【数学】2020届一轮复习人教B版计数原理和概率作业(5)

【数学】2020届一轮复习人教B版计数原理和概率作业(5)

‎(八十一)‎ ‎1．(2019·长沙一模)(x2－)6的展开式中(　　)‎ A．不含x9项　　 　 　　 B．含x4项 C．含x2项 D．不含x项 答案　D 解析　Tr＋1＝(－1)rC6rx12－2rx－r＝(－1)rC6rx12－3r，故x的次数为12，9，6，3，0，－3，－6.选D.‎ ‎2．(2019·河北保定期末)(3x－)6的展开式中，有理项共有(　　)‎ A．1项 B．2项 C．3项 D．4项 答案　D 解析　(3x－)6的展开式的通项公式为Tr＋1＝C6r·(－1)r·36－r·x6－r，令6－r为整数，求得r＝0，2，4，6，共计4项．‎ ‎3．(2019·广东普宁一中期末)若(x6＋)n的展开式中含有常数项，则n的最小值等于(　　)‎ A．3 B．4‎ C．5 D．6‎ 答案　C 解析　(x6＋)n展开式的通项为Cnr(x6)n－r(x－)r＝Cnrx6n－r，r＝0，1，2，…，n，则依题设，由6n－r＝0，得n＝r，∴n的最小值等于5.‎ ‎4．在(x＋1)(2x＋1)…(nx＋1)(n∈N*)的展开式中一次项系数为(　　)‎ A．Cn2 B．Cn＋12‎ C．Cnn－1 D.Cn＋13‎ 答案　B 解析　1＋2＋3＋…＋n＝＝Cn＋12.‎ ‎5．(2019·吉林四平联考)1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n的展开式的各项系数之和为(　　)‎ A．2n－1 B．2n－1‎ C．2n＋1－1 D．2n 答案　C 解析　令x＝1，得1＋2＋22＋…＋2n＝＝2n＋1－1.‎ ‎6．(2019·安徽蚌埠一模)已知(2x－1)4＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋a4(x－1)4，则a2＝(　　)‎ A．18 B．24‎ C．36 D．56‎ 答案　B 解析　∵(2x－1)4＝[(2x－2)＋1]4＝[1＋(2x－2)]4＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋a4(x－1)4，∴a2＝C42·22＝24.故选B项．‎ ‎7．(2019·郑州第一次质量预测)在(x＋)n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32∶1，则x2的系数为(　　)‎ A．50 B．70‎ C．90 D．120‎ 答案　C 解析　令x＝1，则(x＋)n＝4n，所以(x＋)n的展开式中，各项系数和为4n，又二项式系数和为2n，所以＝2n＝32，解得n＝5.二项展开式的通项Tr＋1＝C5rx5－r()r＝C5r3rx5－r，令5－r＝2，得r＝2，所以x2的系数为C5232＝90，故选C项．‎ ‎8．(2019·四川成都七中月考)化简2n－Cn1×2n－1＋Cn2×2n－2＋…＋(－1)n－1Cnn－1×2＝(　　)‎ A．1 B．(－1)n C．1＋(－1)n D．1－(－1)n 答案　D 解析　2n－Cn1×2n－1＋Cn2×2n－2＋…＋(－1)n－1Cnn－1×2＝Cn0×2n×(－1)0－Cn1×2n－1＋Cn2×2n－2＋…＋(－1)n－1Cnn－1×2＋(－1)nCnn×20－(－1)nCnn×20＝(2－1)n－(－1)n＝1－(－1)n.‎ ‎9．(2019·安徽安庆期末)在二项式(x－)n的展开式中恰好第五项的二项式系数最大，则展开式中含有x2项的系数是(　　)‎ A．35 B．－35‎ C．－56 D．56‎ 答案　C 解析　由于第五项的二项式系数最大，所以n＝8.所以二项式(x－)8展开式的通项公式为Tr ‎＋1＝C8rx8－r(－x－1)r＝(－1)rC8rx8－2r，令8－2r＝2，得r＝3，故展开式中含有x2项的系数是(－1)3C83＝－56.‎ ‎10．(2019·辽宁沈阳模拟)(x2＋2)(－1)5展开式中的常数项是(　　)‎ A．12 B．－12‎ C．8 D．－8‎ 答案　B 解析　(－1)5展开式的通项公式为Tr＋1＝C5r()5－r(－1)r＝(－1)rC5rxr－5，当r－5＝－2或r－5＝0，即r＝3或r＝5时，展开式的常数项是(－1)3C53＋2(－1)5C55＝－12.故选B项．‎ ‎11．已知(xcosθ＋1)5的展开式中x2的系数与(x＋)4的展开式中x3的系数相等，且θ∈(0，π)，则θ＝(　　)‎ A. B.或 C. D.或 答案　B 解析　由二项式定理知(xcosθ＋1)5的展开式中x2的系数为C53cos2θ，(x＋)4的展开式中x3的系数为C41×，所以C53cos2θ＝C41×，解得cos2θ＝，解得cosθ＝±，又θ∈(0，π)，所以θ＝或，故选B.‎ ‎12．(2019·衡水中学调研卷)设a，b，m为整数(m>0)，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a≡b(modm)．若a＝C200＋C201·2＋C202·22＋…＋C2020·220，a≡b(mod10)，则b的值可以是(　　)‎ A．2 018 B．2 019‎ C．2 020 D．2 021‎ 答案　D 解析　a＝C200＋C201·2＋C202·22＋…＋C2020·220＝(1＋2)20＝320＝(80＋1)5，它被10除所得余数为1，又a≡b(mod10)，所以b的值可以是2 021.‎ ‎13．(2019·西安五校联考)从(＋)20的展开式中任取一项，则取到有理项的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　(＋)20的展开式的通项为Tk＋1＝C20k()20－k()k＝C20kx5－k，其中k＝0，1，2，…，20.‎ 而当k＝0，4，8，12，16，20时，5－k为整数，对应的项为有理项，所以从(＋)20的展开式中任取一项，则取到有理项的概率为P＝＝.‎ ‎14．(2014·浙江，理)在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝(　　)‎ A．45 B．60‎ C．120 D．210‎ 答案　C 解析　由题意知f(3，0)＝C63C40，f(2，1)＝C62C41，f(1，2)＝C61C42，f(0，3)＝C60C43，因此f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝120，故选C项．‎ ‎15．在(ax－1)6的二项展开式中，若中间项的系数是160，则实数a＝________．‎ 答案　－2‎ 解析　∵在(ax－1)6的二项展开式中共有7项，展开式的中间项为第4项，此时T4＝C63(ax)3(－1)3，∴中间项的系数为－a3C63＝－20a3＝160，∴a＝－2.‎ ‎16．(2019·广东湛江调研)若(2x－1)2 018＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 018x2 018(x∈R)，记S2 018＝ ，则S2 018的值为________．‎ 答案　－1‎ 解析　令x＝0，则a0＝1.令x＝，则(2×－1)2 018＝a0＋＋＋…＋＝1＋ ＝0，∴S2018＝ ＝－1.‎ ‎17．设函数f(x，n)＝(1＋x)n(n∈N*)．‎ ‎(1)求f(x，6)的展开式中系数最大的项；‎ ‎(2)若f(i，n)＝32i(i为虚数单位)，求Cn1－Cn3＋Cn5－Cn7＋Cn9.‎ 答案　(1)20x3　(2)32‎ 解析　(1)展开式中系数最大的项是第4项T4＝C63x3＝20x3.‎ ‎(2)由已知(1＋i)n＝32i，两边取模，得()n＝32，所以n＝10.‎ 所以Cn1－Cn3＋Cn5－Cn7＋Cn9＝C101－C103＋C105－C107＋C109，而(1＋i)10＝C100＋C101i＋C102i2＋…＋C109i9＋C1010i10＝(C100－C102＋C104－C106＋C108－C1010)＋(C101－C103＋C105－C107＋C109)i＝32i，所以C101－C103＋C105－C107＋C109＝32.‎ ‎18．已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.‎ 求：(1)a1＋a2＋…＋a7；‎ ‎(2)a1＋a3＋a5＋a7；‎ ‎(3)a0＋a2＋a4＋a6；‎ ‎(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.‎ 答案　(1)－2　(2)－1 094　(3)1 093　(4)2 187‎ 解析　令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1.①‎ 令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.②‎ ‎(1)∵a0＝C70＝1，∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2.‎ ‎(2)(①－②)÷2，得a1＋a3＋a5＋a7＝＝－1 094.‎ ‎(3)(①＋②)÷2，得a0＋a2＋a4＋a6＝＝1 093.‎ ‎(4)∵(1－2x)7展开式中，a0，a2，a4，a6大于零，‎ 而a1，a3，a5，a7小于零，‎ ‎∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)．‎ ‎∴由(2)，(3)即可得其值为2 187.‎