北京市第八十中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

北京市第八十中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

‎2019-2020学年度北京市第八十中学第一学期高一数学期中考试题 一、选择题 ‎1.已知集合，，那么( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 进行交集的运算即可．‎ ‎【详解】解：，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】考查集合列举法表示，以及交集的运算．‎ ‎2.如果，那么下列不等式一定成立的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：根据题目中所给的条件，结合不等式的性质得到大小关系.‎ 详解：，,故A不正确；,B也不正确；‎ ‎，C正确；D 不一定正确，当a,b为负数时，不等式不成立.‎ 故答案为：C.‎ 点睛：这个题目考查了根据已知条件得到不等式的大小关系；两个式子比较大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系.‎ ‎3.给出下列四个函数：①；②；③；④.其中在区间 上是减函数的是( )‎ A. ① B. ② C. ③ D. ④‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，依次分析所给的四个函数的单调性，综合即可得答案．‎ ‎【详解】解：根据题意，依次分析所给的四个函数：‎ 对于①，为二次函数，在上是减函数；‎ 对于②，为幂函数，在上是增函数；‎ 对于③，为反比例函数，在上是增函数；‎ 对于④，当时，，即其在上是增函数；‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查函数单调性的判断，关键是掌握常见函数的单调性，属于基础题．‎ ‎4.如图，给出了奇函数的局部图象，那么f(1)等于 A. -4 B. ‎-2 ‎C. 2 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，由函数的图象可得f（﹣1）的值，结合函数的奇偶性可得f（1）的值，即可得答案．‎ ‎【详解】根据题意，由函数的图象可得，‎ 又由函数为奇函数，则，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性的性质，关键是掌握函数奇偶性的性质，属于基础题．‎ ‎5.如果幂函数的图象经过点，则在定义域内( )‎ A. 为增函数 B. 为减函数 C. 有最小值 D. 有最大值 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 由幂函数的图象经过点，得到，由此能求出函数的单调性和最值．‎ ‎【详解】解：幂函数的图象经过点，‎ ‎，解得，‎ ‎，‎ 在递减，在递增，有最小值，无最大值。‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查幂函数的概念和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．‎ ‎6.已知，那么的最小值是( )‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 4 D. 5‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，由基本不等式的性质即可得答案。‎ ‎【详解】根据题意，，则，‎ 当且仅当时等号成立，‎ 即的最小值是2；‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查基本不等式的性质以及应用，关键是掌握基本不等式的形式．‎ ‎7.下列函数中，与函数有相同图象的一个是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意知，这两个函数应是同一个函数．考查各个选项中的两个函数是否具有相同的定义域、值域、对应关系，否则，不是同一个函数．‎ ‎【详解】解：一个函数与函数 有相同图象时，这两个函数应是同一个函数．‎ 对于.，函数的定义域为，定义域不相同，故不是同一个函数．‎ 对于.，函数的定义域为，定义域不相同，故不是同一个函数．‎ 对于.，函数的定义域为，定义域不相同，故不是同一个函数．‎ 对于.，函数的定义域为，定义域相同，且，，函数解析式也相同，故是同一个函数．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查函数的三要素，两个函数是同一个函数，当且仅当这两个函数具有相同的定义域、值域、对应关系．相同的函数具有相同图象．‎ ‎8.设，则“”是“”的( )‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据充分必要条件的定义以及不等式的性质判断即可 ‎【详解】解：充分性：若，可得：，有三种可能①两个都为正；②一个为正、一个为零；③一个为正、一个为负且正数的绝对值大于负数的绝对值；则或或；故“”不是“”的充分条件；‎ 必要性：若则，或，，故或，‎ 故“”不是“”的必要条件；‎ 综上“”是“”的既不充分也不必要条件 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查了充分必要条件，考查不等式的性质，是一道基础题．‎ ‎9. 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗‎1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是（ ）‎ A. 消耗‎1升汽油，乙车最多可行驶‎5千米 B. 以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C. 甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗‎10升汽油 D. 某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】解：对于A，由图象可知当速度大于‎40km/h时，乙车的燃油效率大于‎5km/L，‎ ‎∴当速度大于‎40km/h时，消耗‎1升汽油，乙车的行驶距离大于‎5km，故A错误；‎ 对于B，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗‎1升汽油，甲车的行驶路程最远，‎ ‎∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B错误；‎ 对于C，由图象可知当速度为‎80km/h时，甲车的燃油效率为‎10km/L，‎ 即甲车行驶‎10km时，耗油‎1升，故行驶1小时，路程为‎80km，燃油为‎8升，故C错误；‎ 对于D，由图象可知当速度小于‎80km/h时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，‎ ‎∴用丙车比用乙车更省油，故D正确 故选：D．‎ 考点：1、数学建模能力；2、阅读能力及化归思想.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎10.函数是区间上的增函数，则的取值范围是( )‎ A. 1 B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的单调性得到不等式，即可求出的取值范围 ‎【详解】解：在区间上的增函数 及在区间上都为增函数 ‎ ‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查分段函数的单调性，特别注意在断点处的函数值的大小比较.‎ ‎11.若函数同时满足：(1)对于定义域内的任意，有 ‎；(2)对于定义域内的任意，当时，有，则称函数为“理想函数”.给出下列四个函数：①；②；③；④.‎ 其中是“理想函数”的序号是( )‎ A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知得“理想函数”既是奇函数，又是减函数，由此判断所给四个函数的奇偶性和单调性，能求出结果．‎ ‎【详解】解：函数同时满足①对于定义域上的任意，恒有；‎ ‎②对于定义域上的任意，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”，‎ ‎ “理想函数”既是奇函数，又是减函数，‎ ‎①是偶函数，且不是单调函数，故①不是“理想函数”；‎ ‎②是奇函数，且是减函数，故②是“理想函数”；‎ ‎③是奇函数，但在定义域上不是单调函数，故③不是“理想函数”．‎ ‎④是奇函数，且是减函数，故④是“理想函数”．‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查了新定义、函数的奇偶性、单调性，属于中档题．‎ ‎12.对于集合，给出如下三个结论：①如果，那么；②如果，那么；③如果，，那么.其中正确结论的个数是( )‎ A. 0 B. ‎1 ‎C. 2 D. 3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎①根据，得出，即；‎ ‎②根据，证明，即；‎ ‎③根据，，证明．‎ ‎【详解】解：集合，，，‎ 对于①，，，‎ 则恒有，‎ ‎，即，，则，①正确；‎ 对于②，，，‎ 若，则存在，使得，‎ ‎，‎ 又和同奇或同偶，‎ 若和都是奇数，则为奇数，而是偶数；‎ 若和都是偶数，则能被4整除，而不能被4整除，‎ ‎，即，②正确；‎ 对于③，，，‎ 可设，，、；‎ 则 那么，③正确．‎ 综上，正确的命题是①②③．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查了元素与集合关系的判断、以及运算求解能力和化归思想，是难题．‎ 二、填空题 ‎13.已知函数，如果，那么实数的值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据解析式要使则 代入解析式中即可求的值。‎ ‎【详解】‎ 所以要是则 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了分段函数的解析式的运用，解方程，属于中档题．‎ ‎14.已知二次函数满足下表所给对应关系：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎0‎ ‎0‎ 则不等式的解集为____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据所给数据，可判断的图象的开口方向，由，‎ 即可解。‎ ‎【详解】由题意二次函数与轴交于，且,可判断函数 的图象的开口向上，故解集为 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查二次函数的图象，结合图象解一元二次不等式，属于基础题。‎ ‎15.命题“”的否定是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据全称命题的否定是特称命题解答。‎ ‎【详解】由题意命题“”为全称命题，则它否定为：‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查含一个量词的命题的否定，属于基础题。‎ ‎16.函数是奇函数，且当时，函数单调递增.若，则________；不等式的解集为_________.‎ ‎【答案】 (1). ； (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数奇偶性和单调性的性质作出的草图，结合图象可求出的解集。‎ ‎【详解】解：是奇函数，且在上单调递增，，‎ ‎ ‎ 作出函数的图象如图：‎ 则的解为或，‎ 所以的解集为： ‎ 故答案为： ；‎ ‎【点睛】本题主要考查不等式的求解，结合函数奇偶性和单调性的性质作出函数的图象是解决本题的关键．‎ ‎17.若“”是“”的必要不充分条件，则的最大值为_________．‎ ‎【答案】-1.‎ ‎【解析】‎ 由得：或；若“ ”是“ ”的必要不充分条件，则，所以的最大值为.‎ ‎【点睛】从集合的角度看充要条件，若对应集合 ，对应集合， 如果，则 是 的充分条件；如果 ，则 是 的充分不必要条件；如果 ‎，则 是 的必要条件；如果 ，则是 的必要不充分条件；如果，则是的充要条件，如果无上述包含关系，则是 的既不充分也不必要条件；‎ ‎18.已知函数的定义域为，则实数的取值范围是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 据题意可知，不等式解集为，从而讨论，当时，显然满足题意；当时，，解出的范围即可．‎ ‎【详解】解：的定义域为，‎ 不等式的解集为，‎ ‎①时，恒成立，满足题意；‎ ‎②时，，解得，‎ 实数的取值范围是．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】考查函数的定义域的定义及求法，一元二次不等式恒成立时，，，所满足的条件，分类讨论的思想．‎ ‎19.设函数，其中表示不超过的最大整数，如：，.若函数的图象与函数的图象恰有3个交点，则实数的取值范围是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据的定义，分别讨论的范围并作出函数的图象，利用函数与方程思想转化为两个函数交点个数问题利用数形结合进行求解．‎ ‎【详解】解：当，时，，，‎ 当，时，，，‎ 当，时，，，‎ 当，时，，，‎ 当，时，，，‎ ‎，‎ 作出两个函数图象如下：‎ 要使函数的图象与函数的图象恰有3个交点，‎ 只需且，‎ 得，‎ 那么实数的取值范围是，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查分类讨论，数形结合及转化思想，属于中档题．‎ ‎20.已知函数，若有且仅有不相等的三个正数，使得，则的值为_________，若存在，使得，则的取值范围是_________.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出函数图象，结合图象分析，可得。‎ ‎【详解】所画出函数的图象 有且仅有不相等的三个正数使 由图分析可得 令 则，，‎ 若存在，使得，令，则 为的两根，为的两根 ‎，且 的范围是 ‎ 故答案为：；‎ ‎【点睛】本题考查分段函数函数图象，数形结合思想，属于一般题。‎ 三、解答题 ‎21.已知集合，.‎ ‎(1)求；‎ ‎(2)若集合，且，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）可解出，，再求出补集，然后进行并集的运算即可；‎ ‎（2）由，得到关于的不等式组，从而得出实数的取值范围．‎ ‎【详解】解：（1）集合解得 ‎ 解得 ‎（2）‎ 解得 解得 故实数的取值范围为 ‎【点睛】本题考查不等式的解法，交集和补集的运算，以及子集的定义．‎ ‎22.已知函数是定义在上的奇函数，且.‎ ‎(1)确定函数的解析式；‎ ‎(2)用定义证明函数在区间上是增函数；‎ ‎(3)解不等式.‎ ‎【答案】（1）；（2）详见解析；（3）.‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）由奇函数得，求得，再由已知，得到方程，解出，即可得到解析式；‎ ‎（2）运用单调性的定义，注意作差、变形和定符号、下结论几个步骤；‎ ‎（3）运用奇偶性和单调性，得到不等式即为，‎ 得到不等式组，解出即可．‎ ‎【详解】（1）解：函数是定义在上的奇函数，‎ 则，即有，‎ 且，则，解得，，‎ 则函数的解析式：；满足奇函数 ‎（2）证明：设，则 ‎，由于，则，，即，‎ ‎，则有，‎ 则在上是增函数；‎ ‎（3）解：由于奇函数在上是增函数，‎ 则不等式即为，‎ 即有，解得，‎ 则有，‎ 即解集为．‎ ‎【点睛】本题考查函数的解析式的求法和单调性的证明和运用：解不等式，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎23.某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当中（）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：‎ ‎（1）当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？‎ ‎（2）求该地上班族的人均通勤时间的表达式；讨论的单调性，并说明其实际意义．‎ ‎【答案】(1) 时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间;(2)见解析.‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）由题意知求出f（x）＞40时x的取值范围即可；‎ ‎（2）分段求出g（x）的解析式，判断g（x）的单调性，再说明其实际意义．‎ ‎【详解】（1）由题意知，当时，‎ ‎，‎ 即，‎ 解得或，‎ ‎∴时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；‎ ‎（2）当时，‎ ‎；‎ 当时，‎ ‎；‎ ‎∴；‎ 当时，单调递减；‎ 当时，单调递增；‎ 说明该地上班族中有小于的人自驾时，人均通勤时间是递减的；‎ 有大于的人自驾时，人均通勤时间是递增的；‎ 当自驾人数为时，人均通勤时间最少．‎ ‎【点睛】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力．‎ ‎24.设函数与函数的定义域交集为，集合是由所有具有性质：“对任意的，都有”的函数组成的集合.‎ ‎(1)判断函数和是不是集合中的元素？并说明理由；‎ ‎(2)设函数，且，试求函数的解析式；‎ ‎(3)已知，试求实数应满足的关系.‎ ‎【答案】（1）；.‎ ‎（2）或，‎ ‎（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）欲判断函数，是否是的元素，只须验证对任意，是否成立；‎ ‎（2）根据函数，且，利用待定系数法可求、的值，即可求的解析式；‎ ‎（3）根据定义，问题可转换为对一切定义域中恒成立，建立等式，从而可得：恒成立，即 ‎【详解】解：（1）因为对任意，，所以 因为对任意，，所以 ‎（2）因为函数，且，‎ 解得或 或，‎ ‎（3）因为，所以对定义域内一切恒成立，‎ 即解得：恒成立，故 ‎【点睛】本题考查集合的包含关系，函数的基本运算，基本知识的应用．是一道创新型的题目，还考查了学生的创新意识，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．‎