高中数学选修2-2教学课件第四章 1_2

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第四章　定积分 § 1 　 定积分的概念 1.2 　定积分 明目标 知重点 填 要点 记疑点 探 要点 究所然 内容 索引 01 02 03 当堂测 查疑缺 04 1. 了解定积分的概念，会用定义求定积分 . 2. 理解定积分的几何意义 . 3. 掌握定积分的基本性质 . 明目标、知重点 填要点 · 记疑点 1. 定积分的定义 一般地，给定一个在区间 [ a ， b ] 上的函数 y ＝ f ( x ) ，将 [ a ， b ] 区间分成 n 份 . 分点为 a ＝ x 0 < x 1 < x 2 < … < x n － 1 < x n ＝ b . 第 i 个小区间 [ x i － 1 ， x i ] ，设其长度为 Δ x i ，在这个小区间上取一点 ξ i ，使 f ( ξ i ) 在区间 [ x i － 1 ， x i ] 上的值最大，设 S ＝ f ( ξ 1 )Δ x 1 ＋ f ( ξ 2 )Δ x 2 ＋ … ＋ f ( ξ i )Δ x i ＋ … ＋ f ( ξ n )Δ x n . 在这个小区间上取一点 ζ i ，使 f ( ζ i ) 在区间 [ x i － 1 ， x i ] 上的值最小，设 s ＝ f ( ζ 1 )Δ x 1 ＋ f ( ζ 2 )Δ x 2 ＋ … ＋ f ( ζ i )Δ x i ＋ … ＋ f ( ζ n )Δ x n . 如果每次分割后，最大的小区间的长度趋于 0 ， S 与 s 的差也趋于 0 ，此时， S 与 s 同时趋于某一 个 _________ __ ， 我们就 称 是 函数 y ＝ f ( x ) 在区间 [ a ， b ] 上 的 ， 记 作 ，即 . 其中 ʃ 叫作 ， a 叫作积分 的 ， b 叫作积分 的 ， f ( x ) 叫作 . 固定的 常数 A 定积分 积分号 下限 上限 被积函数 A 2. 定积分的几何意义 如果在区间 [ a ， b ] 上函数 f ( x ) 连续且恒 有 ， 那么定积分 ʃ f ( x )d x 表示由直线 x ＝ a ， x ＝ b ( a ≠ b ) ， x 轴和 曲线 y ＝ f ( x ) 所围成的曲边梯形 的 . f ( x ) ≥ 0 面积 3. 定积分的性质 ( 1) ʃ 1d x ＝ ； ( 2) ʃ kf ( x )d x ＝ ( k 为常数 ) ； ( 3) ʃ [ f ( x )± g ( x )] d x ＝ ± ； ( 4) ʃ f ( x )d x ＝ ＋ ( 其中 a < c < b ). b － a 探要点 · 究 所然 探究点一　定积分的概念 思考 1 　定积分和曲边梯形的面积有什么联系？ 答　 函数 f ( x ) 的图像和直线 x ＝ a ， x ＝ b 以及 x 轴围成的曲边梯形的面积可以通过分割区间、近似替代、求和、逼近得到，当分割成的小区间长度趋于零时，曲边梯形的面积趋于某一个固定的常数 A ， A 就是 f ( x ) 在 [ a ， b ] 上的定积分 . 思考 2 　怎样正确认识定积分 ʃ f ( x )d x ？并根据定义归纳求定积分的一般步骤 . 答　 (1) 定积分 ʃ f ( x )d x 是一个常数 . (2) 定积分的值只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关，即 ʃ f ( x )d x ＝ ʃ f ( t )d t ＝ ʃ f ( u )d u . (3) 用定义求定积分的一般步骤： ① 分割： n 等分区间 [ a ， b ]. ② 取点：取 [ x i － 1 ， x i ] 上的最大值点 ξ i ，最小值点 ζ i . ③ 求和： S ＝ f ( ξ 1 )Δ x 1 ＋ f ( ξ 2 )Δ x 2 ＋ … ＋ f ( ξ n )Δ x n ， s ＝ f ( ζ 1 )Δ x 1 ＋ f ( ζ 2 )Δ x 2 ＋ … ＋ f ( ζ n )Δ x n ， ④ 作差 S － s . ⑤ 当区间长度 d → 0 时， S － s → 0 ，且 S → A ， s → A ， 则 A ＝ ʃ f ( x )d x . 探究点二　定积分的几何意义 思考 1 　 从几何上看，如果在区间 [ a ， b ] 上函数 f ( x ) 连续且恒有 f ( x ) ≥ 0 ，那么 ʃ f ( x )d x 表示什么？ 答　 当函数 f ( x ) ≥ 0 时，定积分 ʃ f ( x )d x 在几何上表示由直线 x ＝ a ， x ＝ b ( a < b ) ， y ＝ 0 及曲线 y ＝ f ( x ) 所围成的曲边梯形 的 面积 . 思考 2 　当 f ( x ) 在区间 [ a ， b ] 上连续且恒有 f ( x ) ≤ 0 时， ʃ f ( x )d x 表示的含义是什么？若 f ( x ) 有正有负呢？ 答　 如果在区间 [ a ， b ] 上，函数 f ( x ) ≤ 0 时，那么曲边梯形位于 x 轴的下方 ( 如图 ① ). 这时它等于如图 ① 所示曲边梯形面积的相反值，即 ʃ f ( x )d x ＝－ S . 当 f ( x ) 在区间 [ a ， b ] 上有正有负时，定积分 ʃ f ( x )d x 表示介于 x 轴、函数 f ( x ) 的图像及直线 x ＝ a ， x ＝ b ( a ≠ b ) 之间各部分面积的代数和 ( 在 x 轴 上方 的取正，在 x 轴下方的取负 ).( 如图 ② ) ， 例 1 　 用定积分的几何意义求： 解　 如图 2 ，由于 A 的面积等于 B 的面积， 解　 令 f ( x ) ＝ | x ＋ 1| ＋ | x － 1| － 4 ，作出 f ( x ) 在区间 [ － 3,3] 上的图像，如图 3 所示， ∵ 阴影部分的面积 S 1 ＝ S 3 ＝ 1 ， S 2 ＝ 6 ， 反思与感悟　 利用几何意义求定积分，关键是准确确定被积函数的图像，以及积分区间，正确利用相关的几何知识求面积 . 不规则的图像常用分割法求面积，注意分割点的准确确定 . 跟踪训练 1 　根据定积分的几何意义求下列定积分的值： ( 1) ʃ x d x ； ( A 1 ， A 2 ， A 3 分别表示图中相应各处面积 ) ( 2) ʃ cos x d x ； ( A 1 ， A 2 ， A 3 分别表示图中相应各处面积 ) ( 3) ʃ | x |d x . 解　 如图 (3) ， ∵ A 1 ＝ A 2 ， ( A 1 ， A 2 ， A 3 分别表示图中相应各处面积 ) 探究点三　定积分的性质 思考 1 　定积分的性质可做哪些推广？ 答　 定积分的性质的推广 ② 思考 2 　如果一个函数具有奇偶性，它的定积分有什么性质？ 答　 奇、偶函数在区间 [ － a ， a ] 上的定积分 ① 若奇函数 y ＝ f ( x ) 的图像在 [ － a ， a ] 上连续不断，则 ʃ f ( x )d x ＝ 0. ② 若偶函数 y ＝ g ( x ) 的图像在 [ － a ， a ] 上连续不断， 则 ʃ g ( x )d x ＝ 2 ʃ g ( x )d x . 解　 如图， 反思与感悟　 根据定积分的性质计算定积分，可以先借助于定积分的定义或几何意义求出相关函数的定积分，再利用函数的性质、定积分的性质结合图形进行计算 . 当堂测 · 查 疑缺 1 2 3 1. 定积分 ʃ f ( x )d x 的大小 ( 　　 ) A. 与 f ( x ) 和积分区间 [ a ， b ] 有关，与 ξ i 的取法无关 B. 与 f ( x ) 有关，与区间 [ a ， b ] 以及 ξ i 的取法无关 C. 与 f ( x ) 以及 ξ i 的取法有关，与区间 [ a ， b ] 无关 D. 与 f ( x ) 、积分区间 [ a ， b ] 和 ξ i 的取法都有关 4 A 2. 定积分 ʃ e x d x 的几何意义是 _______________________ _ __ _______________________________. 1 2 3 4 由直线 x ＝ 1 ， x ＝ 3 ， y ＝ 0 和曲线 f ( x ) ＝ e x 围成的图形的面积 1 2 3 3. 根据定积分的几何意义，用不等号连接下列式子： 4 > < 1 2 3 4 呈 重点、现 规律 1. 定积分 ʃ f ( x )d x 是一个确定的常数，和积分变量无关 . 2. 当 f ( x ) ≥ 0 时 ʃ f ( x )d x 表示由曲线 y ＝ f ( x ) 、直线 x ＝ a 、 x ＝ b 与 x 轴围成的曲边梯形的面积，可以利用定积分的这种几何意义求定积分 . 3. 定积分的性质可以帮助简化定积分运算 . 更多精彩内容请 登录 http ://www.91taoke.com 谢谢观看