【数学】2018届一轮复习人教A版（理）11-9离散型随机变量的均值与方差、正态分布学案

【数学】2018届一轮复习人教A版（理）11-9离散型随机变量的均值与方差、正态分布学案

‎§11.9　离散型随机变量的均值与方差、正态分布 考纲展示►　‎ ‎1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念．‎ ‎2．能计算简单的离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题．‎ ‎3．利用实际问题的直方图，了解正态密度曲线的特点及曲线所表示的意义．‎ 考点1　离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X的分布列为 X x1‎ x2‎ ‎…‎ xi ‎…‎ xn P p1‎ p2‎ ‎…‎ pi ‎…‎ pn ‎(1)均值：称E(X)＝____________________为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的________．‎ ‎(2)D(X)＝xi－E(X)]2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均________程度，其算术平方根为随机变量X的标准差．‎ 答案：(1)x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn　平均水平　(2)偏离 ‎(1)[教材习题改编]设X～B(n，p)，若D(X)＝4，E(X)＝12，则n的值为________．‎ 答案：18‎ 解析：∵X～B(n，p)，∴解得p＝，n＝18.‎ ‎(2)[教材习题改编]一台机器在一天内发生故障的概率为0.1.这台机器一周五个工作日不发生故障，可获利5万元；发生一次故障仍可获利2.5万元；发生两次故障的利润为0万元；发生三次或者三次以上的故障要亏损1万元．则这台机器一周内可能获利的均值是________万元．‎ 答案：3.764 015‎ 解析：设这台机器一周内可能获利X万元，则P(X＝5)＝(1－0.1)5＝0.590 49，‎ P(X＝2.5)＝C×0.1×(1－0.1)4‎ ‎＝0.328 05，‎ P(X＝0)＝C×0.12×(1－0.1)3＝0.072 9，‎ P(X＝－1)＝1－P(X＝5)－P(X＝2.5)－P(X＝0)＝0.008 56，‎ 所以X的分布列为 X ‎5‎ ‎2.5‎ ‎0‎ ‎－1‎ P ‎0.590 49‎ ‎0.328 05‎ ‎0.072 9‎ ‎0.008 56‎ 所以，这台机器一周内可能获利的均值为5×0.590 49＋2.5×0.328 05＋0×0.072 9＋(－1)×0.008 56＝3.764 015(万元)．‎ ‎(3)[教材习题改编]随机变量ξ的分布列为 ξ ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ P a b c 其中a，b，c成等差数列，若E(ξ)＝，则D(ξ)＝________.‎ 答案： 解析：由题意有a＋b＋c＝1,2b＝a＋c，－a＋c＝，得a＝，b＝，c＝，‎ 所以D(ξ)＝×2＋×2＋×2＝.‎ 离散型随机变量的均值与方差：随机变量的取值；对应取值的概率计算．‎ 签盒中有编号为1,2,3,4,5,6的6支签，从中任意取3支，设X为这3支签的号码之中最大的一个，则X的数学期望为________．‎ 答案：5.25‎ 解析：由题意可知，X可以取3,4,5,6，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝＝，P(X＝6)＝＝，所以由数学期望的定义可求得E(X)＝5.25.‎ ‎[考情聚焦]　离散型随机变量的均值与方差是高中数学的重要内容，也是高考命题的热点，常与排列组合、概率等知识综合考查．‎ 主要有以下几个命题角度：‎ 角度一 与超几何分布(或古典概型)有关的均值与方差 ‎[典题1]　[2017·江西吉安高三期中]近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重．大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病．为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院的50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：‎ 患心肺疾病 不患心肺疾病 合计 男 ‎5‎ 女 ‎10‎ 合计 ‎50‎ 已知在全部50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为.‎ ‎(1)请将上面的列联表补充完整；‎ ‎(2)是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关，说明你的理由；‎ ‎(3)已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患胃病．现在从患心肺疾病的10位女性中，选出3名进行其他方面的排查，记选出患胃病的女性人数为ξ，求ξ的分布列，数学期望以及方差．‎ 下面的临界值表供参考：‎ P(K2≥k)‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.10‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 参考公式K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d ‎[解]　(1)列联表补充如下.‎ 患心肺 疾病 不患心 肺疾病 合计 男 ‎20‎ ‎5‎ ‎25‎ 女 ‎10‎ ‎15‎ ‎25‎ 合计 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ ‎(2)因为K2＝，‎ 所以K2≈8.333.‎ 又P(K2≥7.879)＝0.005＝0.5%.‎ 那么，我们有99.5%的把握认为是否患心肺疾病是与性别有关系的．‎ ‎(3)ξ的所有可能取值：0,1,2,3，ξ服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝3.‎ 则P(ξ＝k)＝(k＝0,1,2,3)．‎ 所以P(ξ＝0)＝＝＝；‎ P(ξ＝1)＝＝＝；‎ P(ξ＝2)＝＝；‎ P(ξ＝3)＝＝.‎ 则ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 则E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝，‎ D(ξ)＝2×＋2×＋2×＋2×＝.‎ ξ的数学期望及方差分别为E(ξ)＝，D(ξ)＝.‎ 角度二 与事件的相互独立性有关的均值与方差 ‎[典题2]　某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定．小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．‎ ‎(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；‎ ‎(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X，求X的分布列和数学期望．‎ ‎[解]　(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”为事件A，则P(A)＝××＝.‎ ‎(2)依题意，得X所有可能的取值是1,2,3.‎ P(X＝1)＝，‎ P(X＝2)＝×＝，‎ P(X＝3)＝××1＝.‎ 则X的分布列为 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝.‎ 角度三 二项分布的均值与方差 ‎[典题3]　某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．‎ ‎(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；‎ ‎(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望．‎ ‎[解]　(1)记事件A1＝{从甲箱中摸出的1个球是红球}，A2＝{从乙箱中摸出的1个球是红球}，‎ B1＝{顾客抽奖1次获一等奖}，B2＝{顾客抽奖1次获二等奖}，C＝{顾客抽奖1次能获奖}．‎ 因为P(A1)＝＝，‎ P(A2)＝＝，‎ 所以P(B1)＝P(A‎1A2)＝P(A1)P(A2)‎ ‎＝×＝，‎ P(B2)＝P(A12＋‎1A2)‎ ‎＝P(A12)＋P(‎1A2)‎ ‎＝P(A1)P(2)＋P(1)P(A2)‎ ‎＝P(A1)[1－P(A2)]＋[1－P(A1)]P(A2)‎ ‎＝×＋×＝.‎ 故所求概率为P(C)＝P(B1＋B2)＝P(B1)＋P(B2)＝＋＝.‎ ‎(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，‎ 由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为，‎ 所以X～B.‎ 于是P(X＝0)＝C03＝，‎ P(X＝1)＝C12＝，‎ P(X＝2)＝C21＝，‎ P(X＝3)＝C30＝.‎ 故X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P X的数学期望为E(X)＝3×＝.‎ ‎[点石成金]　求随机变量X的均值与方差时，可首先分析X是否服从二项分布，如果X～B(n，p)，则用公式E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量．‎ 考点2　均值与方差的性质及其在决策中的应用 ‎ 　　　　　　 　　　　　 　　　　　‎ ‎1.均值与方差的性质 ‎(1)E(aX＋b)＝________.‎ ‎(2)D(aX＋b)＝________(a，b为常数)．‎ 答案：(1)aE(X)＋b　(2)a2D(X)‎ ‎2．两点分布与二项分布的均值、方差 X X服从两点分布 X～B(n，p)‎ E(X)‎ ‎________‎ ‎________‎ D(X)‎ ‎________‎ ‎________‎ 答案：p(p为成功概率)　np　p(1－p)　np(1－p)‎ ‎[典题4]　[2017·山东德州模拟]十八届三中全会提出以管资本为主加强国有资产监管，改革国有资本授权经营体制.‎2015年1月20日，中国恒天集团有限公司新能源汽车总部项目签约仪式在天津举行，说明国有企业的市场化改革已经踏上新的破冰之旅．恒天集团和绿地集团利用现有闲置资金可选择投资新能源汽车和投资文化地产，以推进混合所有制改革，使国有资源效益最大化．‎ ‎①投资新能源汽车：‎ 投资结果 盈利40%‎ 不赔不赚 亏损20%‎ 概率 ‎②投资文化地产：‎ 投资结果 盈利50%‎ 不赔不赚 亏损35%‎ 概率 p q ‎(1)当p＝时，求q的值；‎ ‎(2)若恒天集团选择投资新能源汽车，绿地集团选择投资文化地产，如果一年后两集团中至少有一个集团盈利的概率大于，求p的取值范围；‎ ‎(3)恒天集团利用10亿元现有闲置资金进行投资，决定在投资新能源汽车和投资文化地产这两种方案中选择一种，已知q＝，那么恒天集团选择哪种投资方案，才能使得一年后盈利金额的均值较大？给出结果并说明理由．‎ ‎[解]　(1)因为投资文化地产后，投资结果只有“盈利50%”“不赔不赚”“亏损35%”三种，且三种投资结果相互独立，‎ 所以p＋＋q＝1.‎ 又p＝，‎ 所以q＝.‎ ‎(2)记事件A为“恒天集团选择投资新能源汽车且盈利”，事件B为“绿地集团选择投资文化地产且盈利”，事件C为“一年后两集团中至少有一个集团盈利”，则C＝A∪B∪AB，且A，B相互独立．‎ 由图表可知，P(A)＝，P(B)＝p，‎ 所以P(C)＝P(A)＋P(B)＋P(AB)‎ ‎＝×(1－p)＋×p＋×p ‎＝＋p.‎ 因为P(C)＝＋p＞，‎ 所以p＞.‎ 又p＋＋q＝1，q≥0，‎ 所以p≤.‎ 所以＜p≤.‎ 故p的取值范围为.‎ ‎(3)假设恒天集团选择投资新能源汽车，且记X为恒天集团投资新能源汽车的盈利金额(单位：亿元)，则X的所有可能取值为4,0，－2，‎ 所以随机变量X的分布列为 X ‎4‎ ‎0‎ ‎－2‎ P E(X)＝4×＋0×＋(－2)×＝.‎ 假设恒天集团选择投资文化地产，且记Y为恒天集团投资文化地产的盈利金额(单位：亿元)，则Y的所有可能取值为5,0，－3.5，‎ 所以随机变量Y的分布列为 Y ‎5‎ ‎0‎ ‎－3.5‎ P E(Y)＝5×＋0×＋(－3.5)×＝.‎ 因为＞，所以E(X)＞E(Y)．‎ 故恒天集团选择投资新能源汽车，才能使得一年后盈利金额的均值较大．‎ ‎[点石成金]　随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定.‎ 为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．‎ ‎(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：‎ ‎①顾客所获的奖励额为60元的概率；‎ ‎②顾客所获的奖励额的分布列及均值；‎ ‎(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．‎ 解：(1)设顾客所获的奖励额为X.‎ ‎①依题意，得P(X＝60)＝＝.‎ 即顾客所获的奖励额为60元的概率为.‎ ‎②依题意，得X的所有可能取值为20,60.‎ P(X＝60)＝，P(X＝20)＝＝，‎ 故X的分布列为 X ‎20‎ ‎60‎ P 所以顾客所获的奖励额的均值为 E(X)＝20×＋60×＝40(元)．‎ ‎(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元．‎ 所以，先寻找均值为60元的可能方案．‎ 对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10,10,10,50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以均值不可能为60元；‎ 如果选择(50,50,50,10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以均值也不可能为60元，因此可能的方案是(10,10,50,50)，记为方案1.‎ 对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，记为方案2.‎ 以下是对两个方案的分析：‎ 对于方案1，即方案(10,10,50,50)，设顾客所获的奖励额为X1，则X1的分布列为 X1‎ ‎20‎ ‎60‎ ‎100‎ P X1的均值为E(X1)＝20×＋60×＋100×＝60，‎ X1的方差为D(X1)＝(20－60)2×＋(60－60)2×＋(100－60)2×＝.‎ 对于方案2，即方案(20,20,40,40)，设顾客所获的奖励额为X2，则X2的分布列为 X2‎ ‎40‎ ‎60‎ ‎80‎ P X2的均值为E(X2)＝40×＋60×＋80×＝60，‎ X2的方差为D(X2)＝(40－60)2×＋(60－60)2×＋(80－60)2×＝.‎ 由于两种方案的奖励额的均值都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.‎ 考点3　正态分布问题 ‎1.正态分布的定义及表示 如果对于任何实数a，b(a＜b)，随机变量X满足P(a＜X≤b)＝φμ，σ(x)dx，则称随机变量X服从正态分布，记作________．‎ 答案：X～N(μ，σ2)　‎ ‎2．正态分布的三个常用数据 ‎(1)P(μ－________＜X≤μ＋________)＝________；‎ ‎(2)P(μ－________＜X≤μ＋________)＝________；‎ ‎(3)P(μ－________＜X≤μ＋________)＝________.‎ 答案：(1)σ　σ　0.682 6　(2)2σ　2σ　0.954 4‎ ‎(3)3σ　3σ　0.997 4‎ ‎[典题5]　(1)设X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是(　　)‎ A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)‎ B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)‎ C．对任意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t)‎ D．对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　由图象知，μ1＜μ2，σ1＜σ2，‎ P(Y≥μ2)＝，P(Y≥μ1)＞，‎ 故P(Y≥μ2)＜P(Y≥μ1)，故A错；‎ 因为σ1＜σ2，所以P(X≤σ2)＞P(X≤σ1)，故B错；‎ 对任意正数t，P(X≥t)＜P(Y≥t)，故C错；‎ 对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)是正确的，故选D.‎ ‎(2)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为(　　)‎ A．4.56% B．13.59% ‎ C．27.18% D．31.74%‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　由正态分布的概率公式知，P(－3<ξ<3)＝0.682 6，P(－6<ξ<6)＝0.954 4，‎ 故P(3<ξ<6)＝＝＝0.135 9＝13.59%，故选B.‎ ‎[点石成金]　解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴x＝μ；(2)标准差σ；(3)分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ和分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率.‎ ‎1.‎ 在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为(　　)‎ A．2 386 B．2 718 ‎ C．3 413 D．4 772‎ 答案：C 解析：由P(－10，试卷满分150分)，统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，则此次月考中数学考试成绩不低于110分的学生约有________人．‎ 答案：120‎ 解析：∵ξ～N(90，a2)，‎ ‎∴其正态分布曲线关于直线x＝90对称，‎ 又成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，由对称性知成绩在110分以上的人数约为总人数的×＝，‎ ‎∴此次数学考试成绩不低于110分的学生约有×600＝120(人).‎ ‎[方法技巧]　1.求离散型随机变量均值、方差的基本方法 ‎(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；‎ ‎(2)已知随机变量ξ的均值、方差，求ξ的线性函数η＝aξ＋b的均值、方差和标准差，可直接用ξ的均值、方差的性质求解；‎ ‎(3)如能分析所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，可直接利用它们的均值、方差公式求解．‎ ‎2．若X服从正态分布，即X～N(μ，σ2)，要充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1的性质．‎ ‎[易错防范]　1.在没有准确判断分布列模型之前不能乱套公式．‎ ‎2．对于应用问题，必须对实际问题进行具体分析，一般要将问题中的随机变量设出来，再进行分析，求出随机变量的分布列，然后按定义计算出随机变量的均值、方差．‎ ‎ 真题演练集训 ‎ ‎1．[2016·四川卷]同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是________．‎ 答案： 解析：由题意知，试验成功的概率p＝，‎ 故X～B，所以E(X)＝2×＝.‎ ‎2．[2014·新课标全国卷Ⅰ]从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：‎ ‎(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；‎ ‎(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2.‎ ‎①利用该正态分布，求P(187.8

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