四川省棠湖中学2020届高三下学期第三学月考试数学（理）试题

四川省棠湖中学2020届高三下学期第三学月考试数学（理）试题

‎2020年春四川省棠湖中学高三第三学月考试 理科数学 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第I卷 选择题（60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．已知集合，集合，则等于 ‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎2．复数（为虚数单位），则等于 ‎ A．3 B． C．2 D．‎ ‎3．函数的图象大致为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎4．已知，则“m⊥n”是“m⊥l”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5．设，，则的值为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎6．在平行四边形中，若则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知函数为奇函数，且，则 ‎ A．2 B．‎5 ‎C．1 D．3‎ ‎8．的展开式中的常数项为 ‎ A．－60 B．‎240 ‎C．－80 D．180‎ ‎9．已知函数满足：当时，，且对任意，都有，则 ‎ A．0 B．‎1 ‎C．-1 D．‎ ‎10．已知四棱锥中，平面，底面是边长为2的正方形，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知函数在上单调递增，则的取值范围 ‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知双曲线，点是直线上任意一点，若圆与双曲线的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围是 ‎ A． B． C． D．‎ 第II卷 非选择题（90分）‎ 二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．若实数x，y满足约束条件，则的最大值为________.‎ ‎14．记等差数列和的前项和分别为和，若，则______.‎ ‎15．函数的值域为_________．‎ ‎16．等腰直角三角形内有一点P，，，，，则面积为______.‎ 三．解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17．（12分）在中，角的对边分别为，且．‎ ‎（I）求角的大小；‎ ‎（II）若函数图象的一条对称轴方程为且，求的值．‎ ‎18．（12分）在多面体中，四边形是正方形，平面，，，为的中点.‎ ‎（I）求证：；‎ ‎（II）求平面与平面所成角的正弦值.‎ ‎19．（12分）阿尔法狗(AlphaGo)是第一个击败人类职业围棋选手、第一个战胜围棋世界冠军的人工智能程序,由谷歌(Google)公司的团队开发.其主要工作原理是“深度学习”.2017 年5 月,在中国乌镇围棋峰会上,它与排名世界第一的世界围棋冠军柯洁对战,以3 比0 的总比分获胜.围棋界公认阿尔法围棋的棋力已经超过人类职业围棋顶尖水平.‎ 为了激发广大中学生对人工智能的兴趣,某市教育局组织了一次全市中学生“人工智能”软件设计竞赛,从参加比赛的学生中随机抽取了30 名学生,并把他们的比赛成绩按五个等级进行了统计,得到如下数据表:‎ 成绩等级 成绩(分)‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ 人数（名）‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎10‎ ‎7‎ ‎3‎ ‎(I)根据上面的统计数据,试估计从本市参加比赛的学生中任意抽取一人,其成绩等级为“ 或”的 概率;‎ ‎(II)根据(I)的结论,若从该地区参加比赛的学生(参赛人数很多)中任选3 人,记表示抽到成绩等级为“或”的学生人数,求 的分布列及其数学期望；‎ ‎(III)从这30 名学生中,随机选取2 人,求“这两个人的成绩之差大于1分”的概率.‎ ‎20．（12分）设函数.‎ ‎（I）若关于的方程在区间上有解，求的取值范围；‎ ‎（II）当时，恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎21．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，是椭圆上一动点（与左、右顶点不重合）已知的内切圆半径的最大值为，椭圆的离心率为.‎ ‎（I）求椭圆C的方程；‎ ‎（II）过的直线交椭圆于两点，过作轴的垂线交椭圆与另一点（不与重合）.设的外心为，求证为定值.‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.‎ ‎（I）求和的直角坐标方程；‎ ‎（II）设为曲线上的动点，求点到直线的距离的最小值.‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ 已知函数，其中.‎ ‎（I）若，求实数的取值范围；‎ ‎（II）记中的的最大值为，若正实数满足，求的最小值.‎ ‎2020年春四川省棠湖中学高三第三学月考试 理科数学参考答案 ‎1．B 2．D 3．A 4．B 5．D 6．C 7．B 8．D 9．C 10．B 11．B 12．D ‎13．3 14． 15． 16．‎ ‎17．（1）由题意，根据正弦定理，可得，‎ 又由，所以 ，‎ 可得，即，‎ 又因为，则，可得，∵，∴．‎ ‎（2）由（1）可得 ‎，所以函数的图象的一条对称轴方程为，‎ ‎∴，得，即，‎ ‎∴，‎ 又，∴，‎ ‎∴．‎ ‎18．（1）∵平面，平面，∴.‎ 又∵四边形是正方形，∴.‎ ‎∵，∴平面.∵平面，∴.‎ 又∵，为的中点，∴.‎ ‎∵，∴平面.∵平面，∴.‎ ‎（2）∵平面，，∴平面.‎ 以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.‎ 如图所示：则，，，.‎ ‎∴，，.‎ 设为平面的法向量，则，得，‎ 令，则.，由题意知为平面的一个法向量，‎ ‎∴，‎ ‎∴平面与平面所成角的正弦值为.‎ ‎19．(1)根据统计数据可知，从本地区参加比赛的30名中学生中任意抽取一人，其成绩等级为“或”的概率为：，即从本地区参加比赛的学生中任意抽取一人，其成绩等级为“或”的概率为：.‎ ‎(2)由题意知随机变量可取，则.‎ ‎,所以的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 则,所求期望值为1‎ ‎(3)设事件:从这30 名学生中,随机选取2人,这两个人的成绩之差大于1分.‎ 设从这30 名学生中，随机选取2人,记两个人的成绩分别为,‎ 则基本事件的总数为,不妨设,‎ 当时，,基本事件的个数为；‎ 当时，，基本事件的个数为；‎ 当 时,,基本事件的个数为；‎ ‎20．解：（1）方程，即为令，‎ 则在恒成立，故在上单调递减.‎ ‎，当时，的取值范围是 ‎（2）依题意，当时，恒成立.‎ 令，‎ 则 令，则当时，，函数在上单调递增，‎ ‎，，存在唯一的零点，‎ 且当时，，当时，，‎ 则当时，，当时，，‎ 在上单调递减，在上单调递增，从而.‎ 由得，两边取对数得，‎ ‎，，，即实数的取值范围是 ‎21．（1）由题意知：，∴，∴.设的内切圆半径为，‎ 则，‎ 故当面积最大时，最大，即点位于椭圆短轴顶点时，‎ 所以，把代入，解得：，所以椭圆方程为.‎ ‎（2）由题意知，直线的斜率存在，且不为0，设直线为，‎ 代入椭圆方程得.‎ 设，则，‎ 所以的中点坐标为，‎ 所以.‎ 因为是的外心，所以是线段的垂直平分线与线段的垂直平分线的交点，的垂直平分线方程为，‎ 令，得，即，所以 所以，所以为定值，定值为4.‎ ‎22．（1）的直角坐标方程为：，‎ 将代入的极坐标方程得的直角坐标方程为：.‎ ‎（2）设，则点到直线的距离，‎ 当时，距离最小，最小值为.‎ ‎23．解：（1）由条件知，则函数图象如下所示：‎ 又，或或解得 ‎（2）由（1）知，，‎ 于是 ‎，‎ 当且仅当时取等号，‎ 故的最小值为.‎