2017-2018学年福建省龙海市程溪中学高二上学期期末考试 数学（理） Word版

2017-2018学年福建省龙海市程溪中学高二上学期期末考试 数学（理） Word版

龙海程溪中学2017-2018学年高二年上学期期末考试试题 ‎ 理科数学 ‎（考试时间：120分钟 总分：150分）‎ ‎★友情提示：要把所有答案都写在答题卷上，写在试卷上的答案无效。‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.高三(1)班有学生52人，现将所有学生随机编号，用系统抽样方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、31号、44号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号是(　 　)‎ A．8　　　　　　　B．13　　　　　　 C．15　　　　　　　　 D．18‎ ‎2．命题“R，”的否定是 A．R， 　　　B．R, ‎ C．R, 　　　　 D．不存在R，‎ ‎3.在正方体中，分别为的中点，则异面直线 与所成角的余弦值为（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎1 7 1 6 4 0 2‎ ‎0 9 7‎ ‎4. 一组数据如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是（ ）‎ 否 是 第6题 A.11.5和12 B.11.5和11.5 ‎ C.11和11.5 D.12和12‎ ‎5.已知椭圆的两个焦点为、，且，弦过点，则的周长为（　 　）‎ A.10 　　B.20 　　 C.2 　　 D.‎ ‎6.如果执行右面的程序框图，那么输出的（　 　）‎ A、22 B、46 C、 D、190‎ ‎7.已知双曲线的一个焦点为，且渐近线与圆 相切，则双曲线的方程为（　 　）‎ A．　　B． 　 C． D． ‎ ‎8. 函数的单调递减区间是（　 　）‎ ‎　A．　　 B. 　　 C． 　　D．　　　 ‎ ‎9.在区间上随机取一个实数，则方程表示焦点在轴上的椭圆的概率为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎10.如图是函数y＝f(x)的导函数f ′(x)的图象，则下面判断正确的是(　 　)‎ A．在区间(2,1)上f(x)是增函数 ‎ B．在(1,3)上f(x)是减函数 ‎（第9题图）‎ C．在(4,5)上f(x)是增函数 ‎ D．当x＝4时，f(x)取极大值 ‎11.设是椭圆的左、右焦点，为直线 上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.已知函数对任意的满足 （其中是函数 的导函数），则下列不等式成立的是 A． B． ‎ C． D．‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）‎ ‎13.某物体做直线运动，其运动规律是 ( 的单位是秒，的单位是米)，则它在 的瞬时速度为_____ .（单位：米/秒）‎ ‎14.已知p：（x+2）（x﹣3）≤0，q：|x+1|≥2，命题“p∧q”为真，则实数x的取值范围是________；‎ ‎15.过点Q(2,1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被Q所平分．则AB所在直线方程_______；‎ ‎16.已知方程有两个不等的非零根，则的取值范围是________；‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，后得到如图的频率分布直方图．‎ ‎（Ⅰ）求图中实数的值；‎ ‎（分数）‎ ‎0 40 50 60 70 80 90 100 ‎ 频率 组距 ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.020‎ 图 ‎0.025‎ a ‎（Ⅱ）若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年 级期中考试数学成绩不低于60分的人数；‎ ‎（Ⅲ）若从数学成绩在与两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．‎ ‎18.（本小题满分10分）‎ 抛物线的顶点在原点，焦点在y轴的正半轴的抛物线的焦点到准线的距离为2.‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线与抛物线相交于A，B两点，求AB的长度．‎ ‎19. (本题满分12分) ‎ 已知函数．若函数的图象在点处的切线与直平行，函数f(x)在处取得极值，‎ ‎（1）求函数f(x)的解析式；‎ ‎（2）求函数在的最值．‎ ‎20.（本小题满分12分）已知四棱锥P﹣ABCD中PA⊥平面ABCD，点Q在AP上，且PA=4PQ=4，底面为直角梯形，∠CDA=∠BAD=90°，，M，N分别是PD，PB的中点．‎ ‎（1）求证：MQ∥平面PCB；‎ ‎（2）求截面MCN与底面ABCD所成锐二面角的大小；‎ ‎（3）求点A到平面MCN的距离．‎ ‎21.(本题满分12分)已知函数.‎ ‎（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线垂直，求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若对于都有成立，试求的取值范围；‎ ‎22、（本小题满分12分）已知椭圆的左、右焦点分别为、，的一个顶点为C（2，0），离心率为，，。‎ ‎（Ⅰ）求椭圆E的方程，并求其焦点坐标； ‎ ‎（Ⅱ）设直线R交椭圆于、两点，试探究：点与以线段为直径的圆的位置关系，并证明你的结论．‎ M 龙海程溪中学2017-2018学年高二年上学期期末考试试题 ‎ 理科数学参考答案 一、选择题: 本大题共12小题，每小题5分，共60分 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D B C A B B A A B C ‎ C A 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 ‎13. 　 14. [1，3] 15. 4x－y－7＝0 16.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ ‎（分数）‎ ‎0 40 50 60 70 80 90 100 ‎ 频率 组距 ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.020‎ 图 ‎0.025‎ a 某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，后得到如图的频率分布直方图．‎ ‎（Ⅰ）求图中实数的值；‎ ‎（Ⅱ）若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年 级期中考试数学成绩不低于60分的人数；‎ ‎（Ⅲ）若从数学成绩在与两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．‎ 解：（Ⅰ）由于图中所有小矩形的面积之和等于1，‎ 所以． …………………………………1分 解得． ………………………………………………………………………………4分 ‎（Ⅱ）根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为． …6分 由于该校高一年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为人． ………………………………………8分 ‎（Ⅲ）成绩在分数段内的人数为人，分别记为，． ‎ 成绩在分数段内的人数为人，分别记为，，，．………9分 若从数学成绩在与两个分数段内的学生中随机选取两名学生，则所有的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，， 共15种．……………………11分 如果两名学生的数学成绩都在分数段内或都在分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在分数段内，另一个成绩在分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10．‎ 记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件，则事件包含的基本事件有：，，，，，，共7种．‎ 所以所求概率为． ……………………………………………………12分 ‎18.（本小题满分10分）抛物线的顶点在原点，焦点在y轴的正半轴的抛物线的焦点到准线的距离为2.‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线与抛物线相交于A，B两点，求AB的长度．‎ 解：（1）由题意可知p=2。……2分∴抛物线标准方程为：x2=4y…………4分 ‎（2）直线l：y=2x+l过抛物线的焦点，设 联立得x2－8x－4=0………………7分 ‎∴x1+x2=8 ‎ ‎∴……………10分 ‎（或相交弦长公式|MN|= ）‎ ‎19. (本题满分12分)已知函数．若函数的图象在点处的切线与直线平行，函数f(x)在处取得极值，‎ ‎（1）求函数f(x)的解析式；‎ ‎（2）求函数在的最值．‎ 解：（Ⅰ）∵，∴．…………1分 由题意得， 即，解得．经检验符合题意，‎ ‎∴；…………6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，令得，…………7分 列表如下： ‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎…………10分 由表中可知时，，．…………12分 ‎20、（本小题满分12分）已知四棱锥P﹣ABCD中PA⊥平面ABCD，点Q在AP上，且PA=4PQ=4，底面为直角梯形，∠CDA=∠BAD=90°，，M，N分别是PD，PB的中点．‎ ‎（1）求证：MQ∥平面PCB；‎ ‎（2）求截面MCN与底面ABCD所成锐二面角的大小；‎ ‎（3）求点A到平面MCN的距离．‎ 解：以A为原点，以AD，AB，AP分别为x，y，z建立空间直角坐标系O﹣xyz，………………1分 由，PA=4PQ=4，M，N分别是PD，PB的中点，可得：‎ ‎…………2分 ‎∴， ‎ 设平面的PBC的法向量为，‎ 则有：‎ 令z=1，则，‎ ‎∴，‎ 又MQ⊄平面PCB，∴MQ∥平面PCB；…………………………………………………5分 ‎（2）设平面的MCN的法向量为，又 则有：‎ 令z=1，则，‎ 又为平面ABCD的法向量，‎ ‎∴，又截面MCN与底面ABCD所成二面角为锐二面角，‎ ‎∴截面MCN与底面ABCD所成二面角的大小为，…………………………………………9分 ‎（3）∵，∴所求的距离 ‎……12分 ‎21.(本题满分12分)已知函数.‎ ‎（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线垂直，求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若对于都有成立，试求的取值范围；‎ ‎21. （12分） 解: (I) 直线的斜率为1.函数的定义域为，‎ ‎∵，∴，∴. ∴. .由解得；由解得.‎ ‎∴的单调增区间是,单调减区间是. ．.............5分 ‎(II) ，由解得；由解得.‎ ‎∴在区间上单调递增，在区间上单调递减. ．.............7分 ‎∴当时，函数取得最小值，.．.............8分 ‎∵对于都有成立，∴即可. ．.............10分 则. 由解得.∴的取值范围是.．............12分 ‎22、（本小题满分12分）已知椭圆的左、右焦点分别为、，的一个顶点为C（2，0），离心率为，，。‎ ‎（Ⅰ）求椭圆E的方程，并求其焦点坐标； ‎ ‎（Ⅱ）设直线R交椭圆于、两点，试探究：点与以线段为直径的圆的位置关系，并证明你的结论．‎ M ‎22．（Ⅰ）解：由题意可得：a=2，，a2=b2+c2，联立解得a=2，c=b=．‎ ‎∴椭圆C的标准方程为： =1，其焦点坐标为：．…………………………4分 ‎（Ⅱ）设点，的中点为，‎ 由，……………………………………5分 ‎∴，，∴， …………………………6分 ‎ ∴， ………7分 ‎ ‎ ‎ ， …………………………………………………………9分 ‎ ∴，∴， ‎ 因此，点在以线段为直径的圆外．……………………………………12分 解法二：（Ⅰ）同解法一；（Ⅱ）设点，‎ 由，∴，，‎ ‎ ……………………………6分 ‎∵，，∴‎ ‎ ， ……………10分 ‎ ∴，又不共线，∴为锐角，………………11分 因此，点在以为直径的圆外． ……………………………………12分