【数学】2020届一轮复习北师大版 集合与常用逻辑用语 课时作业
2020届一轮复习北师大版 集合与常用逻辑用语 课时作业
一、选择题
1．(2013·湖南文，2)“1
2”，而x>2⇒/ “12”的充分不必要条件，故选A．
2．设x∈R，则“x>”是“2x2＋x－1>0”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 本题考查充要条件，解一元二次不等式的知识．
由2x2＋x－1>0得(x＋1)(2x－1)>0，
即x<－1或x>，又因为x>⇒2x2＋x－1>0，
而2x2＋x－1>0⇒/ x>，选A．
3．(2014·揭阳一中期中)设集合M＝{x||x－1|<2}，N＝{x|x(x－3)<0}，那么“a∈M”是“a∈N”的( )
A．必要而不充分条件
B．充分而不必要条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] M＝{x|－15是x>4的充分不必要条件；
③xy＝0是x＝0且y＝0的充要条件；
④x2<4是x<2的充分不必要条件．
[答案] ①③
[解析] “若x2≠1，则x≠1”的逆否命题为“若x＝1，则x2＝1”，易知x＝1是x2＝1的充分不必要条件，故①不正确．③中由xy＝0不能推出x＝0且y＝0，则③不正确．②④正确．
三、解答题
9．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为－1的充要条件是a－b＋c＝0.
[证明] 充分性：因为a－b＋c＝0，
即a·(－1)2＋b·(－1)＋c＝0，
所以－1是ax2＋bx＋c＝0的一个根．
必要性：因为ax2＋bx＋c＝0有一个根为－1，
所以a·(－1)2＋b·(－1)＋c＝0，即a－b＋c＝0.
综上可得ax2＋bx＋c＝0有一个根为－1的充要条件是a－b＋c＝0.
[总结反思] 充要条件的判定和证明需要从充分性和必要性两个方面说明．
10．在下列各题中，判定p是q的什么条件．
(1)p：x－2＝0；q：(x－2)(x－3)＝0.
(2)p：m<－2；q：方程x2－x－m＝0无实根．
(3)p：一个四边形是矩形；q：四边形的对角线相等．
[分析] 看p是否推出q，q是否推出p.
[解析] (1)∵x－2＝0⇒(x－2)(x－3)＝0；而(x－2)(x－3)＝0⇒/ x－2＝0.
所以p是q的充分不必要条件．
(2)∵m<－2⇒方程x2－x－m＝0无实根；而方程x2－x－m＝0无实根⇒/ m<－2.
∴p是q的充分不必要条件．
(3)由p⇒q，而q⇒/ p．所以p是q的充分不必要条件．
[总结反思] 用定义判断p是q的什么条件的基本程序是：
①定条件：确定条件和结论．
②找推式：确定p与q哪一个能推出哪一个．
③下结论：根据推式和结论下定义．
一、选择题
1．(2014·天津理)设a，b∈R，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] C
[解析] 本题考查简易逻辑中充分性、必要性．
当a>b⇒a|a|>b|b|
当a>b>0时，a|a|－b|b|＝a2－b2＝(a＋b)(a－b)>0成立
当b0成立
当b<00成立
同理由a|a|>b|b|⇒a>B．选C．
2．若a、b为实数，则“0”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 本题主要考查不等式的性质及充要条件的判定等基础知识．
“00，b>0，由ab<1得a<；若a<0，b<0，由ab<1，得b>，故“0”；
当a<时，a－＝<0，若b>0，则ab<1，但ab不一定满足ab>0；
若b<0，则ab>1，故“a<或b>”⇒/ “0b，c>d”是“a－c>b－d”的________________．
[答案] (1)必要不充分条件
(2)充分不必要条件
(3)既不充分也不必要条件
6．设m、n是整数，则“m、n均为偶数”是“m＋n是偶数”的________________．
[答案] 充分不必要条件
[解析] 当“m、n均为偶数”时，“m＋n是偶数”是成立的；而当“m＋n是偶数”时，“m、n均为偶数”不一定成立，如：3＋5＝8为偶数，但3,5都是奇数，∴“m、n均为偶数”是“m＋n是偶数”的充分不必要条件．
三、解答题
7．指出下列各组命题中p是q的什么条件，q是p的什么条件．
(1)p：|x|＝|y|；q：x＝y；
(2)p：c＝0；q：抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)过原点；
(3)p：四边形ABCD为平行四边形；q：四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D．
[解析] 观察各题中是由p⇒q，还是由q⇒p，然后利用定义得答案．
(1)因为“p⇒q”为假命题，“q⇒p”为真命题，所以p是q的必要不充分条件，q是p的充分不必要条件．
(2)c＝0⇒抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)过原点；抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)过原点⇒c＝0，所以p是q的充要条件，q是p的充要条件．
(3)因为p⇔q为真，所以p是q的充要条件，q是p的充要条件．
8．设p：|4x－3|≤1；q：x2－(2a＋1)x＋a2＋a≤0，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
[解析] ∵|4x－3|≤1，∴≤x≤1，
即p：≤x≤1.
由x2－(2a＋1)x＋a2＋a≤0，
得(x－a)[x－(a＋1)]≤0，
∴a≤x≤a＋1，即q：a≤x≤a＋1.
∵p是q的充分不必要条件，∴p⇒q，q⇒/ p.
∴{x|≤x≤1}{x|a≤x≤a＋1}．
故有，解得0≤a≤.
所以a的取值范围是0≤a≤.
