2017-2018学年河北省张家口市高二上学期期末考试数学（文）试题 解析版

2017-2018学年河北省张家口市高二上学期期末考试数学（文）试题 解析版

张家口市2017-2018学年高二上学期期末教学质量检测 高二数学（文科）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 光明中学有老教师25人，中年教师35人，青年教师45人，用分层抽样的方法抽取21人进行身体状况问卷调查，则抽到的中年教师人数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意可得在每层中的抽取比例为，‎ 所以抽到的中年教师的人数为人。选C。‎ ‎2. 命题“若，则或”的逆否命题是（ ）‎ A. 若，则且 B. 若，则或 C. 若或，则 D. 若且，则 ‎【答案】D ‎【解析】由题意得逆否命题为“若且，则”。选D。‎ ‎3. 若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴。选B。‎ ‎4. 已知命题，则为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由含量词的命题的否定可得为：。选D。‎ ‎5. 双曲线 的渐近线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】令，解得。选B。‎ ‎6. 在某次考试中，从甲乙两班各抽取10名学生的数学成绩进行分析，两班成绩如右边茎叶图所示，设甲乙两组数据的平均数分别为，中位数分别为，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由茎叶图中的数据可得 ‎，‎ ‎。‎ ‎。‎ ‎∴。选A。‎ ‎7. 已知命题是成立的必要而不充分条件，，则下列命题为真命题的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】对于命题，由解得；由得，解得 ‎。所以是成立的必要而不充分条件，故命题为真命题。‎ 对于命题，由可得命题为假命题。‎ 故命题为真命题。选D。‎ ‎8. 若抛物线上一点到直线的距离是，则点到抛物线的焦点的距离是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由条件得抛物线的准线方程为，‎ ‎∵点直线的距离是， ‎ ‎∴点到准线的距离为，‎ ‎∴点到抛物线的焦点的距离为。选C。‎ ‎9. 已知定义在上的偶函数在上单调递增，若，则不等式成立的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵函数为偶函数，‎ ‎∴不等式等价于。‎ ‎∵在上单调递增，‎ ‎∴，‎ 解得。‎ 又，‎ ‎∴由几何概型概率公式可得所求概率为。选A。 ‎ ‎10. 执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】依次运行程序框图中的程序：‎ ‎①，不满足条件，继续运行；‎ ‎②，不满足条件，继续运行；‎ ‎③，不满足条件，继续运行；‎ ‎④，不满足条件，继续运行；‎ ‎⑤，不满足条件，继续运行；‎ ‎⑥，不满足条件，继续运行；‎ ‎⑦，不满足条件，继续运行；‎ ‎⑧，满足条件，停止运行。输出8。选C。‎ ‎11. 已知双曲线，过左焦点作垂直于轴的直线交双曲线于两点，双曲线的右顶点为，且，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由条件得点。‎ 在方程中，令，得，解得，故点的坐标分别为 ‎，‎ ‎∴。‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ 又，‎ ‎∴，即 整理得，‎ ‎∴，解得或（舍去）。‎ ‎∴双曲线的离心率为。选A。‎ 点睛：求双曲线的离心率时，可将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，利用和转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．解题时要注意一些特殊几何图形的利用，如等边三角形、等腰直角三角形、正方形等，要善于将这些图形中的几何关系用数量关系表示出来。‎ ‎12. 设，若函数在上有三个零点（是自然对数的底数），则实数的取值范围是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】函数在上有三个零点，即为函数的图象和直线在上有三个公共点。‎ 在同一坐标系内画出函数的图象和直线（如图所示），‎ 结合图象可得当时不合题意；‎ 当时，如图，若直线经过点，则有，解得。‎ 设直线与曲线且于点，则有，解得。‎ 由图象可得当函数的图象和直线在上有三个公共点时需满足。选A。‎ 点睛：解答本题时将函数零点问题转化为函数图象公共点个数的问题，利用数形结合的方法，可使得问题的解决变得直观形象。解题的关键是准确画出函数的图象，并结合图象的关系、特殊点的位置，将两图象的公共点的个数问题用不等式（组）表示出来，解题时往往要变化其中一个图象来确定临界点的位置。‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的纵坐标为__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】∵，‎ ‎∴，‎ 设切点的坐标为，则， ‎ 由条件可得，解得，‎ ‎∴切点的纵坐标为。‎ 答案：‎ ‎14. 设为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，若线段的中点在轴上，‎ 则__________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】由条件得，‎ 设的中点为，由题意得，因此轴。‎ 在方程中，令，可得，‎ ‎∴，‎ ‎∴。‎ 答案：3‎ ‎15. 微信支付诞生于微信红包，早期知识作为社交的一部分“发红包”而诞生的，在发红包之余才发现，原来微信支付不仅可以用来发红包，还可以用来支付，现在微信支付被越来越多的人们所接受，现从某市市民中随机抽取300为对是否使用微信支付进行调查，得到下列的列联表：‎ 年轻人 非年轻人 总计 经常使用微信支付 ‎165‎ ‎225‎ 不常使用微信支付 合计 ‎90‎ ‎300‎ ‎ 根据表中数据，我们得到的统计学的结论是：由__________的把握认为“使用微信支付与年龄有关”。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 其中 ‎【答案】95%‎ ‎【解析】由条件可得的列联表为：‎ 年轻人 非年轻人 总计 经常使用微信支付 ‎165‎ ‎60‎ ‎225‎ 不常使用微信支付 ‎45‎ ‎30‎ ‎75‎ 合计 ‎210‎ ‎90‎ ‎300‎ ‎∴，‎ ‎ ∴有95%的把握认为“使用微信支付与年龄有关”。‎ 答案：95%‎ ‎16. 已知函数，若任意的，总存在，使得恒成立，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴当时，单调递减；‎ 当时，单调递增。‎ ‎∴当时，取得极小值，也为最小值，且。‎ 由题意得对任意的，恒成立，‎ 即对任意的，恒成立。‎ 设，，‎ 则对恒成立，‎ ‎∴，解得或。‎ 故实数的取值范围是。‎ 答案：‎ 点睛：（1）解答本题时要将恒成立问题、能成立问题转化为函数的最值问题处理，但要分清楚是最大值还是最小值。‎ ‎（2）本题中的字母较多，解答时要分清谁是变量、谁是参数，一般情况下，已知谁的范围谁就是变量，求谁的范围谁就是参数。解题的原则是逐步地消去变量，以达到求出参数的目的，这是解题中必须要注意的问题。‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 某理科教师为了了解学生的物理成绩与数学成绩之间的关系，随机抽取5位同学，这5位同学的数学、物理成绩对应如下表：‎ 学生编号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 数学分数 ‎60‎ ‎70‎ ‎80‎ ‎90‎ ‎100‎ 物理分数 ‎55‎ ‎63‎ ‎67‎ ‎75‎ ‎80‎ ‎（1）求关于的线性回归方程；‎ ‎（2）用所求回归方程预测数学成绩为75分的学生的物理分数。‎ 参考公式：，其中 ‎【答案】(1) (2)64.9分 ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）由题意求得后可得回归直线方程。（2）在（1）中求出的回归直线方程中，令，求得的值即为估计值。‎ 试题解析：‎ ‎（1）由题意可得 ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 所以所求的线性回归方程为。‎ ‎（2）由（1）可得当时，分。‎ ‎∴可以预测数学成绩为75分的学生的物理分数为分。‎ ‎18. 已知抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线交于两点，且，‎ 求弦长。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：‎ 根据焦点坐标可设直线的方程为，将其代入抛物线方程消元后得到，根据此方程根与系数的关系得，利用可求得，最后根据抛物线的定义可求得弦长。‎ 试题解析：‎ 由题意得焦点，‎ 设直线的方程为，‎ 由 消去x整理得，‎ 因为直线与抛物线交于两点，‎ 所以。‎ 设 ，‎ 则。①‎ 由可得,‎ 所以，②‎ 由①②消去可得，‎ 所以。‎ 即弦长为。‎ ‎19. 已知函数 。‎ ‎（1）当时，求函数在上的最大值；‎ ‎（2）若函数在处有极小值，求实数的值。‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）当时可得，进而可得函数在区间上的单调性，求得函数的极大值和端点值后比较可得函数的最大值。（2）根据可得或，然后分别代入解析式验证函数是否在处有极小值，最后可得结论。‎ 试题解析：‎ ‎（1）当时，，‎ 所以，‎ 令，解得或。‎ 当变化时，、的变化情况如下表：‎ 由表知当时，有极大值，且极大值为；‎ 又，‎ 所以。‎ 即函数在上的最大值为。‎ ‎（2）因为，‎ 所以，‎ 因为在处有极小值，‎ 所以，即，‎ 解得或，‎ ‎①当时，，‎ 故当时，单调递增；‎ 当时，单调递减；‎ 时，单调递增。‎ 所以函数在处有极小值，符合题意，‎ 故，‎ ‎②当时，，‎ 故当时，单调递增；‎ 当时，单调递减；‎ 时，单调递增，‎ 所以函数在处有极大值，不符合题意，‎ 故不成立，舍去。‎ 综上。‎ ‎20. 某市为了创建全国文明城市，面向社会招募志愿者，现从20岁至50岁的志愿者中按年龄分组：第1组，第2组：，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示，若用分层抽样的方法从这些志愿者中抽取20人参加“创建全国文明城市验收日”的活动。‎ ‎（1）求从第2组和第3组中抽取的人数分别是多少；‎ ‎（2）若小李和小王都是32岁，同时参加了“创建全国文明城市验收日”的活动，现要从第3组抽取的人中临时抽调两人去执行另一任务，求小李和小王至少有一人被抽调的概率。‎ ‎【答案】(1)7，6(2) ‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）由题意可得抽样时可按频率抽取，再根据频率分布直方图求得频率即可。（2）根据古典概型概率求解，求解基本事件个数时可根据列举法求解。‎ 试题解析：‎ ‎（1）第2组的频率为，‎ 第3组的频率为，‎ 所以从第2组中抽取的人数为，‎ 从第3组中抽取的人数为。‎ ‎（2）由（1）知从第3组中抽取的人数为6人，分别记为，小王，小李。‎ 则从6人中随机抽调两人的所有情况有：，，共15种，‎ 设“小王和小李至少有一人被抽到”为事件A，则事件A包含的情况有：，共9种情况，‎ 由古典概型概率公式可得。‎ 即小李和小王至少有一人被抽调的概率为。‎ 点睛：古典概型的概率求解步骤 ‎（1）判断试验是否为古典概型，只有同时满足有限性和等可能性这两个条件的试验才是古典概型；‎ ‎（2）计算基本事件的总数；‎ ‎（3）计算事件A包含的基本事件的个数；‎ ‎（4）计算事件A的概率 。‎ 在计算时常用的方法是列举法，列举时要做到分类科学、不重不漏。‎ ‎21. 已知椭圆的左右焦点分别为，经过点的直线与椭圆相交于两点，已知的周长为。‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若，求直线的方程。‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）由可得，由的周长为可得，求得可得椭圆的方程。（2）由题意设直线方程为，代入椭圆方程消去x后得到方程，由根与系数的关系可得，又由得，从而可得。求得点D的坐标后可得所求的直线方程。‎ 试题解析：‎ ‎（1）由题意得，所以。‎ 又因为，所以。‎ 所以。‎ 故椭圆的方程为。‎ ‎（2）设，由，可得。‎ 又直线经过点，可设直线的方程为，‎ 由消去x整理得 ‎，‎ ‎。‎ 且，①‎ 又，②‎ 由①②消去得,‎ 解得。‎ 当时，可得，故，此时点D的坐标为，‎ 故直线AD的方程为。‎ 当时，可得，故，此时点D的坐标为，‎ 故直线AD的方程为。‎ 综上可得直线的方程为。‎ 点睛：在圆锥曲线问题中涉及直线和圆锥曲线的位置关系时常需要设出直线方程，常用的形式有两种，解题时可灵活选用。‎ ‎（1）形如的直线方程，此种类型在解题时需要讨论直线的斜率是否存在，它不能表示与x轴垂直的直线；‎ ‎（2）形如的直线方程，此种类型在解题时不需要讨论直线的斜率是否存在，它不能表示与y轴垂直的直线。‎ ‎22. 已知函数 。‎ ‎（1）当时，讨论的单调性；‎ ‎（2）若在点处的切线方程为，若对任意的 ‎ 恒有，求的取值范围（是自然对数的底数）。‎ ‎【答案】(1) 当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减；(2) ‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）求导数，分三种情况分别讨论导函数的符号，从而得到函数的单调情况。（2）根据导数的几何意义可得，从而。故由题意得对任意的恒成立。设，，根据单调性可求得，从而可得。‎ 试题解析：‎ ‎（1）当时，，‎ 所以。‎ 令，解得或，‎ ‎①当时，，所以在上单调递增；‎ ‎②当时，，列表得：‎ 所以在上单调递增，在上单调递减；‎ ‎③当时，，列表得：‎ 所以在上单调递增，在上单调递减。‎ 综上可得，当时，在上单调递增；‎ 当时，在上单调递增，在上单调递减；‎ 当时，在上单调递增，在上单调递减。‎ ‎（2）因为，‎ 所以，‎ 由题意得，‎ 整理得，解得 ‎ 所以，‎ 因为对任意的恒成立，‎ 所以对任意的恒成立，‎ 设，‎ 则，‎ 所以当时，单调递减，‎ 当时，单调递增。‎ 因为，‎ 所以，‎ 所以，‎ 解得。‎ 所以实数的取值范围为。‎ 点睛：（1）不等式恒成立问题一般考查三次式、分式、以e为底的指数式或对数式、三角函数式及绝对值结构的不等式在某个区间A上恒成立(存在性)，求参数取值范围．‎ ‎（2）解决不等式恒成立问题的常用方法通过分离参数的方法转化为求函数最值的问题，即若或恒成立，只需满足或即可，然后利用导数方法求出的最小值或的最大值，从而问题得解．‎ ‎ ‎ ‎ ‎