2019届二轮复习第2讲　数列求和及综合应用课件（32张）（全国通用）

2019届二轮复习第2讲　数列求和及综合应用课件（32张）（全国通用）

第 2 讲　数列求和及综合应用 高考定位　 数列求和主要考查通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和，难度中档偏下；数列的综合问题是高考考查的热点，主要考查数列与其他知识的交汇问题 . (2018· 浙江卷 ) 已知等比数列 { a n } 的公比 q >1 ，且 a 3 ＋ a 4 ＋ a 5 ＝ 28 ， a 4 ＋ 2 是 a 3 ， a 5 的等差中项 . 数列 { b n } 满足 b 1 ＝ 1 ，数列 {( b n ＋ 1 － b n ) a n } 的前 n 项和为 2 n 2 ＋ n . (1) 求 q 的值； (2) 求数列 { b n } 的通项公式 . 解 　 (1) 由 a 4 ＋ 2 是 a 3 ， a 5 的等差中项得 a 3 ＋ a 5 ＝ 2 a 4 ＋ 4 ， 所以 a 3 ＋ a 4 ＋ a 5 ＝ 3 a 4 ＋ 4 ＝ 28 ，解得 a 4 ＝ 8. 真 题 感 悟 因为 q >1 ，所以 q ＝ 2. (2) 设 c n ＝ ( b n ＋ 1 － b n ) a n ，数列 { c n } 前 n 项和为 S n . b n － b 1 ＝ ( b n － b n － 1 ) ＋ ( b n － 1 － b n － 2 ) ＋ … ＋ ( b 3 － b 2 ) ＋ ( b 2 － b 1 ) 1. 数列求和常用方法 (1) 分组转化求和：把数列的每一项拆成两项 ( 或多项 ) ，再重新组合成两个 ( 或多个 ) 简单的数列，最后分别求和 . (2) 错位相减法：适用于各项由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积组成的数列 . 把 S n ＝ a 1 ＋ a 2 ＋ … ＋ a n 两边同乘以相应等比数列的公比 q ，得到 qS n ＝ a 1 q ＋ a 2 q ＋ … ＋ a n q ，两式错位相减即可求出 S n . 考 点 整 合 2. 数列中的不等式问题主要有证明数列不等式、比较大小或恒成立问题，解决方法如下： (1) 利用数列 ( 或函数 ) 的单调性； (2) 放缩法： ① 先求和后放缩； ② 先放缩后求和，包括放缩后成等差 ( 或等比 ) 数列再求和，或者放缩后成等差比数列再求和，或者放缩后裂项相消法求和； (3) 数学归纳法 . 3. 数列与不等式的综合问题 主要题型为：证明不等式，或不等式恒成立问题，转化为最值问题是其主要思路，而求最值常用方法为： ① 作差比较，利用数列单调性求最值； ② 放缩法求最值 . 热点一　数列的求和问题 [ 考法 1] 　分组转化求和 【例 1 － 1 】 (2018· 天津卷 ) 设 { a n } 是等差数列，其前 n 项和为 S n ( n ∈ N * ) ； { b n } 是等比数列，公比大于 0 ，其前 n 项和为 T n ( n ∈ N * ). 已知 b 1 ＝ 1 ， b 3 ＝ b 2 ＋ 2 ， b 4 ＝ a 3 ＋ a 5 ， b 5 ＝ a 4 ＋ 2 a 6 . (1) 求 S n 和 T n ； (2) 若 S n ＋ ( T 1 ＋ T 2 ＋ … ＋ T n ) ＝ a n ＋ 4 b n ，求正整数 n 的值 . 解　 (1) 设等比数列 { b n } 的公比为 q ( q >0). 由 b 1 ＝ 1 ， b 3 ＝ b 2 ＋ 2 ，可得 q 2 － q － 2 ＝ 0. 因为 q >0 ，可得 q ＝ 2 ，故 b n ＝ 2 n － 1 . 设等差数列 { a n } 的公差为 d . 由 b 4 ＝ a 3 ＋ a 5 ，可得 a 1 ＋ 3 d ＝ 4. 由 b 5 ＝ a 4 ＋ 2 a 6 ，可得 3 a 1 ＋ 13 d ＝ 16 ，从而 a 1 ＝ 1 ， d ＝ 1 ， 故 a n ＝ n . (2) 由 (1) ，有 整理得 n 2 － 3 n － 4 ＝ 0 ，解得 n ＝－ 1( 舍 ) ，或 n ＝ 4. 所以， n 的值为 4. 探究提高 　 1. 在处理一般数列求和时，一定要注意运用转化思想 . 把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和 . 在利用分组求和法求和时，常常需要对项数 n 进行讨论，最后再验证是否可以合并为一个表达式 . 2. 分组求和的策略： (1) 根据等差、等比数列分组； (2) 根据正号、负号分组 . 又 a n 为正数，所以 a 1 ＝ 2. ( S n ＋ 3)( S n － n 2 － n ) ＝ 0 ，则 S n ＝ n 2 ＋ n 或 S n ＝－ 3 ， 又数列 { a n } 的各项均为正数， 所以 S n ＝ n 2 ＋ n ， S n － 1 ＝ ( n － 1) 2 ＋ ( n － 1) ， 所以当 n ≥ 2 时， a n ＝ S n － S n － 1 ＝ n 2 ＋ n － [( n － 1) 2 ＋ ( n － 1)] ＝ 2 n . 又 a 1 ＝ 2 ＝ 2×1 ，所以 a n ＝ 2 n . [ 考法 3] 　错位相减法求和 【例 1 － 3 】 (2018· 杭州调研 ) 已知等差数列 { a n } 满足： a n ＋ 1 > a n ( n ∈ N * ) ， a 1 ＝ 1 ，该数列的前三项分别加上 1 ， 1 ， 3 后成等比数列，且 a n ＋ 2log 2 b n ＝－ 1. (1) 求数列 { a n } ， { b n } 的通项公式； (2) 求数列 { a n · b n } 的前 n 项和 T n . 解 　 (1) 设 d 为等差数列 { a n } 的公差，且 d >0 ， 由 a 1 ＝ 1 ， a 2 ＝ 1 ＋ d ， a 3 ＝ 1 ＋ 2 d ，分别加上 1 ， 1 ， 3 成等比数列， 得 (2 ＋ d ) 2 ＝ 2(4 ＋ 2 d ) ， 因为 d >0 ，所以 d ＝ 2 ，所以 a n ＝ 1 ＋ ( n － 1)×2 ＝ 2 n － 1 ，又因为 a n ＝－ 1 － 2log 2 b n ， 探究提高 　 (1) 所谓 “ 错位 ” ，就是要找 “ 同类项 ” 相减 . 要注意的是相减后得到的部分，在求等比数列的和时，一定要查清其项数 .(2) 为保证结果正确，可对得到的和取 n ＝ 1 ， 2 进行验证 . 【训练 1 － 1 】 (2018· 北京卷 ) 设 { a n } 是等差数列，且 a 1 ＝ ln 2 ， a 2 ＋ a 3 ＝ 5ln 2. (1) 求 { a n } 的通项公式； (2) 求 e a 1 ＋ e a 2 ＋ … ＋ e a n . 解　 (1) 设 { a n } 的公差为 d . 因为 a 2 ＋ a 3 ＝ 5ln 2 ，所以 2 a 1 ＋ 3 d ＝ 5ln 2. 又 a 1 ＝ ln 2 ，所以 d ＝ ln 2. 所以 a n ＝ a 1 ＋ ( n － 1) d ＝ n ln 2. 所以 {e a n } 是首项为 2 ，公比为 2 的等比数列 . 【训练 1 － 2 】 已知 { a n } 为等差数列，前 n 项和为 S n ( n ∈ N * ) ， { b n } 是首项为 2 的等比数列，且公比大于 0 ， b 2 ＋ b 3 ＝ 12 ， b 3 ＝ a 4 － 2 a 1 ， S 11 ＝ 11 b 4 . (1) 求 { a n } 和 { b n } 的通项公式； (2) 求数列 { a 2 n b n } 的前 n 项和 ( n ∈ N * ). 解　 (1) 设等差数列 { a n } 的公差为 d ，等比数列 { b n } 的公比为 q ( q >0) ， 由已知 b 2 ＋ b 3 ＝ 12 ，得 b 1 ( q ＋ q 2 ) ＝ 12 ，而 b 1 ＝ 2 ，所以 q 2 ＋ q － 6 ＝ 0 ， 又因为 q >0 ，解得 q ＝ 2 ，所以 b n ＝ 2 n . 由 b 3 ＝ a 4 － 2 a 1 ，可得 3 d － a 1 ＝ 8 ， ① 由 S 11 ＝ 11 b 4 ，可得 a 1 ＋ 5 d ＝ 16 ， ② 联立 ①② ，解得 a 1 ＝ 1 ， d ＝ 3 ，由此可得 a n ＝ 3 n － 2. 所以 { a n } 的通项公式为 a n ＝ 3 n － 2 ， { b n } 的通项公式为 b n ＝ 2 n . (2) 设数列 { a 2 n b n } 的前 n 项和为 T n ， 由 a 2 n ＝ 6 n － 2 ， b n ＝ 2 n ，有 T n ＝ 4×2 ＋ 10×2 2 ＋ 16×2 3 ＋ … ＋ (6 n － 2)×2 n ， 2 T n ＝ 4×2 2 ＋ 10×2 3 ＋ 16×2 4 ＋ … ＋ (6 n － 8)×2 n ＋ (6 n － 2)×2 n ＋ 1 ， 上述两式相减，得 － T n ＝ 4×2 ＋ 6×2 2 ＋ 6×2 3 ＋ … ＋ 6×2 n － (6 n － 2)×2 n ＋ 1 ， 所以 T n ＝ (3 n － 4)2 n ＋ 2 ＋ 16. 所以数列 { a 2 n b n } 的前 n 项和为 (3 n － 4)2 n ＋ 2 ＋ 16. 又由 a 1 ＝ 2 ，得公比 q ＝ 2( q ＝－ 2 舍去 ) ， 所以数列 { a n } 的通项为 a n ＝ 2 n ( n ∈ N * ). 故数列 { b n } 的通项为 b n ＝ n ( n ＋ 1)( n ∈ N * ). ② 因为 c 1 ＝ 0 ， c 2 >0 ， c 3 >0 ， c 4 >0 ； 所以，当 n ≥ 5 时， c n <0. 综上，对任意 n ∈ N * ，恒有 S 4 ≥ S n ，故 k ＝ 4. 探究提高 　 以数列为背景的不等式恒成立问题，多与数列求和相联系，最后利用数列或数列对应函数的单调性求解 . 【训练 2 】 已知 { x n } 是各项均为正数的等比数列，且 x 1 ＋ x 2 ＝ 3 ， x 3 － x 2 ＝ 2. (1) 求数列 { x n } 的通项公式； (2) 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，依次连接点 P 1 ( x 1 ， 1) ， P 2 ( x 2 ， 2) ， … ， P n ＋ 1 ( x n ＋ 1 ， n ＋ 1) 得到折线 P 1 P 2 … P n ＋ 1 ，求由该折线与直线 y ＝ 0 ， x ＝ x 1 ， x ＝ x n ＋ 1 所围成的区域的面积 T n . 解 　 (1) 设数列 { x n } 的公比为 q ， 所以 3 q 2 － 5 q － 2 ＝ 0 ， 由已知 q ＞ 0 ， 所以 q ＝ 2 ， x 1 ＝ 1. 因此数列 { x n } 的通项公式为 x n ＝ 2 n － 1 . (2) 过 P 1 ， P 2 ， … ， P n ＋ 1 向 x 轴作垂线，垂足分别为 Q 1 ， Q 2 ， … ， Q n ＋ 1 . 由 (1) 得 x n ＋ 1 － x n ＝ 2 n － 2 n － 1 ＝ 2 n － 1 ， 记梯形 P n P n ＋ 1 Q n ＋ 1 Q n 的面积为 b n ， 所以 T n ＝ b 1 ＋ b 2 ＋ … ＋ b n ＝ 3×2 － 1 ＋ 5×2 0 ＋ 7×2 1 ＋ … ＋ (2 n － 1)×2 n － 3 ＋ (2 n ＋ 1)·×2 n － 2 . ① 又 2 T n ＝ 3×2 0 ＋ 5×2 1 ＋ 7×2 2 ＋ … ＋ (2 n － 1)×2 n － 2 ＋ (2 n ＋ 1)×2 n － 1 . ② ① － ② 得 － T n ＝ 3×2 － 1 ＋ (2 ＋ 2 2 ＋ … ＋ 2 n － 1 ) － (2 n ＋ 1)×2 n － 1 1. 错位相减法的关注点 (1) 适用题型：等差数列 { a n } 乘以等比数列 { b n } 对应项得到的数列 { a n · b n } 的求和 . (2) 步骤： ① 求和时先乘以数列 { b n } 的公比 . ② 把两个和的形式错位相减 . ③ 整理结果形式 . 3. 数列与不等式综合问题 (1) 如果是证明不等式，常转化为数列和的最值问题，同时要注意比较法、放缩法、基本不等式的应用； (2) 如果是解不等式，注意因式分解的应用 .