内蒙古自治区乌兰察布市集宁区内蒙古集宁一中2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

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集宁一中2019-2020学年第一学期期中考试 高二年级数学试题 本试卷满分150分，考试时间120分钟 一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分．每小题只有一项是正确的）‎ ‎1.已知，为非零实数，且，则下列命题成立的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 举出反例,利用特殊值依次排除选项A、D,由不等式的性质可排除C ‎【详解】对于选项A,令,时,,故A不正确；‎ 对于选项C,,故C不正确；‎ 对于选项D,令,时,,故D不正确；‎ 对于选项B,,则 故选：B ‎【点睛】本题考查不等式性质的应用,考查特殊值法处理选择题 ‎2.不等式组所表示的平面区域的面积等于 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在坐标平面中画出可行域，求出直线与直线的交点后可求面积.‎ ‎【详解】不等式组对应的可行域如图所示：‎ 由得到，两条直线的纵截距分别为和，故不等式组对应的可行域的面积为，故选C.‎ ‎【点睛】平面区域面积的计算，关键是确定区域是由什么图形确定的，如果是规范图形，则利用面积公式计算，如果不是规范图形，则需要把其分割成规范图形分别计算．‎ ‎3.不等式(x＋3)2＜1的解集是(　　)‎ A. {x|x＞－2} B. {x|x＜－4}‎ C. {x|－4＜x＜－2} D. {x|－4≤x≤－2}‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 原不等式可化为x2＋6x＋8＜0，解得－4＜x＜－2.选C.‎ ‎4.设｛an｝是等比数列，则“a1＜a2＜a‎3”‎是数列｛an｝是递增数列 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件、‎ C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】或，所以数列｛an｝是递增数列 若数列{an}是递增数列，则“a1＜a2＜a‎3”‎，因此“a1＜a2＜a‎3”‎是数列｛an ‎｝是递增数列的充分必要条件，选C ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎5.已知命题“曲线上的点的坐标是方程的解”是正确的，则下列命题中正确的是（ ）‎ A. 满足方程的点都在曲线上 B. 方程是曲线的方程 C. 方程所表示的曲线不一定是 D. 以上说法都正确 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题,可分析得到曲线可能只是方程所表示的曲线上的某一小段,即可判断选项 ‎【详解】由题,曲线可能只是方程所表示的曲线上的某一小段,不能判断方程的解为坐标的点是否都在曲线上,也不能推出曲线是方程的轨迹,故A、B、D均不正确 故选：C ‎【点睛】本题考查曲线与方程的相关关系：曲线上点的坐标都是这个方程的解；以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点,则称这个方程时曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线 ‎6.已知等差数列的公差和首项都不为零，且，，成等比数列，则（ ）‎ A. B. C. D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 用表示，，，利用它们成等比数列可得，从而可得的值.‎ ‎【详解】设等差数列的公差为，则，，，‎ 因为，，成等比数列，故，‎ 整理得到，因，故，故，‎ 故，选B.‎ ‎【点睛】等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质求解即通过观察下标的特征和数列和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题．‎ ‎7. 下列命题中的假命题是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：对于A．，当x=1成立。‎ 对于B．，当x=成立，‎ 对于C．，当x<0不成立故为假命题 对于 D．，成立，故选C.‎ 考点：全称命题和特称命题 点评：主要考查了判定命题真假的的运用，属于基础题。‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎8.下列各对方程中，表示相同曲线的一组是（ ）‎ A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依次求取选项中与范围,判断是否一致,再观察与的关系是否一致即可 ‎【详解】对于选项A,中,中,故A不正确；‎ 对于选项B,为,为或,故B不正确；‎ 对于选项D,中,中,故D不正确；‎ 对于选项C,二者一致,‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查曲线的方程,分别判断,的范围及解析式是否一致时解题关键 ‎9. 命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是 A. 所有不能被2整除的数都是偶数 B. 所有能被2整除的数都不是偶数 C. 存在一个不能被2整除的数是偶数 D. 存在一个能被2整除的数不是偶数 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是“存在一个能被2整除的数不是偶数”．故选D．‎ 考点：命题的否定．‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎10.已知，，为平面内的一动点，且满足，则点的轨迹方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设为,由可得,整理即可得到点的轨迹方程 ‎【详解】由题,设为,‎ ‎,由两点间距离公式可得,‎ 即,‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查直接法求轨迹方程,“求谁设谁”,根据题干条件转化为数学语言是解题关键 ‎11.设，若，则下列不等式中正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 解析】利用赋值法:令排除A,B,C,选D.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎12.已知数列满足，设数列满足，数列的前项和为，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用数列的和与项的关系求得,进而得到,再利用裂项相消法求出即可 ‎【详解】当时,,‎ 当时, ,‎ 作差可得,,‎ ‎,‎ 检验,当时,,符合,‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查利用函数特性求数列的通项公式,考查裂项相消法求数列的前项和,考查运算能力 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分．把答案填在答题纸题号对应的的横线上)‎ ‎13.设是等比数列，且，，则的通项公式为_______．‎ ‎【答案】，‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 先设的公比为，根据题中条件求出公比，进而可得出结果.‎ ‎【详解】设等比数列的公比为，‎ 因为，，‎ 所以，解得，所以，‎ 因此，，.‎ 故答案为，‎ ‎【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，熟记等比数列的通项公式即可，属于常考题型.‎ ‎14.直角坐标平面中，若定点与动点满足，则点的轨迹方程是________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 设点，则，由，所以，代入，即可求解。‎ ‎【详解】设点，则，可得，‎ 因为，所以，即，‎ 所以点的轨迹方程为。‎ 故答案为：。‎ ‎【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，以及轨迹方程的求解，其中解答中熟练应用向量的数量积的运算公式，准确计算即可求解，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。‎ ‎15.函数的图像恒过定点，若点在直线上，且为正数，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ 函数的图象恒过定点，，点在直线上，，，当且仅当时取等号，时，的最小值为，故答案为.‎ ‎【易错点晴】本题主要考查指数函数的性质以及利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.‎ ‎16.若等差数列满足，则当__________时，的前项和最大．‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由等差数列的性质，，，又因为，所以 所以，所以，，故数列的前8项最大.‎ 考点：等差数列的性质，前项和的最值，容易题.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ 三、解答题(本大题6个题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17.已知命题有两个不相等的负根，命题 无实根，若为假，为真，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据命题和的真假性，逐个判断.‎ ‎【详解】因为假，并且为真，故假，而真 即不存在两个不等的负根，且无实根.‎ 所以，即，‎ 当时，不存在两个不等的负根，‎ 当时，存在两个不等的负根.‎ 所以的取值范围是 ‎【点睛】此题考查了常用的逻辑用语和一元二次方程的性质，属于基础题.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎18.已知数列{}满足，（）．‎ ‎（1）求，，的值；‎ ‎（2）证明：数列{}是等差数列，并求数列{}的通项公式．‎ ‎【答案】（1），，（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知结合数列递推式直接求得，，的值；‎ ‎（2）把原递推式变形，可得，根据等差数列定义可证，再根据等差数列通项公式求结果．‎ ‎【详解】解：（1）由，，‎ 得，，；‎ 证明：（2）当时，由，得，‎ ‎∴{}是公差为1的等差数列，‎ 又∵，‎ ‎∴，‎ 则．‎ ‎【点睛】本题考查数列递推式，考查等差关系定义以及等差数列通项公式的求法，是基础题．‎ ‎19.某村计划建造一个室内面积为的矩形蔬菜温室．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留宽的通道，沿前侧内墙保留宽的空地．当矩形温室的边长各为多少时蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？‎ ‎【答案】当矩形温室的边长为，时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积是 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别设矩形温室的左侧边长为,后侧边长为,则,则,利用均值不等式即可求得最值 ‎【详解】解：设矩形温室的左侧边长为,后侧边长为,则,‎ 蔬菜的种植面积（）‎ 当且仅当,即,时,.‎ 答：当矩形温室的边长为,时,蔬菜的种植面积最大,最大种植面积是 ‎【点睛】本题考查均值不等式求最值,本题考查实际应用问题,考查运算能力 ‎20.数列中，，.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设，求出数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)直接根据累加法即可求得数列的通项公式；‎ ‎(2)利用裂项相加即可得出数列的前项和。‎ ‎【详解】（1）因为，所以当时：‎ ‎ ，‎ 由于满足，所以求的通项公式为。‎ ‎（2）因为，‎ 所以数列的前项和为：‎ ‎。‎ ‎【点睛】本题考查数列的通项公式的求法以及裂项相消法求和，考查学生对于累加法以及裂项相消法求和的理解与使用，考查化归与转化思想，考查计算能力，是中档题。‎ ‎21.设集合A＝{x|x2<4}，B＝{x|1<}．‎ ‎(1)求集合A∩B；‎ ‎(2)若不等式2x2＋ax＋b<0的解集为B，求a，b的值．‎ ‎【答案】(1) {x|－2＜x＜1} (2) a＝4，b＝－6‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】(1)A＝{x|x2<4}＝{x|－2

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