专题07+圆锥曲线-备战2018高考高三数学（理）全国各地优质模拟试卷分项精品
【备战2018高考高三数学全国各地优质模拟试卷分项精品】
专题 圆锥曲线
一、选择题
1．【2018河南洛阳市联考】设双曲线C：x216-y29=1的右焦点为F，过F作渐近线的垂线，垂足分别为M，N，若d是双曲线上任一点P到直线MN的距离，则d|PF|的值为（ ）
A. B. C. D. 无法确定
【答案】B
2．【2018浙江温州一模】正方形ABCD的四个顶点都在椭圆x2a2+y2b2=1上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A. (5-12,1) B. (0,5-12) C. (3-12,1) D. (0,3-12)
【答案】B
【解析】设正方体的边长为2m，∵椭圆的焦点在正方形的内部，∴m>c，又正方形ABCD的四个顶点都在椭圆x2a2+y2b2=1上，∴m2a2+m2b2=1≥c2a2+c2b2=e2+e21-e2，e4-3e2+1≥0，e2≤3-52=5-122,∴0
c构造出关于e的不等式，最后解出e的范围.
3．【2018吉林百校联盟联考】已知抛物线： 的焦点到其准线的距离为2，过焦点且倾斜角为的直线与抛物线交于， 两点，若， ，垂足分别为， ，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
4．【2018辽宁省八中模拟】已知双曲线的左、右焦点为、，在双曲线上存在点P满足,则此双曲线的离心率e的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为为的边的中线，可知，双曲线上存在点满足
，则，由，可知，则，选B.
5．【2018湖南两市九月调研】如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，交其准线于点，若点是的中点，且，则线段的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
由点是的中点，有： .
所以.解得. 抛物线
设，则.所以. .
.
: .与抛物线联立得： .
.
.
故选C.
6．【2018辽宁辽南协作校一模】设F1和F2为双曲线(a＞0，b＞0)的两个焦点，若F1，F2，(0,2b)是正三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是（ ）
A. y=±x B. y=±x C. y=±x D. y=±x
【答案】B
7．【2018广东省海珠区一模】已知双曲线的两条渐近线均与圆相切，且双曲线的右焦点为该圆的圆心，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】双曲线的渐近线方程为，即，圆化为标准方程，半径为， 双曲线的两条渐近线均和圆相切， ， ，
， 双曲线离心率对于，故选C.
【 方法点睛】本题主要考查双曲线的渐近线及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．本题中，根据点到直线距离公式可以建立关于焦半径和焦距的关系．从而找出之间的关系求出离心率的．
8．【2018广西柳州市一模】若双曲线 上存在一点P满足以为边长的正方形的面积等于（其中O为坐标原点），则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
考点：双曲线的离心率．【来.源：全,品…中&高*考*网】
9．【2018广西柳州市一模】已知点是以为焦点的椭圆上一点，若，则椭圆的离心率（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵点P是以F1，F2为焦点的椭圆+=1（a＞b＞0）上一点，PF1⊥PF2，tan∠PF2F1=2，
∴=2，设|PF2|=x，则|PF1|=2x，由椭圆定义知x+2x=2a，∴x=，∴|PF2|=，则|PF1|==，由勾股定理知|PF2|2+|PF1|2=|F1F2|2，∴解得c=a，
∴e==．
点睛：本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的灵活运用．
10．【2018湖南省永州市一模】已知点为双曲线右支上一点， 分别为双曲线的左右焦点，点为的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有成立，则双曲线的离心率取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【来源】【全国市级联考】湖南省永州市2018届高三上学期第一次模拟考试数学（理）试题
【答案】A
【解析】
得，根据双曲线定义，得， 离心率为，双曲线的离心率取值范围为，故选A.
11．【2018广东珠海市九月摸底】已知抛物线 C：y2=4x，过点 P(-2 ，0) 作直线 l 与 C 交于 A B 两点，直线 l 的斜率为 k ，则 k 的取值范围是
A. B.
C. D.
【答案】A
12．【2018陕西西工大附中六模】已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于两点， 为坐标原点，若的面积为，则双曲线的离心率为( )
A. B. 2 C. D. 4
【答案】B
【解析】y2=−8x的准线方程为l:x=2，
∵双曲线的两条渐进线与抛物线y2=−8x的准线分别交于A,B两点,△ABO的面积为，
∴，
∴b=a，
∴c=2a，
∴.
本题选择B选项.
点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
二、填空题
13．【2018浙江温州一模】已知直线：x-3y=0与圆C：(x-2)2+y2=4交于O，A两点（其中O是坐标原点），则圆心C到直线的距离为__________，点A的横坐标为__________．
【答案】 1 3
14．【2018广西三校联考】双曲线的焦距为________ .
【答案】8
【解析】双曲线,即由题意(25−k)(9−k)<0，
∴90）的焦点，点A是抛物线上的定点，且AF=(2,0)，点B，C是抛物线上的动点，直线AB，AC斜率分别为k1，k2．
（1）求抛物线τ的方程；
（2）若k2-k1=2，点D是抛物线在点B，C处切线的交点，记ΔBCD的面积为S，证明S为定值．
【答案】（1）x2=4y（2）S=32
试题解析：
（1）设A(x0,y0)，由题知F(0,p2)，所以AF=(-x0,p2-y0) =(2,0)，
所以x0=-2,y0=p2,代入x2=2py（p>0）中得4=p2，即p=2，
所以抛物线的方程是x2=4y．
（2）过D作y轴平行线交BC于点E，并设B(x1,x124)，C(x2,x224)，
由（1）知A(-2,1)，
所以k2-k1=x224-1x2+2-x124-1x1+2=x2-x14，
又k2-k1=2，所以x2-x1=8，
直线BD：y=x12x-x124，直线CD：y=x22x-x224，解得xD=x1+x22,yD=x1x24,
因直线BC方程为y-x124=x1+x24(x-x2)，将xD代入得yE=x12+x228，
所以S=12|DE|(x2-x1)=12(yE-yD)(x2-x1)=12⋅(x2-x1)28⋅(x2-x1)=32．
点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.
19．【2018浙江温州一模】已知抛物线C：y2=2px（p>0），焦点为F，直线交抛物线C于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，D(x0,y0)为AB的中点，且|AF|+|BF|=1+2x0．
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（1）求抛物线C的方程；
（2）若x1x2+y1y2=-1，求x0|AB|的最小值．
【答案】（1）y2=2x；（2）24.
果.
试题解析：（1）根据抛物线的定义知|AF|+|BF|=x1+x2+p，x1+x2=2xD，
∵|AF|+|BF|=1+2xD，
∴p=1，
∴y2=2x．
（2）设直线的方程为x=my+b，代入抛物线方程，得y2-2my-2b=0，
∵x1x2+y1y2=-1，即y12y124+y1y2=-1，
∴y1y2=-2，即y1y2=-2b=-2，
∴b=-1，
∴y1+y2=2m，y1y2=-2，
|AB|=1+m2|y1-y2| =1+m2⋅(y1+y2)2-4y1y2 =21+m2⋅m2+2，
xD=x1+x22=y12+y124=14(y1+y2)2-2y1y2=m2+1，
∴x0|AB|=m2+12m2+1⋅m2+2，
令t=m2+1，t∈[1,+∞)，则x0|AB|=t2t⋅t+1=121+1t≥24．
【方法点晴】本题主要考查待定系数法求抛物线方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求解的.
20．【2018广西三校九月联考】已知椭圆方程为： ， 椭圆的右焦点为，离心率为，直线： 与椭圆相交于、两点，且
（1）椭圆的方程及求的面积；
（2）在椭圆上是否存在一点，使为平行四边形，若存在，求出的取值范围，若不存在说明理由.
【答案】（1）， （2）不存在
试题解析：
（1）由已知
椭圆方程为：
设A(，B，则, 的坐标满足
消去化简得， ，
， 得
,
.
， ，即
即,
=.
O到直线的距离
,
.
（2）若存在平行四边形OAPB使在椭圆上，则，设，
则,,由于在椭圆上，所以，从而化简得
化简得 ①， 由，知 ②
联立方程①②知，故不存在在椭圆上的平行四边形.
点睛：直线和圆锥曲线的位置关系往往都是联立，韦达定理，弦长公式，最主要是计算一定要细心.
21．【2018河南中原名校质检二】已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+6=0相切.
(1)求椭圆C的方程：
(2)设P(4,0)，A、B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连结PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于定点Q.
【答案】（1）x24+y23=1（2）Q(1,0)
(1)∵ e=ca=12 ∴ e2=c2a2=a2-b2a2=14，即a2=43b2，
又∵ b=61+1=3，既b2=3 ∴ a2=4 故椭圆C的方程为x24+y23=1.
(2)由题意知，直线PB的斜率存在，设其为k，则直线PB的方程为y=k(x-4)
由{3x2+4y2-12=0y=k(x-4)可得，(4k+3)x2-32k2x+64k2-12=0
设点B(x1,y1)、E(x2,y2)，则A(x1,-y1)，x1+x2=32k24k2+3①，x1x2=64k2-124k2+3②
由于直线AE的方程为y-y2=y2+y1x2-x1(x-x2)
所以令y=0，可得x=x2-y2(x2-x1)y2+y1=x2-k(x2-4)(x2-x1)k(x2-4)+k(x1-4)=2x1x2-4(x1+x2)x1+x2-8
①②带入到上式既可解得x=1， 所以直线AE与x轴相交于定点Q(1,0).
点睛：椭圆是重要的圆锥曲线的代表之一，也是高考重点考查的重要内容之一。求解本题的第一问时，依据题设题设中的已知条件，建立方程组，然后通过解方程组从而使得问题获解；解答本题的第二问时，先建立直线的方程，后与椭圆方程联立，然后借助坐标之间的关系分析推证，从而证得直线过定点，并求出了定点分的坐标使得问题获证。
22．【2018吉林百校联盟九月联考】已知椭圆： 的离心率为，且过点， ， 是椭圆上异于长轴端点的两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线： ，且，垂足为， ，垂足为，若，且的面积是面积的5倍，求面积的最大值.
【答案】(1) ；(2)3.
后结合对勾函数的性质可得面积的最大值是3.
试题解析：
（1）依题意解得
故椭圆的方程为.
（2）设直线与轴相交于点 ， ，
由于且，
得， （舍去）或，
即直线经过点，
设， ， 的直线方程为： ，
由即，
， ，
，
令，所以，
因为，所以在上单调递增，所以在上单调递增，
所以，所以（当且仅当，即时“”成立），
故的最大值为3.
23．【2018湖南两市九月调研】已知动圆经过点，并且与圆相切.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）设为轨迹内的一个动点，过点且斜率为的直线交轨迹于两点，当为何值时？ 是与无关的定值，并求出该值定值.
【答案】（1）；（2）见解析.
试题解析：
（1）由题设得： ，所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，
椭圆方程为.
（2）设，直线，
由得，
【来.源：全,品…中&高*考*网】
.
.
的值与无关， ，
解得.此时.
（方法：①当时，…；②当时，设直线，…；可以减少计算量.）
24．【2018辽宁省辽南协作校一模】已知抛物线，直线交于两点， 是的中点，过作轴的垂线交于点.
（1）证明：抛物线在点处的切线与平行；
（2）是否存在实数，使以为直径的圆经过点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)见解析;(2) 存在实数使以为直径的圆经过点.
因为，所以抛物线在点处的切线斜率为，故该切线与平行.
（2）假设存在实数，使以为直径的圆经过点，则.
由（1）知 ，又因为垂直于轴，
所以，
而 .
所以，解得.
所以，存在实数使以为直径的圆经过点.
25．【2018广东省海珠区一模】已知椭圆的焦距为，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若不经过点的直线与交于两点，且直线与直线的斜率之和为，证明：直线的斜率为定值.
【答案】（1）；（2）
试题解析：（1）因为椭圆的焦距为，且过点，所以
.因为，解得，所以椭圆的方程为.
（2）设点，则，由消去得，（*）则，因为，即，化简得.即.（**）代入得，整理得，所以或.若，可得方程（*）的一个根为，不合题意，所以直线的斜率为定值，该值为.
【方法点晴】本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系和过两点的斜率公式，属于难题.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程或 ；③找关系：根据已知条件，建立关于、、的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.
26．【2018江西省红色七校联考】已知椭圆C的中心在原点，焦点在轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点。
（1）求椭圆C的标准方程。
（2）已知点在椭圆C上，点A、B是椭圆C上不同于P、Q的两个动点，且满足： 。试问：直线AB的斜率是否为定值？请说明理由。
【答案】（1） （2）
试题解析：
（1）∵椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，∴设椭圆标准方程为（a＞b＞0），
∵椭圆离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点．
焦点为(0,2)，
∴b=2…（1分）e==，a2﹣b2=c2，
∴解得a2=16，b2=12
∴椭圆C的标准方程．
（2）直线 x=﹣2与椭圆交点P（﹣2，3），Q（﹣2，﹣3）或P（﹣2，﹣3），Q（﹣2，3），∴|PQ|=6，设A （x1，y1 ），B（ x2，y2），
当∠APQ=∠BPQ时直线PA，PB斜率之和为0．
设PA斜率为k，则PB斜率为﹣k．
当P（﹣2，3），Q（﹣2，﹣3）时，
PA的直线方程为y﹣3=k（x+2）
与椭圆联立得（3+4k2）x2+8k（2k+3）x+4（2k+3）2﹣48=0
∴=;
同理
∴
, y1﹣y2=k（x1+2）+3﹣[﹣k（x2+2）+3]=
直线AB斜率为
点睛：本题考查椭圆的性质以及抛物线的性质，直线与椭圆的综合问题，解答的关键是认真审题，理清问题与题设的关系，建立合理的方程求出面积函数以及表示出AB的斜率，此类题有一特点即为将直线与椭圆联立，解答中要注意运用直线方程统一变量，最后消掉出定值.
27．【2018广西柳州市一模】已知椭圆的离心率为， 为椭圆的左右焦点， 为椭圆短轴的端点， 的面积为2.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为原点，若点在椭圆上，点在直线上，且，试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论.
【答案】(1) ,(2)直线与圆相切.
．
解析：（1）由题意， ，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）直线与圆相切.证明如下：
设点的坐标分别为，其中.
因为，
所以，即，解得.
当时， ，代入椭圆的方程，得，
故直线的方程为.
圆心到直线的距离.
此时直线与圆相切.
当时，直线的方程为.
即.
又，故
.
此时直线与圆相切.
点睛：利用向量垂直关系得两点的坐标关系，再求圆心到直先得距离恰为半径．
