湖北省武汉市新洲区2020届高三10月联考 数学（理）（PDF版）

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【 ２０１９ 年高三年级 １０ 月联考Ű理科数学(共 ４ 页)第 １　　　　 页】 机密 ★ 启用前 ２０１９ 年 高 三 年 级 １０ 月 联 考 理科数学 考试时间:２０１９ 年 １０ 月 １８ 日上午 １０ : ００ — １２ : ００　　 试卷满分:１５０ 分 注意事项: 　　１ư 答卷前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘 贴在答题卡上的指定位置. 　　２ư 选择题的作答:每小题选出答案后,用 ２B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑.如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其它答案标号. ３ư 非选择题的作答:用黑色墨水的签字笔直接答在答题卡上的对应的答题区域内.写 在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. ４ư 考试结束后,请将答题卡上交. 一、选择题:本题共 １２ 小题,每小题 ５ 分,共 ６０ 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的 ． １ư 设集合 M ＝{x|x＝２k＋１,k∈Z},集合 N＝{x|x＝４k±１,k∈Z},则(　　) AưM ＝N　　　　　　BưM ⫋N　　　　　　CưN⫋M 　　　　　　DưN＝∁zM ２ư 已知复数Z 满足Z(１－２i)＝３＋i,则共轭复数Z的模为(　　) Aư ７ ５ Bư１ Cư ２ Dư２ ３ư“(x－１)(y－２)＝０”是“x＝１ 且y＝２”的(　　) Aư 充分不必要条件 Bư 必要不充分条件 Cư 充要条件 Dư 既不充分也不必要条件 ４ư 若 正 整 数 N 除 以 正 整 数 m 后 的 余 数 为 n,则 记 为 N≡n(modm),例如 １０≡３(mod７)．下面程序框图的算法源于 我国南北朝时期闻名中外的«中国剩余定理»,执行该程序框 图,则输出n 的值等于(　　) Aư２９ Bư３０ Cư３１ Dư３２ 【 ２０１９ 年高三年级 １０ 月联考Ű理科数学(共 ４ 页)第 ２　　　　 页】 ５ư 已知x＝３ ln２,y＝２ ln３,z＝２,则x,y,z 的大小关系是(　　) Aưx＞y＞z Bưy＞x＞z Cưx＝y＞z Dưy＞z＞x ６ư 设 A、B、C 为三角形三内角,且方程(sinB－sinA)x２ ＋(sinA－sinC)x＋sinC－sinB＝０ 有两相等的实根,那么角B(　　) AưB＞６０° BưB≥６０° CưB＜６０° DưB≤６０° ７ư 某同学研究曲线C:x１ ３ ＋y１ ３ ＝１ 的性质,得到如下结论:①x,y 的取值范围是R;② 曲线 C 是轴对称图形;③ 曲线C 上的点到坐标原点的距离的最小值为 ２ ８ ．其中正确的结论序 号为(　　) Aư①② Bư①③ Cư②③ Dư①②③ ８ư 若在直线l上存在不同的三点A、B、C,使得关于x 的方程x２ OA→＋xOB→＋BC→＝O→ 有解 (O∉l),则方程解集为(　　) AưØ Bư{－１} Cư{－１,０} Dư{－１＋ ５ ２ ,－１－ ５ ２ } ９ư 将函数f(x)＝２sin(２x＋φ)(|φ|＜ π ２)的图象向右平移π １２ 个单位长度后所得的图象关于 y 轴对称,则f(x)在[０, π ２]上的最小值为(　　) Aư－ ３ Bư－１ Cư－２ Dư０ １０ư 已知O 为 △ABC 的外心,且 |AC→|＝４,|AB→|＝２ ３,则AO→Ű(AC→－AB→)等于(　　) Aư２ Bư４ Cư６ Dư８ １１ư 已知实数a、b、c、d 满足a－２ea b ＝１－c d－３＝１(e 是自然对数的底数),则(a－c)２ ＋(b－d)２ 的最小值为(　　) Aư１０ Bư１８ Cư８ Dư１２ １２ư１７７７ 年法国著名数学家蒲丰曾提出过著名的投针问题,此后人们根据蒲丰投针原理,运 用随机模拟方法可以估算圆周率π 的近似值．请你运用所学知识,解决蒲丰投针问题:平 面上画着一些 平 行 线,它 们 之 间 的 距 离 都 等 于 a(a＞０),向 此 平 面 任 投 一 根 长 度 为 l(l＜a)的针,已知此针与其中一条线相交的概率是p,则圆周率π 的近似值为(　　) Aư２p al Bư al ２p Cư２l pa Dư pa ２l 【 ２０１９ 年高三年级 １０ 月联考Ű理科数学(共 ４ 页)第 ３　　　　 页】 二、填空题:本题共 ４ 小题,每小题 ５ 分,共 ２０ 分． １３ư 已知f(x)为奇函数,函数g(x)与f(x)的图象关于直线y＝x＋２ 对称,若g(１)＝７,则 f(－５)＝　　　　　． １４ư 已知f(x)＝ －sin π ２ x,－２≤x≤０ |lnx|,x＞０ ì î í ïï ïï ,若关于x 的方程f(x)＝k有四个实根x１,x２,x３, x４,则这四根之和x１＋x２＋x３＋x４ 的取值范围是 　　　　　． １５ư 已 知 △ABC 中,角 A,B,C 所 对 边 分 别 为 a,b,c,sinA sinB ＝１＋cosA ２－cosB,cosA ＝ ４ ５, S△ABC ＝６,则a＝　　　　　． １６ư 定义在区间(０,＋∞)上函数f(x)使不等式 ２f(x)＜xf′(x)＜３f(x)恒成立(f′(x)为 f(x)的导数),则f(２) f(１) 的取值范围是 　　　　　． 三、解答题:共 ７０ 分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤． １７ư(１０ 分)已知 △ABC 是圆O(O 为坐标原点)的内接三角形,其中 A(１,０),B(－１ ２,－ ３ ２ ) 角 A,B,C 所对的边分别是a,b,c． (１)若点C 的坐标是(－３ ５,４ ５),求 cos∠COB 的值; (２)若点C 在优弧AB︵上运动,求 △ABC 周长的取值范围． １８ư(１２ 分)如图,在四棱锥PＧABCD 中,PD⊥ 平面 ABCD,四边形 ABCD 是菱形,AC＝２, BD＝２ ３,且 AC,BD 交于点O,E 是PB 上任意一点． (１)求证:AC⊥DE; (２)已知二面角 AＧPBＧD 的余弦值为３ ４,若E 为PB 的中点,求 EC 与平面PAB 所成角 的正弦值． 【 ２０１９ 年高三年级 １０ 月联考Ű理科数学(共 ４ 页)第 ４　　　　 页】 １９ư(１２ 分)若a∈R,函数f(x)＝|x２ －ax| 在区间[０,１]上的最大值记为g(a),求g(a)的 表达式并求当a 为何值时,g(a)的值最小． ２０ư(１２ 分)已知椭圆x２ a２ ＋y２ ＝１(a＞１),过原点的两条直线l１ 和l２ 分别与椭圆交于点 A、B 和C、D．记得到的平行四边形 ACBD 的面积为S． (１)设 A(x１,y１),C(x２,y２),用 A,C 的坐标表示S; (２)设l１ 与l２ 的斜率之积与直线CA、CB 的斜率之积均为 －１ ２,求面积S 的值． ２１ư(１２ 分)有人玩掷均匀硬币走跳棋的游戏,棋盘上标有第 ０ 站(出发地),在第 １ 站,第 ２ 站, ƺƺ,第 １００ 站．一枚棋子开始在出发地,棋手每掷一次硬币,这枚棋子向前跳动一次,若掷 出正向,棋子向前跳一站,若掷出反面,棋子向前跳两站,直到棋子跳到第 ９９ 站(失败收容 地)或跳到第 １００ 站(胜利大本营),该游戏结束．设棋子跳到第n 站的概率为Pn ． (１)求P０,P１,P２; (２)写出Pn 与Pn－１、Pn－２ 的递推关系(２≤n≤９９); (３)求玩该游戏获胜的概率． ２２ư(１２ 分)已知函数f(x)＝ax－ a x －２lnx(a∈R)． (１)若f(x)是定义域上的增函数,求a 的取值范围; (２)设a＞３ ５,m,n 分别为f(x)的极大值和极小值,若S＝m－n,求S 的取值范围． 【 ２０１９ 年高三年级 １０ 月联考Ű理科数学参考答案(共 ４ 页)第 １　　　　 页】 ２０１９ 年高三年级 １０ 月联考Ű理科数学 参考答案与评分细则 一、选择题:本题共 １２ 小题,每小题 ５ 分,共 ６０ 分. 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２ 答案 A C B D C C D B A A B C 二、填空题:本题共 ４ 小题,每小题 ５ 分,共 ２０ 分 ． １３ư－３　　　　１４ư(０,e＋１ e－２)　　　　１５ư２ ６　　　１６ư(４,８) 三、解答题:共 ７０ 分 ．１７ư(１０ 分) (１)cos∠COB＝cos＜OC→,OB→＞＝ OC→ŰOB→ |OC→||OB→| ＝３ １０－４ ３ １０ ＝３－４ ３ １０ (５ 分) ƺ ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ (２)∵∠AOB＝１２０°,C＝ ３,∴∠ACB＝６０° (７ 分)ƺƺƺƺƺƺƺƺ ∴ a sinA＝ b sinB＝ ３ sin６０°＝２ (８ 分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ ∴a＋b＝２sinA＋２sin(２π ３ －A)＝２ ３sin(A＋ π ６), O＜A＜２π ３ ,３＜a＋b≤２ ３ (９ 分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ ∴２ ３＜a＋b＋c≤３ ３ (１０ 分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ １８ư(１２ 分) (１)∵PD⊥ 平面 ABCD,∴PD⊥AC． (１ 分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ又 ∵ 四边形 ABCD 为菱形,∴BD⊥AC (２ 分)ƺƺƺƺƺƺƺ又BD∩PD＝D,∴AC⊥ 平面 PBD DE⊂ 平面 PBD,∴AC⊥DE (４ 分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ (２)连OE,在 △PBD 中,OE∥PD,∴OE⊥ 平面 ABCD 分别以OA→,OB→,OE→为x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系． 设 PD＝t,则 A(１,０,０,),B(０,３,０), C(－１,０,０),E(０,０, t ２),P(０,－ ３,t)． 由(１)知,平面 PBD 的一个法向量为n１→＝(１,０,０) (５ 分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 设平面 PAB 的一个法向量为n２→＝(x,y,z),则由 n２→ŰAB→＝０ n２→ŰAP→＝０ { 即 －x＋ ３y＝０ －x－ ３y＋tz＝０ { ,令y＝１,则n２→＝(３,１,２ ３t )． (７ 分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 因二面角 AＧPBＧD 的余弦值为３ ４,∴|cos＜n１→,n２→＞|＝ ３ ４＋１２t２ ＝３ ４,∴t＝３． (１０ 分)ƺ 设EC 与平面PAB 所成角为θ,∵EC→＝(－１,０,－３ ２),n２→＝(３,１,２ ３ ３ ), ∴sinθ＝|cos＜EC→,n２→＞|＝ |－ ３－ ３| １＋９ ４ ４＋４ ３ ＝ ２ ３ １３ ２ Ű４ ３ ＝３ １３ １３ (１２ 分)ƺƺƺƺƺ 【 ２０１９ 年高三年级 １０ 月联考Ű理科数学参考答案(共 ４ 页)第 ２　　　　 页】 １９ư(１２ 分) (１)a≤０ 时,∵０≤x≤１,∴f(x)＝x２ －ax,f(x)单调递增． ∴g(a)＝f(１)＝１－a (２ 分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ (２)当a＞０,如图所示,令f(x)＝ a２ ４,得x＝ a ２ 或x＝ ２＋１ ２ a ① 当a ２≥１,即a≥２ 时,g(a)＝f(１)＝a－１ (４ 分)ƺƺƺ ② 当a ２＜１＜ ２＋１ ２ a,即 ２(２－１)＜a＜２ 时,g(a)＝f( a ２)＝ a２ ４ (６ 分)ƺƺƺƺƺƺƺ ③ 当 ２＋１ ２ a≤１,即 ０＜a≤２(２－１)时,g(a)＝f(１)＝１－a (８ 分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 综上,g(a)＝ １－a,a≤２(２－１) a２ ４,２(２－１)＜a＜２ a－１,a≥２ ì î í ï ï ïï (１０ 分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 显然当a＝２(２－１)时,g(a)取最小值． (１２ 分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ ２０ư(１２ 分) (１)直线l１:xy１－yx１＝０． d＝|x１y２－x２y１| x１ ２ ＋y１ ２ ,则 |AB|＝２|AO|＝２ x１ ２ ＋y１ ２ ∴S＝２S△ABC ＝|AB|Űd ＝２ x１ ２ ＋y１ ２ Ű|x１y２－x２y１| x１ ２ ＋y１ ２ ＝２|x１y２－x２y１| (４ 分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ (２)设l１:y＝K１x,l２:y＝K２x; ∵KCA ŰKCB ＝ y２－y１ x２－x１ Ű y２＋y１ x２＋x１ ＝ y２ ２ －y１ ２ x２ ２ －x１ ２ 又 ∵ x１ ２ a２ ＋y１ ２ ＝ x２ ２ a２ ＋y２ ２ 　∴ y２ ２ －y１ ２ x２ ２ －x１ ２ ＝－１a２ ∴KCA ŰKCB ＝－１a２ ＝－１ ２　∴a２ ＝２　∴ 椭圆方程为x２ ２ ＋y２ ＝１ (６ 分)ƺƺƺƺƺƺ 联立 y＝K１x x２ ２ ＋y２ ＝１{ ⇒x２ ＋２K１ ２x２ ＝２ ∴x１ ２ ＝ ２ １＋２K１ ２ ,同理可得x２ ２ ＝ ２ １＋２K２ ２ (８ 分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 又 ∵S＝２|x１y２－x２y１|＝２|K２－K１||x１x２|　∴S２ ＝４(K２－K１)２x１ ２x２ ２ ∴S２ ＝４(K２－K１)２ Ű ４ (１＋２K１ ２ )(１＋２K２ ２ ) (１０ 分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 将 K２＝－ １ ２K１ 代入得S２ ＝４(K１＋ １ ２K１ )２ Ű ４ (１＋２K１ ２ )(１＋ １ ２K１ ２) S２ ＝４Ű(２K１ ２ ＋１)２ ４K１ ２ × ８K１ ２ (１＋２K１ ２ )２ ＝８　∴S＝２ ２ (１２ 分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ ２１ư(１２ 分) (１)依题意得 P０＝１,P１＝１ ２,P２＝１ ２＋１ ２×１ ２＝３ ４ (３ 分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ (２)依题意知,棋子跳到第n 站有两种情况: 【 ２０１９ 年高三年级 １０ 月联考Ű理科数学参考答案(共 ４ 页)第 ３　　　　 页】 第一种,棋子先到n－２ 站,又掷出反面,其概率为１ ２ Pn－２; 第二种,棋子先到n－１ 站,又掷出正面,其概率为１ ２ Pn－１． ∴Pn ＝１ ２ Pn－１＋１ ２ Pn－２(２≤n≤９９) (６ 分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ (没写 ２≤n≤９９,得 ５ 分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ (３)【解法一】由(２)知,Pn －Pn－１＝－１ ２(Pn－１－Pn－２),且 P１－P０＝－１ ２ (８ 分)ƺƺƺƺƺ ∴{Pn －Pn－１}是以 －１ ２ 为首项,－１ ２ 为公比的等比数列． P９９＝P０＋(P１－P０)＋(P２－P１)＋(P３－P２)＋ƺƺ＋(P９９－P９８) ＝１＋(－１ ２)＋(－１ ２)２ ＋ƺƺ＋(－１ ２)９９ ＝ １－(－１ ２)１００ １＋１ ２ ＝２ ３(１－ １ ２ １００) (１０ 分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 又 P９９＋P１００＝１　∴P１００＝１ ３(１＋ １ ２ ９９)或 P１００＝P９８Ű１ ２＝１ ３(１＋ １ ２ ９９) (１２ 分)ƺƺƺƺ ∴ 玩该游戏获胜的概率为１ ３(１＋ １ ２ ９９) 【解法二】 ∵Pn ＝１ ２ Pn－１＋１ ２ Pn－２,２≤n≤９９ ∴Pn ＋１ ２ Pn－１＝Pn－１＋１ ２ Pn－２＝ƺ＝P２＋１ ２ P１＝１ (８ 分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ Pn －２ ３＝－１ ２(Pn－１－２ ３) ∴Pn －２ ３＝(P１－２ ３)(－１ ２) n－１ ＝－１ ６(－１ ２) n－１ ＝１ ３(－１ ２) n ∴Pn ＝２ ３＋１ ３(－１ ２) n ,１≤n≤９９　P９９＝２ ３－１ ３＋ １ ２ ９９ ＝２ ３(１－ １ ２ １００) (１０ 分)ƺƺƺƺƺ ∴P１００＝１－P９９＝１ ３(１＋ １ ２ ９９) ∴ 玩该游戏获胜的概率为１ ３(１＋ １ ２ ９９)． (１２ 分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ ２２ư(１２ 分) (１)f(x)的定义域为(０,＋∞),f′(x)＝a＋ a x２ －２x ＝ ax２ －２x＋a x２ (１ 分)ƺƺƺƺƺƺƺƺ ∵f(x)在定义域内单调递增,∴f′(x)≥０,即ax２ －２x＋a≥０ 对x＞０ 恒成立． 则a≥ ２x x２ ＋１ 恒成立 ． ∴a≥(２x x２ ＋１ )max　∵ ２x x２ ＋１≤１　∴a≥１ 所以,a 的取值范围是[１,＋∞) (４ 分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ (２)【解法一】将S 表示为关于x１ 的函数, 由 △＝４－４a２ ＞０ 且a＞３ ５,得３ ５＜a＜１ (５ 分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 设方程f′(x)＝０,即ax２ －２x＋a＝０ 的两根为x１,x２,且 ０＜x１＜x２． 则 m＝f(x１),n＝f(x２),∵x１x２＝１,x１＋x２＝２a 【 ２０１９ 年高三年级 １０ 月联考Ű理科数学参考答案(共 ４ 页)第 ４　　　　 页】 ∴２＜x１＋ １x１ ＝２a ＜１０ ３　∴１ ３＜x１＜１． (７ 分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ S＝m－n＝ax１－ a x１ －２lnx１－(ax２－ a x２ －２lnx２) ＝ax１－ a x１ －２lnx１－( a x１ －ax１＋２lnx１)＝２(ax１－ a x１ －２lnx１) (６ 分)ƺƺƺƺƺƺƺƺ ∵ax１ ２ －２x１＋a＝０ ∴a＝ ２x１ x１ ２ ＋１ 代入得S＝４( x１ ２ －１x１ ２ ＋１－lnx１)＝４( x１ ２ －１x１ ２ ＋１－１ ２lnx１ ２ ) (８ 分)ƺƺƺƺƺƺƺ 令x１ ２ ＝t,则１ ９＜t＜１,得g(t)＝ t－１t＋１－１ ２lnt,１ ９＜t＜１,则S＝４g(t) g′(t)＝－(t－１)２ ２t(t＋１)２ ＜０　∴g(t)而且(１ ９,１)上递减,从而g(１)＜g(t)＜g(１ ９) 即 ０＜g(t)＜ln３－４ ５　∴０＜S＜４ln３－１６ ５ (１２ 分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 【解法二】将S 表示为x１ x２ 的函数 S＝m－n＝ax１－ a x１ －２lnx１－(ax２－ a x２ －２lnx２)＝a(x１－x２)－a(１x１ － １x２ )－２ln x１ x２ ∵x１＋x２＝２a ,x１x２＝１　∴S＝４Ű x１－x２ x１＋x２ －２ln x１ x２ ＝４Ű x１ x２ －１ x１ x２ ＋１ －２ln x１ x２ 令x１ x２ ＝t,则S＝４ t－１t＋１－２lnt ∵t＋１t ＝ x１ ２ ＋x２ ２ x１x２ ＝ (x１＋x２)２ －２x１x２ x１x２ ＝４a２ －２,∵３ ５＜a＜１ ∴２＜t＋１t ＜８２ ９　∴１ ９＜t＜１ (８ 分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 设g(t)＝４ t－１t＋１－２lnt(１ ９＜t＜１),g′(t)＝ ８ (t＋１)２ －２t ＝－２(t－１)２ t(t＋１)２ ＜０ (１０ 分)ƺƺ ∴g(t)在(１ ９,１)上为减函数 　∴g(１)＜g(t)＜g(１ ９) ∴０＜g(t)＜４ln３－１６ ５ 即 ０＜S＜４ln３－１６ ５ ． (１２ 分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 【解法三】将S 表示为关于a 的函数． ∵x１＝１－ １－a２ a ,x２＝１＋ １－a２ a ,S＝４Ű x１－x２ x１＋x２ －２ln x１ x２ (６ 分)ƺƺƺƺƺƺƺƺ ∴S＝－４ １－a２ －２ln１－ １－a２ １＋ １－a２ (８ 分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 　 令 １－a２ ＝t　∵３ ５＜a＜１,∴０＜t＜４ ５ ∴S＝－４t－２ln１－t １＋t＝－４t－２[ln(１－t)－ln(１＋t)],０＜t＜４ ５ (１０ 分)ƺƺƺƺƺƺƺ ∴S′＝－４－２(１t－１－ １t＋１)＝ ４t２ １－t２ ＞０ ∴S 关于t单调递增,故 ０＜S＜４ln３－１６ ５ (１２ 分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ