2020届二轮复习高考审题答题三数列热点问题课件（17张）（全国通用）

2020届二轮复习高考审题答题三数列热点问题课件（17张）（全国通用）

核心热点 真题印证 核心素养 等比 ( 差 ) 数列的判定与证明 2018· 全国 Ⅰ ， 17 ； 2017· 全国 Ⅰ ， 17 ； 2016· 全国 Ⅲ ， 17 逻辑推理、 数学运算 通项与求和 2018· 全国 Ⅱ ， 17 ； 2018· 全国 Ⅲ ， 17 ； 2016· 全国 Ⅱ ， 17 ； 2016· 全国 Ⅲ ， 17 数学运算、 数学建模 等差与等比数列的综合问题 2017· 全国 Ⅱ ， 17 ； 2018· 天津， 18 ； 2018· 全国 Ⅰ ， 17 ； 2018 ·浙江， 20 数学运算、 逻辑推理 教材链接高考 —— 等比 ( 差 ) 数列的判定与证明 [ 教材探究 ] 1. ( 引自人教 A 版 必修 5P50 例 2) 根据图 2.4 － 2 中的框图 ( 图略，教材中的图 ) ，写出所打印数列的前 5 项，并建立数列的递推公式 . 这个数列是等比数列吗？ 2. ( 引自人教 A 版 必修 5P69B6) 已知数列 { a n } 中， a 1 ＝ 5 ， a 2 ＝ 2 ，且 a n ＝ 2 a n － 1 ＋ 3 a n － 2 ( n ≥ 3). 对于这个数列的通项公式作一研究，能否写出它的通项公式？ (2) 题目以递推形式给出数列，构造数列模型 b n ＝ a n ＋ a n － 1 ( n ≥ 2) ， c n ＝ a n － 3 a n － 1 ( n ≥ 2) ，利用等比数列定义不难得到 { b n } ， { c n } 是等比数列，进而求出数列 { a n } 的通项公式 . 两题均从递推关系入手，考查等比数列的判定和通项公式的求解，突显数学运算与逻辑推理等数学核心素养 . 【教材拓展】 (2019· 郑州模拟 ) 已知数列 { a n } 满足 a 1 ＝ 5 ， a 2 ＝ 5 ， a n ＋ 1 ＝ a n ＋ 6 a n － 1 ( n ≥ 2). (1) 求证： { a n ＋ 1 ＋ 2 a n } 是等比数列； (2) 求数列 { a n } 的通项公式 . (1) 证明　 因为 a n ＋ 1 ＝ a n ＋ 6 a n － 1 ( n ≥ 2) ， 所以 a n ＋ 1 ＋ 2 a n ＝ 3 a n ＋ 6 a n － 1 ＝ 3( a n ＋ 2 a n － 1 )( n ≥ 2). 因为 a 1 ＝ 5 ， a 2 ＝ 5 ， 所以 a 2 ＋ 2 a 1 ＝ 15 ， 所以 a n ＋ 2 a n － 1 ≠ 0( n ≥ 2) ， 所以数列 { a n ＋ 1 ＋ 2 a n } 是以 15 为首项， 3 为公比的等比数列 . (2) 解　 由 (1) 得 a n ＋ 1 ＋ 2 a n ＝ 15 × 3 n － 1 ＝ 5 × 3 n ， 则 a n ＋ 1 ＝－ 2 a n ＋ 5 × 3 n ， 所以 a n ＋ 1 － 3 n ＋ 1 ＝－ 2( a n － 3 n ). 又因为 a 1 － 3 ＝ 2 ，所以 a n － 3 n ≠ 0 ， 所以 { a n － 3 n } 是以 2 为首项，－ 2 为公比的等比数列 . 所以 a n － 3 n ＝ 2 × ( － 2) n － 1 ， 故 a n ＝ 2 × ( － 2) n － 1 ＋ 3 n . (1) 求 b 1 ， b 2 ， b 3 ； (2) 判断数列 { b n } 是否为等比数列，并说明理由； (3) 求 { a n } 的通项公式 . 探究提高　 数列递推式是数列命题常见类型，解题的关键是通过适当的变形，转化成特殊数列问题 . 将 n ＝ 1 代入得， a 2 ＝ 4 a 1 ，而 a 1 ＝ 1 ，所以 a 2 ＝ 4. 将 n ＝ 2 代入得， a 3 ＝ 3 a 2 ，所以 a 3 ＝ 12. 从而 b 1 ＝ 1 ， b 2 ＝ 2 ， b 3 ＝ 4. (2){ b n } 是首项为 1 ，公比为 2 的等比数列 . 理由如下： 教你如何审题 —— 等差与等比数列的综合问题 【例题】 (2018· 天津卷 ) 设 { a n } 是等差数列，其前 n 项和为 S n ( n ∈ N + ) ； { b n } 是等比数列，公比大于 0 ，其前 n 项和为 T n ( n ∈ N + ). 已知 b 1 ＝ 1 ， b 3 ＝ b 2 ＋ 2 ， b 4 ＝ a 3 ＋ a 5 ， b 5 ＝ a 4 ＋ 2 a 6 . (1) 求 S n 和 T n ； (2) 若 S n ＋ ( T 1 ＋ T 2 ＋ … ＋ T n ) ＝ a n ＋ 4 b n ，求正整数 n 的值 . [ 审题路线 ] [ 自主解答 ] 解　 (1) 设等比数列 { b n } 的公比为 q ( q >0). 由 b 1 ＝ 1 ， b 3 ＝ b 2 ＋ 2 ，可得 q 2 － q － 2 ＝ 0. 因为 q >0 ，可得 q ＝ 2 ，故 b n ＝ 2 n － 1 . 设等差数列 { a n } 的公差为 d . 由 b 4 ＝ a 3 ＋ a 5 ，可得 a 1 ＋ 3 d ＝ 4. 由 b 5 ＝ a 4 ＋ 2 a 6 ，可得 3 a 1 ＋ 13 d ＝ 16 ，从而 a 1 ＝ 1 ， d ＝ 1 ， (2) 由 (1) ，有 由 S n ＋ ( T 1 ＋ T 2 ＋ … ＋ T n ) ＝ a n ＋ 4 b n 整理得 n 2 － 3 n － 4 ＝ 0 ，解得 n ＝－ 1( 舍 ) ，或 n ＝ 4. 所以 n 的值为 4. 探究提高 　 1. 本题主要考查等差、等比数列通项公式与前 n 项和公式计算，突出方程思想和数学运算等核心素养，准确计算是求解的关键 . 2. 利用等差 ( 比 ) 数列的通项公式及前 n 项和公式列方程 ( 组 ) 求出等差 ( 比 ) 数列的首项和公差 ( 比 ) ，进而写出所求数列的通项公式及前 n 项和公式，这是求解等差数列或等比数列问题的常用方法 . 3. 对等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列项之间的关系，以便实现等差、等比数列之间的相互转化 . 【尝试训练】 (2017· 全国 Ⅱ 卷 ) 已知等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，等比数列 { b n } 的前 n 项和为 T n ， a 1 ＝－ 1 ， b 1 ＝ 1 ， a 2 ＋ b 2 ＝ 2. (1) 若 a 3 ＋ b 3 ＝ 5 ，求 { b n } 的通项公式； (2) 若 T 3 ＝ 21 ，求 S 3 . 解　 设 { a n } 的公差为 d ， { b n } 的公比为 q ，则 a n ＝－ 1 ＋ ( n － 1)· d ， b n ＝ q n － 1 . 由 a 2 ＋ b 2 ＝ 2 得 d ＋ q ＝ 3. ① (1) 由 a 3 ＋ b 3 ＝ 5 得 2 d ＋ q 2 ＝ 6. ② (2) 由 b 1 ＝ 1 ， T 3 ＝ 21 得 q 2 ＋ q － 20 ＝ 0. 解得 q ＝－ 5 或 q ＝ 4. 当 q ＝－ 5 时，由 ① 得 d ＝ 8 ，则 S 3 ＝ 21. 当 q ＝ 4 时，由 ① 得 d ＝－ 1 ，则 S 3 ＝－ 6. 满分答题示范 —— 数列的通项与求和 【例题】 (12 分 )(2017· 全国 Ⅲ 卷 ) 设数列 { a n } 满足 a 1 ＋ 3 a 2 ＋ … ＋ (2 n － 1) a n ＝ 2 n . (1) 求 { a n } 的通项公式； [ 规范解答 ] [ 高考状元满分心得 ] ❶ 得步骤分：抓住得分点的解题步骤， “ 步步为赢 ” ，在第 (1) 问中，由 a n 满足的关系式，通过消项求得 a n ，验证 n ＝ 1 时成立，写出结果 . 在第 (2) 问中观察数列的结构特征进行裂项 → 利用裂项相消法求得数列的前 n 项和 S n . ❷ 得关键分： (1) a n － 1 满足的关系式， (2) 验证 n ＝ 1 ， (3) 对通项裂项都是不可少的过程，有则给分，无则没分 . ❸ 得计算分：解题过程中的计算准确是得满分的根本保证，如 ( 得分点 2) ， ( 得分点 5) ， ( 得分点 7). [ 构建模板 ] 【规范训练】 (2019· 芜湖调研 ) 已知数列 { a n } 是等比数列， a 2 ＝ 4 ， a 3 ＋ 2 是 a 2 和 a 4 的等差中项 . (1) 求数列 { a n } 的通项公式； (2) 设 b n ＝ 2log 2 a n － 1 ，求数列 { a n b n } 的前 n 项和 T n . 解　 (1) 设数列 { a n } 的公比为 q ， 因为 a 2 ＝ 4 ，所以 a 3 ＝ 4 q ， a 4 ＝ 4 q 2 . 因为 a 3 ＋ 2 是 a 2 和 a 4 的等差中项， 所以 2( a 3 ＋ 2) ＝ a 2 ＋ a 4 . 即 2(4 q ＋ 2) ＝ 4 ＋ 4 q 2 ，化简得 q 2 － 2 q ＝ 0. 因为公比 q ≠ 0 ，所以 q ＝ 2. 所以 a n ＝ a 2 q n － 2 ＝ 4 × 2 n － 2 ＝ 2 n ( n ∈ N + ).