b）·b=．‎ ‎（14）在△ABC中，AB=，∠B=，点D在边BC上，∠ADC=，CD=2，则AD=；‎ ‎△ACD的面积为．‎ ‎（15）如图，在等边三角形ABC中，AB=6．动点P从点A出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到A点,记P运动的路程为x，点P到此三角形中心O距离的平方为，给出下列三个结论：‎ ‎①函数的最大值为12 ；‎ ‎②函数的图象的对称轴方程为x=9；‎ ‎③关于x的方程=kx+3最多有5个实数根．‎ 其中，所有正确结论的序号是．‎ 注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求。全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分。‎ 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。‎ ‎（16）（本小题共14分）‎ 如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AB⊥平面BB1C1C，AB=BB1=2BC=2， BC1=，点E为A1C1的中点．‎ ‎（I）求证：C1B⊥平面ABC：‎ ‎（II）求二面角A—BC—E的大小．‎ ‎（17）（本小题共14分）‎ 已知函数．‎ ‎（I）求的值；‎ ‎（II）从① ，；②，这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数在上的最小值，并直接写出函数的一个周期．‎ 注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分。‎ ‎（18）（本小题共14分）‎ 科技创新能力是决定综合国力和国际竞争力的关键因素，也是推动经济实现高质量发展的重要支撑，而研发投入是科技创新的基本保障．下图是某公司从2010年到2019年这10年研发投入的数据分布图：‎ 其中折线图是该公司研发投入占当年总营收的百分比，条形图是当年研发投入的数值（单位：十亿元）．‎ ‎（I）从2010年至2019年中随机选取一年，求该年研发投入占当年总营收的百分比超过10%的概率；‎ ‎（II）从2010年至2019年中随机选取两个年份，设X表示其中研发投入超过500亿元的年份的个数，求X的分布列和数学期望；‎ ‎（III）根据图中的信息，结合统计学知识，判断该公司在发展的过程中是否比较重视研发，并说明理由．‎ ‎（19）（本小题共15分）‎ 已知函数．‎ ‎（I）当a=-1时，‎ ‎①求曲线在点（0，）处的切线方程；‎ ‎②求函数的最小值：‎ ‎（II）求证：当a∈（-2，0）时，曲线与y=1-lnx有且只有一个交点．‎ ‎（20）（本小题共14分）‎ 已知椭圆C：的离心率为，，，，的面积为2.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设M是椭圆C上一点，且不与顶点重合，若直线与直线交于点P ，直线与直线交于点Q．求证：为等腰三角形．‎ ‎（21）（本小题共14分）‎ 已知数列是由正整数组成的无穷数列，若存在常数，使得，对任意的成立，则称数列具有性质．‎ ‎（Ⅰ）分别判断下列数列是否具有性质；（直接写出结论）‎ ‎①；②．‎ ‎（Ⅱ）若数列满足，求证：“数列具有性质”是“数列为常数列”的充分必要条件；‎ ‎（Ⅲ）已知数列中，且．若数列具有性质，求数列的通项公式.‎