天津市和平区第一中学2020届高三上学期10月月考数学试题

天津市和平区第一中学2020届高三上学期10月月考数学试题

天津一中2019-2020高三年级一月考数学试卷 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用120分钟考生务必将答案涂写在规定的位置上，答在试卷上的无效。祝各位考生考试顺利!‎ 一、选择题：‎ ‎1.已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x|≥﹣1}，则A∪B＝（）‎ A. （﹣1，2） B. （﹣1，2] C. （0，1） D. （0，2）‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先分别求出集合A和B，由此能求出A∪B．‎ ‎【详解】∵集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}＝{x|﹣1＜x＜2}，‎ B＝{x|≥﹣1}＝{x|0＜x≤2}，‎ ‎∴A∪B＝{x|﹣1＜x≤2}＝（﹣1，2]．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎2.对一切，恒成立，则实数的取值范围是（）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得的取值范围，根据恒成立问题的求解策略，将原不等式转化为，再解一元二次不等式求得的取值范围.‎ ‎【详解】解：对一切，恒成立，转化为：的最大值，又知，的最大值为；所以，解得或.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查恒成立问题的求解策略，考查三角函数求最值的方法，考查一元二次不等式的解法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎3.把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把所得曲线向右平移个单位长度，最后所得曲线的一条对称轴是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出图像变换最后得到的解析式，再求函数图像的对称轴方程.‎ ‎【详解】由题得图像变换最后得到的解析式为，‎ 令，‎ 令k=-1,所以.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查三角函数图像变换和三角函数图像对称轴的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎4.已知，，，则（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过分段法，根据指数函数、对数函数和三角函数的性质，判断出，由此选出正确结论.‎ ‎【详解】解：∵，，，；‎ ‎∴.故选：C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用对数函数、指数函数和三角函数的性质比较大小，考查分段法比较大小，属于基础题.‎ ‎5.若，则（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用诱导公式以及二倍角公式，化简求得的值.‎ ‎【详解】解：∵，‎ 则 ‎,‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用诱导公式和二倍角公式进行恒等变换，求表达式的值，属于基础题.‎ ‎6.已知是定义在上的奇函数，若，，则的值为（ ）‎ A. -3 B. ‎0 ‎C. 3 D. 6‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数为奇函数，结合题中条件，求出函数的周期，即可求出结果.‎ ‎【详解】∵为奇函数，∴.‎ 又，所以，因此，‎ ‎∴函数是周期为4的周期函数，‎ 所以.‎ 又，，‎ 因此.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数奇偶性与周期性的应用，灵活运用函数奇偶性与周期性即可，属于常考题型.‎ ‎7.用边长为的正方形铁皮做一个无盖的铁盒，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，当铁盒的容积最大时，截去的小正方形的边长为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设截去小正方形的边长为x,求出铁盒的容积的解析式，再利用导数求函数的最值和此时x的值得解.‎ ‎【详解】设截去的小正方形的边长为x,‎ 则铁盒的长和宽为18-2x,高为x,‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以函数在（0,3）单调递增，在（3,9）单调递减，‎ 所以当x=3时，函数取最大值.‎ 故选:C ‎【点睛】本题主要考查导数的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理应用能力.‎ ‎8.设函数，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先注意到，是函数的一个零点.当时，将分离常数得到，构造函数，画出的图像，根据“函数与函数有一个交点”结合图像，求得的取值范围.‎ ‎【详解】解：由恰有两个零点，而当时，，即是函数的一个零点，故当时，必有一个零点，即函数与函数必有一个交点，利用单调性，作出函数图像如下所示，‎ 由图可知，要使函数与函数有一个交点，只需即可.‎ 故实数的取值范围是.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查已知函数零点个数，求参数的取值范围，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎9.已知函数，其中，，其图象关于直线对称，对满足的，，有，将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则函数的单调递减区间是（）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知得到函数两个对称轴的距离也即是半周期，由此求得的值，结合其对称轴，求得的值，进而求得解析式.根据图像变换的知识求得的解析式，再利用三角函数求单调区间的方法，求得的单调递减区间.‎ ‎【详解】解：已知函数，其中，，其图像关于直线 对称，‎ 对满足的，，有，∴.‎ 再根据其图像关于直线对称，可得，.‎ ‎∴，∴.‎ 将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像.‎ 令，求得，‎ 则函数的单调递减区间是，，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查三角函数图像与性质求函数解析式，考查三角函数图像变换，考查三角函数单调区间的求法，属于中档题.‎ 二、填空题：‎ ‎10.已知复数的实部为－1，则________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简为的形式，根据实部为求得的值，由此求得，进而求得.‎ ‎【详解】解：∵，‎ ‎∴，即.‎ ‎∴，则.‎ 故答案：.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查复数除法运算，考查复数实部的概念和运算，考查复数模的求法，属于基础题.‎ ‎11.已知，则值是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将已知条件两边平方，求得，再根据，求得的值.‎ ‎【详解】解：把，两边平方得：，即，则，则.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式的运用，考查三角恒等变换，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.‎ ‎12.已知函数.若曲线在点处的切线方程为，则，的值分别为________，________.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得函数的导函数，利用切点和斜率列方程，解方程求得的值.‎ ‎【详解】解：得，曲线在点处的切线方程为.，，即，，解得，，‎ 故答案为：（1）；（2）.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用导数求解有关曲线切线方程的问题，考查方程的思想，属于基础题.‎ ‎13.已知函数f(x)＝||，实数m，n满足0＜m＜n，且f(m)＝f(n)，若f(x)在[m2，n]上的最大值为2，则＝________.‎ ‎【答案】9.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先分析得到f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，再分析得到0＜m2＜m＜1，则f(x)在[m2，1)上单调递减，在(1，n]上单调递增，再根据函数的单调性得到m,n的值，即得解.‎ ‎【详解】因为f(x)＝|log3x|＝,‎ 所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，‎ 由0＜m＜n且f(m)＝f(n)，可得,‎ 则,所以0＜m2＜m＜1，‎ 则f(x)在[m2，1)上单调递减，在(1，n]上单调递增，‎ 所以f(m2)＞f(m)＝f(n)，则f(x)在[m2，n]上的最大值为f(m2)＝－log‎3m2‎＝2，‎ 解得m＝，则n＝3，所以＝9.‎ 故答案为：9‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的图像和性质，考查函数的单调性的应用和最值的求法，意在 考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.‎ ‎14.已知甲盒中仅有一个球且为红球，乙盒中有3个红球和4个蓝球，从乙盒中随机抽取个球放在甲盒中，放入个球后，甲盒中含有红球的个数为，则的值为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当抽取个球时，的取值为，根据古典概型概率计算公式，计算出概率，并求得期望值.当抽取个球时，的取值为，根据古典概型概率计算公式，计算出概率，并求得期望值.‎ ‎【详解】解：甲盒中含有红球的个数的取值为1，2，‎ 则，.‎ 则；‎ 甲盒中含有红球的个数的值为1，2，3，‎ 则，，.‎ 则.‎ ‎∴.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本小题主要考查随机变量期望值的计算方法，考查古典概型概率计算公式，考查组合数的计算，属于中档题.‎ ‎15.已知函数，有以下结论：‎ ‎①若，则；‎ ‎②在区间上是增函数；‎ ‎③的图象与图象关于轴对称；‎ ‎④设函数，当时，。‎ 其中正确结论为__________。‎ ‎【答案】②③④‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先化简函数解析式，逐一分析选项，得到答案.‎ ‎【详解】 ‎ ‎①当时，函数的周期为，‎ ‎，或 ，所以①不正确；‎ ‎②时，，所以是增函数，②正确；‎ ‎③函数还可以化简为，所以与关于轴对称，正确；‎ ‎④，当时，‎ ‎， ‎ ‎ ‎ ‎ ，④正确 故选②③④‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数的化简和三角函数的性质，属于中档题型.‎ 三、解答题：‎ ‎16.已知，.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）2（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）由题意利用同角三角函数的基本关系求得的值，可得的值.（II）先求得的值,再利用二倍角公式结合齐次式计算求得、的值,再利用两角和的正弦公式求得的值.‎ ‎【详解】解：（I）∵已知，，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎（II）∵，∴，‎ ‎∴，‎ ‎【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式，考查齐次式的计算，考查两角和的正弦公式，属于中档题.‎ ‎17.已知函数，为的导数．‎ ‎（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）证明：在区间上存在唯一零点；‎ ‎（Ⅲ）设，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）将代入求出切点坐标，由题可得，将代入求出切线斜率，进而求出切线方程。‎ ‎（Ⅱ）设，则，由导函数研究的单调性进，而得出答案。‎ ‎（Ⅲ）题目等价于，易求得，利用单调性求出的最小值，列不等式求解。‎ ‎【详解】（Ⅰ），所以，即切线斜率，且，从而曲线在点处的切线方程为.‎ ‎（Ⅱ）设，则.‎ 当时，；当时，，所以在单调递增，在单调递减.‎ 又，故在存在唯一零点.‎ 所以在存在唯一零点.‎ ‎（Ⅲ）由已知，转化为， 且的对称轴所以 . ‎ 由(Ⅱ)知，在只有一个零点，设为，且当时，；当时，，所以在单调递增，在单调递减.‎ 又，所以当时，.‎ 所以，即，因此，的取值范围是.‎ ‎【点睛】导数是高考的重要考点，本题考查导数的几何意义，利用单调性解决函数的恒成立问题，存在性问题等，属于一般题。‎ ‎18.已知函数f（x）=sin（2ωx+）+sin（2ωx-）+2cos2ωx，其中ω＞0，且函数f（x）的最小正周期为π ‎（1）求ω的值；‎ ‎（2）求f（x）的单调增区间 ‎（3）若函数g（x）=f（x）-a在区间[-，]上有两个零点，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】(1)1.(2) [-+kπ，+kπ]，k∈Z，(3)见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得，利用三角函数周期公式可求的值．‎ ‎（2）由正弦函数的单调性可求的单调增区间．‎ ‎（3）作出函数在上的图象，从图象可看出 ，可求当曲线与在∈上有两个交点时，2，即可得解实数的取值范围．‎ ‎【详解】（1）由三角恒等变换的公式，可得f（x）=sin（2+）+sin（2 -）+2‎ ‎=sin2 +cos2 +sin2 -cos2 +1+cos2‎ ‎=sin2 +cos2 +1， ‎ 又因为T==π，所以．‎ ‎（2）由2kπ- 2+ 2kπ+，k∈Z，解得：-+kπ +kπ，k∈Z，‎ 可得f（x）的单调增区间为：[-+kπ，+kπ]，k∈Z， ‎ ‎（3）作出函数在上的图象如图：‎ 函数g（x）有两个零点，即方程有两解，‎ 亦即曲线与在x∈上有两个交点，‎ 从图象可看出f（0）=f（）=2，f（）=+1，‎ 所以当曲线与在x∈上有两个交点时，‎ 则2 ，即实数的取值范围是．‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数周期公式，正弦函数的图象和性质，其中解答合理利用三角恒等变换的公式化简函数的解析式，熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了计算能力和数形结合思想的应用，属于中档题．‎ ‎19.设椭圆的右顶点为，上顶点为.已知椭圆的离心率为，.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线：与椭圆交于，两点，且点在第二象限.与延长线交于点，若的面积是面积的3倍，求的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）根据离心率和弦长列方程组，解方程组求得的值，进而求得椭圆方程.（II）设出两点的坐标，利用的面积与面积的关系得到，利用向量结合平面向量共线的坐标运算，求得两点横坐标的关系.分别联立直线的方程与直线、直线的方程与椭圆的方程，根据两点横坐标的关系列方程，解方程求得的值.‎ ‎【详解】（Ⅰ）设椭圆的焦距为，由已知得∴，，‎ 所以，椭圆的方程为.‎ ‎（Ⅱ）设点，，由题意，且 由的面积是面积的3倍，可得，所以 ‎，从而，所以 ‎，即.‎ 易知直线的方程为，由消去，可得 由方程组消去，可得.‎ 由，可得，‎ 整理得，解得，或.‎ 当时，，符合题意；‎ 当时，，不符合题意，舍去.‎ 所以，的值为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查两条直线交点、直线和椭圆交点坐标的求法，考查方程的思想，考查运算求解能力，属于中档题.‎ ‎20.已知函数，，‎ ‎（Ⅰ）当，时，求曲线在处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）当时，若对任意的，恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）当，时，若方程有两个不同的实数解，求证：.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）求出的导函数，求出函数在时的导数得到切线的斜率，然后用一般式写出切线的方程；‎ ‎（Ⅱ）对，都成立，则对，，恒成立，构造函数，求出的最大值可得的范围；‎ ‎（Ⅲ）由，得，构造函数，将问题转化为证明，然后构造函数证明即可.‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）当时，时，，∴当时，，‎ ‎∴，∴当时.‎ ‎∴曲线在处的切线方程为；‎ ‎（Ⅱ）当时，对，都成立，则对，恒成立，‎ 令，则.令，则，‎ ‎∴当，，此时单调递增；当时，，此时单调递减，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴的取值范围为；‎ ‎（Ⅲ）当，时，由，得，‎ 方程有两个不同的实数解.‎ 令.则..令.则，‎ ‎∴当时..此时单调递增；当时..此时单调递减，‎ ‎∴，∴，又，，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴只要证明，就能得到.即只要证明，‎ 令，则，‎ ‎∴在上单调减，则，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴，∴，即，证毕.‎ ‎【点睛】本小题主要考查切线方程的求法，考查恒成立问题的求解策略，考查利用导数求函数的单调区间、最值，考查化归与转化的数学思想方法，综合性较强，属于难题.‎