2019届二轮复习（理）专题42两条直线的位置关系学案（全国通用）

2019届二轮复习（理）专题42两条直线的位置关系学案（全国通用）

‎1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；‎ ‎2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；‎ ‎3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.‎ ‎ ‎ ‎1．两条直线平行与垂直的判定 ‎(1)两条直线平行 对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2．特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2平行．‎ ‎(2)两条直线垂直 如果两条直线l1，l2斜率都存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直．‎ ‎2．两直线相交 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组的解一一对应． ‎ 相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；‎ 平行⇔方程组无解；学 ]‎ 重合⇔方程组有无数个解．‎ ‎3．距离公式 ‎(1)两点间的距离公式 平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝．‎ 特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝．‎ ‎(2)点到直线的距离公式 平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝．‎ ‎(3)两条平行线间的距离公式 一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝．‎ 高频考点一　两条直线的平行与垂直 例1、(1)已知两条直线l1：(a－1)·x＋2y＋1＝0，l2：x＋ay＋3＝0平行，则a等于(　　)‎ A．－1 B．2‎ C．0或－2 D．－1或2‎ ‎(2)已知两直线方程分别为l1：x＋y＝1，l2：ax＋2y＝0，若l1⊥l2，则a＝ .‎ 答案　(1)D　(2)－2‎ 方法二　∵l1⊥l2，‎ ‎∴a＋2＝0，a＝－2.‎ ‎【感悟提升】(1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x、y的系数不能同时为零这一隐含条件．‎ ‎(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．‎ ‎【变式探究】已知两直线l1：x＋ysin α－1＝0和l2：2x·sin α＋y＋1＝0，求α的值，使得：‎ ‎(1)l1∥l2；‎ ‎(2)l1⊥l2.‎ 解　(1)方法一　当sin α＝0时，直线l1的斜率不存在，l2的斜率为0，显然l1不平行于l2.‎ 当sin α≠0时，k1＝－，k2＝－2sin α.‎ 要使l1∥l2，需－＝－2sin α，即sin α＝±.‎ 所以α＝kπ±， k∈ ，此时两直线的斜率相等．‎ 故当α＝kπ±，k∈ 时，l1∥l2.‎ 方法二　由A1B2－A2B1＝0，得2sin2α－1＝0，‎ 所以sin α＝±.所以α＝kπ±，k∈ .‎ 又B1C2－B2C1≠0，所以1＋sin α≠0，即sin α≠－1.‎ 故当α＝kπ±，k∈ 时，l1∥l2.‎ ‎(2)因为 A1A2＋B1B2＝0是l1⊥l2的充要条件，‎ 所以2sin α＋sin α＝0，即sin α＝0，所以α＝kπ，k∈ .‎ 故当α＝kπ，k∈ 时，l1⊥l2. ‎ ‎【举一反三】(1)若直线l1：(a－1)x＋y－1＝0和直线l2：3x＋ay＋2＝0垂直，则实数a的值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎(2)已知a，b为正数，且直线ax＋by－6＝0与直线2x＋(b－3)y＋5＝0平行，则2a＋3b的最小值为 .‎ 答案　(1)D　(2)25‎ 高频考点二　两条直线的交点与距离问题 例2、(1)已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－x＋2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是 ．‎ ‎(2)直线l过点P(－1,2)且到点A(2,3)和点B(－4,5)的距离相等，则直线l的方程为 ． ]‎ 答案　(1)　(2)x＋3y－5＝0或x＝－1 学+ + ]‎ 解析　(1)方法一　由方程组 解得 ‎(若2k＋1＝0，即k＝－，则两直线平行)‎ ‎∴交点坐标为.‎ 又∵交点位于第一象限，‎ ‎∴ 解得－＜k＜.‎ 方法二　如图，已知直线 ‎(2)方法一　当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为 y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.‎ 由题意知＝，‎ 即|3k－1|＝|－3k－3|，‎ ‎∴k＝－.‎ ‎∴直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，‎ 即x＋3y－5＝0.‎ 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，也符合题意．‎ 方法二　当AB∥l时，有k＝kAB＝－，‎ 直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，‎ 即x＋3y－5＝0.‎ 当l过AB中点时，AB的中点为(－1,4)．‎ ‎∴直线l的方程为x＝－1.‎ 故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1. ‎ ‎【感悟提升】(1)求过两直线交点的直线方程的方法 求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．‎ ‎(2)利用距离公式应注意：①点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等．‎ ‎【变式探究】(1)如图，设一直线过点(－1,1)，它被两平行直线l1：x＋2y－1＝0，l2：x＋2y－3＝0所截的线段的中点在直线l3：x－y－1＝0上，求其方程．‎ ‎ ‎ ‎(2)正方形的中心为点C(－1,0)，一条边所在的直线方程是x＋3y－5＝0，求其他三边所在直线的方程．‎ 解　点C到直线x＋3y－5＝0的距离 d＝＝.‎ 设与x＋3y－5＝0平行的一边所在直线的方程是x＋3y＋m＝0(m≠－5)，‎ 则点C到直线x＋3y＋m＝0的距离 d＝＝，‎ 解得m＝－5(舍去)或m＝7，‎ 所以与x＋3y－5＝0平行的边所在直线的方程是x＋3y＋7＝0.‎ 设与x＋3y－5＝0垂直的边所在直线的方程是3x－y＋n＝0，‎ 则点C到直线3x－y＋n＝0的距离 d＝＝，‎ 解得n＝－3或n＝9，‎ 所以与x＋3y－5＝0垂直的两边所在直线的方程分别是3x－y－3＝0和3x－y＋9＝0.‎ ‎【举一反三】 (1)曲线y＝2x－x3在横坐标为－1的点处的切线为l，则点P(3，2)到直线l的距离为(　　)‎ A. B. C. D. ‎(2)若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2间的距离为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　(1)A　(2)B 高频考点三　对称问题 例3、已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2).求：‎ ‎(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；‎ ‎(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；‎ ‎(3)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程.‎ 解　(1)设A′(x，y)，再由已知 解得∴A′.‎ ‎ ‎ ‎(3)法一　在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，‎ 如M(1，1)，N(4，3)，‎ 则M，N关于点A的对称点M′，N′均在直线l′上.‎ 易知M′(－3，－5)，N′(－6，－7)，由两点式可得l′的方程为2x－3y－9＝0.‎ 法二　设P(x，y)为l′上任意一点，‎ 则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为 P′(－2－x，－4－y)，‎ ‎∵P′在直线l上，‎ ‎∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，‎ 即2x－3y－9＝0. ‎ ‎【方法规律】(1)解决点关于直线对称问题要把握两点，点M与点N关于直线l对称，则线段MN的中点在直线l上，直线l与直线MN垂直.‎ ‎(2)如果直线或点关于点成中心对称问题，则只需运用中点公式就可解决问题.‎ ‎(3)若直线l1，l2关于直线l对称，则有如下性质：①若直线l1与l2相交，则交点在直线l上；②若点B在直线l1上，则其关于直线l的对称点B′在直线l2上.‎ ‎【变式探究】 光线沿直线l1：x－2y＋5＝0射入，遇直线l：3x－2y＋7＝0后反射，求反射光线所在的直线方程.‎ 解　法一　由 得∴反射点M的坐标为(－1，2).‎ 又取直线x－2y＋5＝0上一点P(－5，0)，设P关于直线l的对称点P′(x0，y0)，‎ 由PP′⊥l可知，kPP′＝－＝.‎ 而PP′的中点Q的坐标为，又Q点在l上，‎ ‎∴3·－2·＋7＝0.‎ 由得 根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x－2y＋33＝0.‎ 高频考点四　直线关于直线的对称问题 例4、　已知直线l：2x－3y＋1＝0，求直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程．‎ 解　在直线m上任取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．‎ 设对称点M′(a，b)，则 ‎∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0. ‎ ‎【感悟提升】解决对称问题的方法 ‎(1)中心对称 ‎①点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足 ‎②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．‎ ‎(2)轴对称 ‎①点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)，则有 ‎②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．‎ ‎【变式探究】在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA发射后又回到原点P(如图)．若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于(　　) | |k ]‎ A．2 B．1‎ C. D. 答案　D 解析　建立如图所示的坐标系：‎ 由光的反射原理可知P1，Q，R，P2四点共线，‎ 直线QR的斜率为k＝＝，‎ 故直线QR的方程为y＝(x＋a)，‎ 由于直线QR过△ABC的重心(，)，代入化简可得3a2－4a＝0，‎ 解得a＝，或a＝0(舍去)，故P，故AP＝.‎ ‎1.【2016高考新课标2理数】圆的圆心到直线的距离为1，则a=（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）2‎ ‎【答案】A ‎【解析】圆的方程可化为，所以圆心坐标为，由点到直线的距离公式得：‎ ‎，解得，故选A．‎ ‎1.【2015高考山东，理9】一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）‎ ‎（A）或 （B） 或 （C）或 （D）或 ‎【答案】D ‎2.【2015高考湖北，理14】如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点（在的上方）， 且．‎ ‎（Ⅰ）圆的标准方程为 ；‎ ‎（Ⅱ）过点任作一条直线与圆相交于两点，下列三个结论：‎ ‎①； ②； ③．‎ 其中正确结论的序号是 . （写出所有正确结论的序号）‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）①②③ ‎ ‎【解析】（Ⅰ）依题意，设（为圆的半径），因为，所以 ‎，所以圆心，故圆的标准方程为. ‎ ‎ 1．（2014·全国卷）已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝|PQ|.‎ ‎(1)求C的方程； | |X|X|K]‎ ‎(2)过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程．‎ ‎【解析】解：(1)设Q(x0，4)，代入y2＝2px，得x0＝，‎ 所以|PQ|＝，|QF|＝＋x0＝＋.‎ 由题设得＋＝×，解得p＝－2(舍去)或p＝2，‎ 所以C的方程为y2＝4x.‎ 设M(x3，y3)，N(x4，y4)，‎ 则y3＋y4＝－，y3y4＝－4(‎2m2‎＋3)．‎ 故线段MN的中点为E，‎ ‎|MN|＝|y3－y4|＝.‎ 由于线段MN垂直平分线段AB，故A，M，B，N四点在同一圆上等价于|AE|＝|BE|＝|MN|，‎ 从而|AB|2＋|DE|2＝|MN|2，即 ‎4(m2＋1)2＋＋＝‎ ，‎ 化简得m2－1＝0，解得m＝1或m＝－1，‎ 故所求直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.‎ ‎2．（2013·湖南卷）在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图1－1所示)，若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于(　　)‎ 图1－1‎ A．2 B．1‎ C. D. ‎【答案】D　‎ ‎【解析】不妨设AP＝m(0≤m≤4)，建立坐标系，设AB为x轴，AC为y轴，则A(0，0)，B(4，0)，C(0，4)，Q(xQ，yQ)，R(0，yR)，P(m，0)，可知△ABC的重心为G，根据反射性质，可知P关于y轴的对称点P1(－m，0)在直线QR上，P关于x＋y＝4的对称点P2(4，4－m)在直线RQ上，则QR的方程为＝，将G代入可得‎3m2‎－‎4m＝0，即m＝或m＝0(舍)，选D. 学 . ‎ ‎3．（2013·新课标全国卷Ⅱ）已知点A(－1，0)，B(1，0)，C(0，1)，直线y＝ax＋b(a＞0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是(　　)‎ A．(0，1) B. C. D. ‎【答案】B　‎ 方法二：(直接法) y＝ ，y＝ax＋b与x 轴交于，结合图形与a>0 ，××＝(a＋b)2＝a(a＋1)>0a＝.‎ ‎∵a>0，∴>0b<，当a＝0时，极限位置易得b＝1－，故答案为B.‎ ‎4．（2013·重庆卷）已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为(　　)‎ A．5 －4 B. －1‎ C．6－2 D. ‎【答案】A　‎ ‎【解析】如图，作圆C1关于x轴的对称圆C′1：(x－2)2＋(y＋3)2＝1，则|PM|＋|PN|＝|PN|＋|PM′|.由图可知当C2，N，P，M′，C′1在同一直线上时，|PM|＋|PN|＝|PN|＋|PM′|取得最小值，即为|C′‎1C2|－1－3＝5 －4，故选A. ‎ 图1－3‎