2017-2018学年江苏省无锡市江阴四校高二上学期期中考试数学试题（解析版）

2017-2018学年江苏省无锡市江阴四校高二上学期期中考试数学试题（解析版）

‎2017-2018学年江苏省无锡市江阴四校高二上学期期中考试数学试题 一、填空题 ‎1．命题“”的否定是_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据全称命题的否定为特称命题，所以命题“”的否定是 故答案为 ‎2．过点P（－1,3）且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程是 ．‎ ‎【答案】2x+y-1=0‎ ‎【解析】试题分析：由题可知，设直线Ax+By+C=0，与它垂直的直线为-Bx+Ay+D=0，故设与已知直线垂直的直线为2x+y+D=0，将点P（－1,3）代入，得出D=－1，故直线方程为2x+y-1=0。‎ ‎【考点】两条直线的位置关系 ‎3．是直线和直线平行的_______条件.(从 “充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中,选出适当的一种填空)‎ ‎【答案】充分不必要条件 ‎【解析】若l1//l2,则=,则a=0或,经检验都符合题意，所以l1//l2充要条件是a=0或，故是a=0或的充分不必要条件 故答案为充分不必要条件.‎ ‎4．若圆的半径为1,点与点关于点对称,则圆的标准方程为______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为点与点关于点对称,所以点C的坐标为(0,0),又圆的半径为1,所以圆的标准方程为.‎ 故答案为 ‎5．已知正方体分别是正方形和的中心,则和所成的角的大小是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】连接DC1, 分别是正方形和的中心,所以分别为的中点，故DC1//EF,则DC1与所成的角即为和所成的角，大小为 故答案为 ‎6．直线的倾斜角的取值范围是______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由直线方程可得直线的斜率为,所以直线=的倾斜角的取值范围是 故答案为 ‎7．设棱长为的正方体的体积和表面积分别为，，底面半径和高均为的圆锥的体积和侧面积分别为，，若，则的值为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：因为，所以，‎ 因此 ‎【考点】圆锥体积及侧面积 ‎8．直线被圆截得的弦长为2,则实数的值为___________.‎ ‎【答案】-2‎ ‎【解析】圆= ,则圆心(a,0),半径为,‎ 因为直线被圆截得的弦长为2,所以圆心到直线的距离为,即=,则.‎ 故答案为-2‎ ‎9．在平面直角坐标系中,已知椭圆过点,离心率为,则椭圆的方程为_________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可得,求解可得===,所以椭圆的方程为=.‎ 故答案为 ‎10．已知是两个不同的平面, 是两条不同的直线, .给出下列命题:①;②;③;④.其中正确的命题是____________.‎ ‎【答案】①④‎ ‎【解析】由线面垂直的性质定理与面面平行可得①正确;‎ 由可得或,又,则m,l的位置关系是平行相交或异面,故②错误;‎ 由,又,由线面垂直的判定定理可知, 的位置关系可能不垂直,故③错误;‎ 由,又,所以,故④正确.‎ 故答案为①④‎ ‎11．已知实数满足方程=,则的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】方程=化为,表示的图形是一个半圆,‎ 令,即y=kx,如图所示,当直线与半圆相切时,k=,所以的取值范围是 故答案为 ‎12．已知圆=与圆=相外切,则的最大值为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为圆=与圆=相外切,所以,两边平方可得a2+b2+2ab=9,又因为a2+b2≥2ab,所以ab≤,所以ab的最大值为.‎ 故答案为 ‎13．若圆=关于直线=对称,过点作圆的切线,则切线长的最小值是________.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】因为圆=关于直线=对称,所以圆心在直线=上,所以,即,又圆的半径为,‎ 当点(a,b)与圆心的距离最小时,切线长取得最小值,又点(a,b)与圆心的距离为=,所以切线长的最小值为=.‎ 故答案为4‎ 点睛：本题主要考查直线与圆的位置关系,考查了转化思想.利用勾股关系，切线长取得最小值时即为当点(a,b)与圆心的距离最小时.‎ ‎14．在平面直角坐标系中,已知椭圆=与不过坐标原点的直线= 相交于两点,线段的中点为,若的斜率之积为,则椭圆的离心率为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设,联立直线与椭圆方程,消去y可得=,则=所以=,由题意可得==,又a2=b2+c2,所以椭圆的离心率为.‎ 故答案为 点睛：本题主要考查椭圆的离心率、直线与圆锥曲线的位置关系、直线的斜率公式,考查了计算能力.‎ 二、解答题 ‎15．(1)求过点,斜率是直线的斜率的的直线方程;‎ ‎(2)求经过点,且在轴上的截距等于在轴上截距的2倍的直线方程.‎ ‎【答案】(1) ;(2) 所求直线方程为或.‎ ‎【解析】试题分析： (1)由已知直线求出所求直线的斜率,再利用直线方程的点斜式求解即可;(2)分两种情况讨论:当直线过原点时,设所求直线方程为, 当直线不过原点时,设所求直线方程为=,则结论易得.‎ 试题解析：‎ ‎(1)所设求直线的斜率为,依题意==‎ 直线经过点 所求直线方程为,‎ 即.‎ ‎(2) 当直线不过原点时,设所求直线方程为=‎ 将(-5,2)代入所设方程,解得,‎ 所求直线方程为,‎ 当直线过原点时,设所求直线方程为,‎ 将(-5,2)代入所设方程,解得=,‎ 所求直线方程为= ,即;‎ 综上:所求直线方程为或.‎ ‎16．如图,过底面是矩形的四棱锥FABCD的顶点F作EF∥AB,使AB＝2EF,且平面ABFE⊥平面ABCD,若点G在CD上且满足DG＝G.‎ 求证:(1)FG∥平面AED;‎ ‎(2)平面DAF⊥平面BAF.‎ ‎【答案】(1)见解析；（2）见解析.‎ ‎【解析】试题分析： (1)根据题意证明四边形DEFG为平行四边形,则FG∥ED,由线面平行判定定理，结论易证得;(2)由面面垂直的性质定理证明AD⊥平面BAF,由面面垂直的判定定理易证出结论.‎ 试题解析：‎ ‎(1)证明:(1) DG＝GC,AB＝CD＝2EF,AB∥EF∥CD,‎ EF∥DG,EF＝DG.‎ 四边形DEFG为平行四边形,‎ FG∥ED.‎ 又FG∥平面AED,ED⊂平面AED,‎ FG∥平面AED.‎ ‎(2) 平面ABFE⊥平面ABCD,平面ABFE∩平面ABCD＝AB,‎ AD⊥AB,AD⊂平面ABCD,‎ AD⊥平面BAF,‎ 又AD⊂平面DAF,‎ 平面DAF⊥平面BAF.‎ ‎17．在平面直角坐标系中,设命题:椭圆的焦点在轴上;命题:直线与圆有公共点.若命题为假命题,且命题为真命题,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】实数的取值范围是 ‎【解析】试题分析：命题为真:由题可知, ;命题为真: 与圆有公共点,则,又知命题p与q一真一假,讨论求解即可.‎ 试题解析：‎ 若命题为真:由题可知, ,‎ 解得 若命题为真: 与圆有公共点,‎ 则圆心到直线的距离: =,‎ 解得 命题为假命题,且命题为真命题,‎ 若真假,则解得 若真假,则解得 综上:实数的取值范围是 ‎18．如图,在三棱锥中,已知是正三角形, 平面为的中点, 在棱上,且.‎ ‎(1)求三棱锥的体积;‎ ‎(2)求证: 平面;‎ ‎(3)若为中点, 在棱上,且,求证: 平面.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：(1)由求解即可;(2)在底面中,取的中点,连接,由题意证明,利用面面垂直的性质定理证明平面,则可得,即可证明结论;(3) 连接, ,设,证明,则∥,即可证明结论.‎ 试题解析：‎ ‎(1)因为△是正三角形,且,‎ 所以.‎ 又⊥平面,‎ 故==S△BCD.‎ ‎(2)在底面中,取的中点,连接,‎ 因,故.‎ 因,故为的中点. 为的中点,‎ 故∥,则 故因平面平面,‎ 故平面平面.‎ ‎△是正三角形, 为的中点,‎ 故,故平面.‎ 平面,故.‎ 又,‎ 故平面.‎ ‎(3)当时,连接, .‎ 设,因为的中点, 为中点,‎ 故为△的重心, .‎ 因= = ,‎ 故,‎ 所以∥.‎ 又平面平面,‎ 所以∥平面.‎ 点睛：本题主要考查空间几何体的体积、线面与面面平行与垂直的判定与性质,考查了等积法求体积、空间想象能力与逻辑推理能力.‎ ‎19．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M: 及其上一点A（2，4）‎ ‎（1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；‎ ‎（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC=OA,求直线l的方程；‎ ‎（3）设点T（t,o）满足：存在圆M上的两点P和Q,使得,求实数t的取值范围。‎ ‎【答案】（1）（2）（3）‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据直线与x轴相切确定圆心位置，再根据两圆外切建立等量关系求半径;（2）根据垂径定理确定等量关系，求直线方程；（3）利用向量加法几何意义建立等量关系，根据圆中弦长范围建立不等式，求解即得参数取值范围.‎ 试题解析：解：圆M的标准方程为，所以圆心M（6，7），半径为5，.‎ ‎（1）由圆心N在直线x=6上，可设.因为N与x轴相切，与圆M外切，‎ 所以，于是圆N的半径为，从而，解得.‎ 因此，圆N的标准方程为.‎ ‎（2）因为直线l∥OA，所以直线l的斜率为.‎ 设直线l的方程为y=2x+m，即2x-y+m=0，‎ 则圆心M到直线l的距离 因为 而 所以，解得m=5或m=-15.‎ 故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.‎ ‎（3）设 因为，所以……①‎ 因为点Q在圆M上，所以…….②‎ 将①代入②，得.‎ 于是点既在圆M上，又在圆上，‎ 从而圆与圆没有公共点，‎ 所以解得.‎ 因此，实数t的取值范围是.‎ ‎【考点】直线方程、圆的方程、直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系、平面向量的运算 ‎【名师点睛】直线与圆中的三个定理：切线的性质定理，切线长定理，垂径定理；两个公式：点到直线距离公式及弦长公式，其核心都是转化到与圆心、半径的关系上，这是解决直线与圆的根本思路.对于多元问题，也可先确定主元，如本题以为主元，揭示在两个圆上运动，从而转化为两个圆有交点这一位置关系，这也是解决直线与圆问题的一个思路，即将问题转化为直线与圆、圆与圆的位置关系问题.‎ 视频 ‎20．如图,在平面直角坐标系中,已知椭圆的离心率,左顶点为,过点作斜率为的直线交椭圆于点,交轴于点. ‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)已知为的中点,是否存在定点,对于任意的都有,若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由;‎ ‎(3)若过点作直线的平行线交椭圆于点,求的最小值.‎ ‎【答案】（1）椭圆的标准方程为；（2）定点的坐标为.（3）当时, 的最小值为.‎ ‎【解析】试题分析：(1)由椭圆的离心率,左顶点为易得结论;(2)直线的方程为,联立椭圆方程消去y,由根与系数的关系,求出点P坐标,根据题意,则结论易得;(3)设的方程可设为,联立椭圆方程,求出点M坐标, =,结合基本不等式求解即可.‎ 试题解析：‎ ‎(1) 椭圆的离心率,左顶点为 ‎,‎ ‎==‎ 椭圆的标准方程为.‎ ‎(2)直线的方程为,‎ 由消元得=‎ ‎==‎ 当时, = =‎ ‎,‎ 点为的中点,‎ 的坐标为 则=‎ 直线的方程为,‎ 令,得点坐标为 假设存在定点使得,‎ 则,即=恒成立,‎ 恒成立,‎ ‎,即,‎ 定点的坐标为 ‎(3) ,‎ 的方程可设为.‎ 由,得点的横坐标为=‎ 由,‎ 得====,‎ 当且仅当=即时取“=”,‎ 当时, 的最小值为.‎ 点睛：本题主要考查椭圆的方程与性质、两条直线的位置关系、直线与圆锥曲线的位置关系,考查了方程思想与计算能力.‎