数学理卷·2018届广西南宁二中等四名校高三上学期第一次大联考（2017

数学理卷·2018届广西南宁二中等四名校高三上学期第一次大联考（2017

‎2018届四省名校高三第一次大联考 理科数学 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知全集为，集合，，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎2．已知是虚数单位，是的共轭复数，，则的虚部为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．如图是今年国庆中秋长假期间某客运站客运量比去年同期增减情况的条形图.根据图中的信息，以下结论中不正确的是（ ）‎ A．总体上，今年国庆长假期间客运站的客流比去年有所增长 B．10月3日、4日的客流量比去年增长较多 C．10月6日的客运量最小 D．10月7日，同比去年客流量有所下滑 ‎4．的展开式中的系数为（ ）‎ A．320 B．300 C．280 D．260‎ ‎5．已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．设函数，则下列结论错误的是（ ）‎ A．的一个周期为 B．的图形关于直线对称 C．的一个零点为 D．在区间上单调递减 ‎7．执行如图所示的程序框图，若输出的值为，则输入的值为（ ）‎ A．3 B． 4 C．5 D．6‎ ‎8．已知正三棱柱（上下底面是等边三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱）的高为2，它的6个顶点都在体积为的球的球面上，则该正三棱柱底面三角形边长为（ ）‎ A． B． C．3 D．‎ ‎9．中国人在很早就开始研究数列，中国古代数学著作《九章算术》、《算法统宗》中都有大量古人研究数列的记载.现有数列题目如下：数列的前项和，，等比数列满足，，则（ ）‎ A．4 B．5 C．9 D．16‎ ‎10．过椭圆的左顶点且斜率为的直线与圆交于不同的两个点，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知定义在区间上的函数满足，其中是任意两个大于0的不等实数.若对任意，都有，则函数的零点所在区间是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知半径为2的扇形中，，是的中点，为弧上任意一点，且，则的最大值为（ ）‎ A．2 B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．已知为坐标原点，点，若点为平面区域上的动点，则的最大值是 ．‎ ‎14．设是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，满足，是坐标原点，若的面积为4，则 ．‎ ‎15．已知函数若，则实数的取值范围为 ．‎ ‎16．已知底面边长为2的正三棱锥 ‎（底面为正三角形，且顶点在底面的射影为正三角形的中心的棱锥叫正三棱锥）的外接球的球心满足，则这个正三棱锥的内切球半径 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎17．的内角的对边分别为，若.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）已知，求面积的最大值.‎ ‎18．在某单位的食堂中，食堂每天以10元/斤的价格购进米粉，然后以4.4元/碗的价格出售，每碗内含米粉0.2斤，如果当天卖不完，剩下的米粉以2元/斤的价格卖给养猪场.根据以往统计资料，得到食堂某天米粉需求量的频率分布直方图如图所示，若食堂购进了80斤米粉，以（斤）（其中）表示米粉的需求量，（元）表示利润.‎ ‎（1）估计该天食堂利润不少于760元的概率；‎ ‎（2）在直方图的需求量分组中，以区间中间值作为该区间的需求量，以需求量落入该区间的频率作为需求量在该区间的概率，求的分布列和数学期望.‎ ‎19．直角三角形中，，，，是的中点，是线段上一个动点，且，如图所示，沿将翻折至，使得平面平面.‎ ‎（1）当时，证明：平面；‎ ‎（2）是否存在，使得与平面所成的角的正弦值是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎20．已知椭圆的右焦点为，过且与轴垂直的弦长为3.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过作直线与椭圆交于两点，问在轴上是否存在点，使为定值，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由.‎ ‎21．已知函数.‎ ‎（1）若，求的单调区间；‎ ‎（2）若关于的不等式对一切恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（3）求证：对，都有.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线（为参数），圆（为参数）.‎ ‎（1）当时，求与的交点坐标；‎ ‎（2）过坐标原点作的垂线，垂足为，为的中点，当变化时，求点的轨迹方程，并指出它是什么曲线.‎ ‎23．选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若不等式的解集为，求实数的取值范围.‎ ‎2018届四省名校高三第一次大联考 理数参考答案及评分细则 一、选择题 ‎1-5:CACBC 6-10:DBACC 11、12：BC 二、填空题 ‎13．2 14．2 15． 16．‎ 三、解答题 ‎17．解：（1）∵.‎ 由正弦定理得 ‎.‎ ‎∴，‎ 在中，，‎ ‎∴.‎ ‎∵，∴.‎ ‎（2）由余弦定理得.‎ 又，∴.‎ ‎∴，‎ 当且仅当时取等号，‎ ‎∴的面积.‎ 即面积的最大值为.‎ ‎18．解：（1）一斤米粉的售价是元.‎ 当时，.‎ 当时，.‎ 故 设利润不少于760元为事件，‎ 利润不少于760元时，即.‎ 解得，即.‎ 由直方图可知，当时，‎ ‎.‎ ‎（2）当时，；‎ 当时，；‎ 当时，；‎ 当时，.‎ 所以可能的取值为460，660，860，960.‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ 故的分布列为 ‎.‎ ‎19．解：（1）在中，，即，‎ 则，‎ 取的中点，连接交于，‎ 当时，是的中点，而是的中点，‎ ‎∴是的中位线，∴.‎ 在中，是的中点，‎ ‎∴是的中点.‎ 在中，，‎ ‎∴，则.‎ 又平面平面，平面平面，‎ ‎∴平面.‎ 又平面，∴.‎ 而，∴平面.‎ ‎（2）以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系.‎ 则，，，，‎ 由（1）知是中点，，而平面平面.‎ ‎∴平面，‎ 则.‎ 假设存在满足题意的，则由.‎ 可得，‎ 则.‎ 设平面的一个法向量为，‎ 则即 令，可得，，即.‎ ‎∴与平面所成的角的正弦值 ‎.‎ 解得（舍去）.‎ 综上，存在，使得与平面所成的角的正弦值为.‎ ‎20．解：（1）由题意知，.‎ 又当时，.‎ ‎∴.‎ 则.‎ ‎∴椭圆的标准方程为.‎ ‎（2）假设存在点满足条件，‎ 设其坐标为，设，，‎ 当斜率存在时，设方程为，‎ 联立，恒成立.‎ ‎∴，.‎ ‎∴，.‎ ‎∴‎ ‎.‎ 当为定值时，.‎ ‎∴.‎ 此时.‎ 当斜率不存在时，‎ ‎，，.‎ ‎，，‎ ‎.‎ ‎∴存在满足条件的点，其坐标为.‎ 此时的值为.‎ ‎21．解：（1）当时，函数，‎ 定义域为，.‎ 令可得，令可得.‎ 所以的单调增区间为，单调减区间为.‎ ‎（2），‎ ‎.‎ ‎①当时，，.‎ 故在区间上递增，‎ 所以，从而在区间上递增.‎ 所以对一切恒成立.‎ ‎②当时，，‎ ‎.‎ 当时，，‎ 当时，.‎ 所以时，.‎ 而，故.‎ 所以当时，，递减，‎ 由，知，此时对一切不恒成立.‎ ‎③当时，，‎ 在区间上递减，有，‎ 从而在区间上递减，有.‎ 此时对一切不恒成立.‎ 综上，实数的取值范围是.‎ ‎（3）由（2）可知，取，当时，有.‎ 取，有，即.‎ 所以 ‎，‎ 所以.‎ ‎22．解：（1）当时，的普通方程为，‎ 的普通方程为.‎ 联立方程组得与的交点为.‎ ‎（2）的普通方程为.‎ 由题意可得点坐标为.‎ 故当变化时，点轨迹的参数方程为 ‎（为参数）.‎ 点的轨迹方程为.‎ 故点轨迹是圆心为，半径为的圆.‎ ‎23．解：（1）当时，‎ 当时，由得，‎ 解得；‎ 当时，成立；‎ 当时，由得，‎ 解得.‎ 综上，不等式的解集为.‎ ‎（2）由得，‎ 令 知.‎ ‎∴实数的取值范围为.‎