2017-2018学年湖南省师范大学附属中学高二上学期期末考试数学（文）试题（解析版）

2017-2018学年湖南省师范大学附属中学高二上学期期末考试数学（文）试题（解析版）

湖南师大附中2017－2018学年度高二第一学期期末考试 数学(文科)‎ 时量：120分钟　　　满分：150分 得分：______________　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)‎ ‎1．已知复数z的实部为1，且|z|＝2，则复数z的虚部是 A．－ B.i C．±i D．± ‎2．命题“若p，则q或r”的否命题是 A．若p，则綈q或綈r B．若p，则綈q且綈r C．若綈p，则綈q或綈r D．若綈p，则綈q且綈r ‎3．tan 690°＝‎ A．－ B. C. D．－ ‎4．利用演绎推理的“三段论”可得到结论：函数f(x)＝lg的图象关于坐标原点对称．那么，这个三段论的小前提是 A．f(x)是增函数 B．f(x)是减函数 C．f(x)是奇函数 D．f(x)是偶函数 ‎5．程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是 A．2‎ B. C．－3‎ D．－ ‎6．函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，那么f(x)的图象最有可能的是 ‎7.若抛物线y＝ax2的准线方程为y＝－1，则实数a的值是 A. B. C．－ D．－ ‎8．设0＜x＜1，则a＝，b＝1＋x，c＝中最大的一个是 A．a B．b C．c D．不能确定 ‎9．已知点M是△ABC的边BC的中点，点E在边AC上，且＝2，则向量＝‎ A.＋ B.＋ C.＋ D.＋ ‎10．已知命题p：直线l1：(m－2)x＋3y＋‎2m＝0与直线l2：x＋my＋6＝0平行，命题q：方程x2＋y2－2x＋my＋(m＋2)＝0表示圆，则命题p是命题q成立的 A．必要条件 B．充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎11．对数列{an}，如果k∈N*及λ1，λ2，…，λk∈R，使an＋k＝λ1an＋k－1＋λ2an＋k－2＋…＋λkan成立，其中n∈N*，则称{an}为“k阶递归数列”．给出下列结论：‎ ‎①若{an}是等比数列，则{an}为“1阶递归数列”；‎ ‎②若{an}是等差数列，则{an}为“2阶递归数列”；‎ ‎③若{an}的通项公式为an＝n2，则{an}为“3阶递归数列”．‎ 其中正确的结论的个数是 A．0 B．‎1 C．2 D．3‎ ‎12．若直线l：y＝－＋m与曲线C：y＝有且仅有三个交点，则m的取值范围是 A．(－1，＋1) B．(1，)‎ C．(1，＋1) D．(2，＋1)‎ 选择题答题卡 题 号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 得分 答 案 二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．)‎ ‎13．过曲线y＝x3－2x上的点(1，－1)的切线方程为____________．‎ ‎14．在区间上随机取一个数x，cos x的值介于0到之间的概率为________．‎ ‎15．长方体ABCD－A1B‎1C1D1中，AB＝AA1＝‎2 cm，AD＝‎1 cm，则异面直线A‎1C1与BD1所成角的余弦值为____________．‎ ‎16．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－kx有零点，则实数k的取值范围是____________．‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出说明、证明过程或演算步骤．)‎ ‎17．(本小题满分10分)‎ 湖南师大附中的科技节中有一个传统挑战项目——“奇思妙想闯七关”．为了调查参加此活动的学生情况，现从我校学生中随机抽取了60名男生和40名女生共100人进行调查，统计出100名学生中愿意接受挑战和不愿意接受挑战的男女生比例情况，具体数据如图所示．‎ ‎(Ⅰ)根据条件完成下列2×2列联表，并判断是否在犯错误的概率不超过1%的情况下认为“愿意接受挑战与性别有关”？‎ 愿意 不愿意 总计 男生 女生 总计 ‎(Ⅱ)现用分层抽样的方法从愿意接受挑战的学生中选取7名挑战者，再从中抽取2人参加挑战，求抽取的2人中至少有一名男生的概率．‎ 参考数据：‎ P(K2‎>k0)‎ ‎0.1‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.01‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎18．(本小题满分12分)‎ 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(x1，y1)，B(x2，y2)在单位圆上，∠xOA＝α，∠AOB＝，且α∈.‎ ‎(Ⅰ)若x1＝，用α表示x2并求其值；‎ ‎(Ⅱ)过点B作x轴的垂线，垂足为C，记△BOC的面积为S，设S＝f(α)，求函数f(α)的值域．‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ 已知三棱锥P－ABC的直观图及其三视图如图所示．‎ ‎(Ⅰ)求三棱锥P－ABC的体积；‎ ‎(Ⅱ)求二面角P—AB—C的平面角的正切值．‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 已知等差数列的首项a1＝1，公差d＞0，且其第2项、第5项、第14项成等比数列．‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式；‎ ‎(Ⅱ)设bn＝，求数列的前n项和Tn，并证明：≤Tn<.‎ ‎21．(本小题满分12分)‎ 设椭圆C的中心在原点，两焦点F1、F2在x轴上，点P的坐标为(2，1)，已知·＝3，且椭圆C的离心率为.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；‎ ‎(Ⅱ)如图，设椭圆C的左、右顶点分别为A、B，点M是椭圆C上位于x轴上方的一个动点，直线AM，BM分别与直线x＝3相交于点D，E，求|DE|的最小值．‎ ‎22.(本小题满分12分)‎ 已知函数f(x)＝a(x－1)2＋ln x＋1.‎ ‎(Ⅰ)若函数f(x)在区间[2，4]上是减函数，求实数a的取值范围；‎ ‎(Ⅱ)当x∈[1，＋∞)时，函数y＝f(x)图象上的点都在所表示的平面区域内，求实数a的取值范围．‎ 湖南师大附中2017－2018学年度高二第一学期期末考试数学(文科)参考答案 一、选择题 ‎1．D　【解析】设z＝a＋bi(a，b∈R)，由题意知a＝1，∴1＋b2＝4，∴b2＝3，∴b＝±.故选D.‎ ‎2．D　【解析】否命题既要否定条件，又要否定结论. 同时，“或”的否定是“且”，选D.‎ ‎3．A ‎4．C ‎5．D　【解析】对应于计数变量i的S呈周期性，最小正周期为4，前4个数依次是：－3，－，，2，而2 018＝4×504＋2，故选D.‎ ‎6．B　【解析】数形结合可得在(－∞，－2)，(－1，＋∞)上，f′(x)<0，f(x)是减函数；在(－2，－1)上，f′(x)>0，f(x)是增函数，故选B.‎ ‎7．A　【解析】将抛物线y＝ax2化为x2＝y，由条件知＝1，∴a＝，故选A.‎ ‎8．C　【解析】由于0＜x＜1，所以b＝1＋x>2＝2＝·＝a>a，又b－c＝(1＋x)－＝＝－<0b0，∴m>4或m<0.故命题p是命题q成立的充分条件．故选B.‎ ‎11．D　【解析】对于①：若k＝1，因为{an}是等比数列，则有an＋1＝λ1an满足条件，故①正确；对于②：若k＝2，因为{an}是等差数列，则有an＋2＋an＝2an＋1，存在λ1＝2，λ2＝－1满足an＋2＝λ1an＋1＋λ2an，故②正确；对于③：若k＝3，因为数列{an}的通项公式为an＝n2，an＋3＝(n＋3)2＝3(n＋2)2－3(n＋1)2＋n2，故存在λ1＝3，λ2＝－3，λ3＝1满足an＋3＝λ1an＋2＋λ2an＋1＋λ3an，故③正确．故选D.‎ ‎12．B　【解析】由题意得，曲线C是由椭圆＋y2＝1上半部分和双曲线－y2＝1上半部分组成，且双曲线的渐近线方程为y＝－x，与直线l：y＝－x＋m平行；当直线l过右顶点时，直线l与曲线C有两个交点，此时，m＝1；当直线l与椭圆相切时，直线l与曲线C有两个交点，此时m＝；由图象可知，m∈(1，)时，直线l与曲线C有三个交点，故选B.‎ 二、填空题 ‎13．x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0　【解析】设P(x0，y0)为切点，则切线的斜率为y′|x＝x0＝3x－2.∴切线方程为y－y0＝(3x－2)(x－x0)．y－(x－2x0)＝(3x－2)(x－x0)．又知切线过点(1，－1)，把它代入上述方程得－1－(x－2x0)＝(3x－2)(1－x0)．解得x0＝1，或x0＝－.故所求切线方程为y－(1－2)＝(3－2)(x－1)或y－＝，即x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.‎ ‎14.　【解析】在区间上随机取一个数x，即x∈时，要使cos x的值介于0到之间，需使－≤x≤－或≤x≤，区间长度为，由几何概型知cos x的值介于0到之间的概率为＝.‎ ‎15.　【解析】设A‎1C1与B1D1交于O，取B1B中点E，连接OE，因为OE∥D1B，所以∠C1OE 或其补角就是异面直线A‎1C1与BD1所成的角．在△C1OE中，OC1＝A‎1C1＝，OE＝BD1＝·＝，‎ C1E＝＝＝，‎ 所以cos∠C1OE＝＝.‎ ‎16.　【解析】由f(x)－kx＝0得f(x)＝kx，在同一坐标系中作出函数y＝f(x)和y＝kx的图象，易知当k<0时，两函数图象有两个交点，当k≥0时，考察由原点引f(x)的图象的切线，设切点是(x0，log2x0)，f′(x)＝，则＝x0＝e，故切线的斜率等于，即k∈时，两图象恰有一个公共点，综上k∈.‎ 三、解答题 ‎17．【解析】(Ⅰ)2×2列联表 愿意 不愿意 总计 男生 ‎15‎ ‎45‎ ‎60‎ 女生 ‎20‎ ‎20‎ ‎40‎ 总计 ‎35‎ ‎65‎ ‎100‎ ‎(2分)‎ K2＝≈6.593<6.635.(3分)‎ 所以，不能在犯错误的概率不超过1%的情况下认为“愿意接受挑战与性别有关”．(5分)‎ ‎(Ⅱ)现用分层抽样的方法从愿意接受挑战的学生中选取7名挑战者，‎ 故男生抽取7×＝3名，女生7×＝4名，(7分)‎ 从中抽取2人参加挑战，共有6＋5＋4＋…＋1＝21种方法，‎ 全是女生的方法有3＋2＋1＝6种，(9分)‎ 所以，抽取的2人中至少有一名男生的概率为P＝1－＝.(10分)‎ ‎18．【解析】(Ⅰ)由三角函数定义，得x1＝cos α，x2＝cos.(2分)‎ 由已知，cos α＝，α∈，则sin α＝＝.(4分)‎ 所以x＝cos＝cos α－sin α＝－＝－.(6分)‎ ‎(Ⅱ)因为α∈，则α＋∈，‎ 故x2＝cos<0，y2＝sin>0，‎ 所以S＝|x2|y2＝·sin ‎＝－sin.‎ 即f(α)＝－sin.(9分)‎ 因为α∈，则2α＋∈，00，数列{Tn}是递增数列．‎ ‎∴Tn≥T1＝b1＝.(11分)‎ ‎∴≤Tn<.(12分)‎ ‎21．【解析】(Ⅰ)设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，‎ F1(－c，0)，F2(c，0)(1分)‎ 则＝(2＋c，1)，＝(2－c，1)．(2分)‎ 因为·＝3，则(2＋c)(2－c)＋1＝3，即c2＝2，所以c＝.(3分)‎ 因为＝，则a＝c＝2，从而b＝＝.(4分)‎ 故椭圆C的标准方程是＋＝1.(5分)‎ ‎(Ⅱ)法一：由题设，点A(－2，0)，设直线AM的方程为y＝k(x＋2)(k>0)．‎ 联立x＝3，得点D(3，5k)．(6分)‎ 将y＝k(x＋2)代入＋＝1，得x2＋2k2(x＋2)2＝4，即(2k2＋1)x2＋8k2x＋8k2－4＝0.(7分)‎ 设点M(x0，y0)，则x0和－2是方程的两根，‎ 所以－2x0＝，即x0＝，‎ 从而y0＝k＝，所以点M.(9分)‎ 又点B(2，0)，则直线BM的方程为＝，‎ 即y＝－(x－2)．‎ 联立x＝3，得点E.(11分)‎ 所以|DE|＝5k＋≥2＝，当且仅当5k＝>0，即k＝时取等号．‎ 故|DE|的最小值为.(12分)‎ 法二：由题设，点A(－2，0)，点B(2，0)，‎ 设点M(x0，y0)，则＋＝1，即x＋2y＝4.‎ 所以(x0－2)(x0＋2)＝－2y，即·＝－，‎ 所以kAM·kBM＝－.(8分)‎ 设直线AM的方程为y＝k(x＋2)(k>0)，则直线BM的方程为y＝－(x－2)．‎ 分别联立x＝3，得点D(3，5k)，点E.(11分)‎ 所以|DE|＝5k＋≥2＝，当且仅当5k＝>0，即k＝时取等号．‎ 故|DE|的最小值为.(12分)‎ ‎22．【解析】(Ⅰ)f′(x)＝‎2a(x－1)＋，∵函数f(x)在区间[2，4]上单调递减，‎ ‎∴f′(x)＝‎2a(x－1)＋≤0在区间[2，4]上恒成立，即‎2a≤在[2，4]上恒成立，‎ 只需‎2a不大于在[2，4]上的最小值即可．(2分)‎ 而＝(2≤x≤4)，则当2≤x≤4时，∈，‎ ‎∴‎2a≤－，即a≤－，故实数a的取值范围是.(5分)‎ ‎(Ⅱ)因f(x)图象上的点在所表示的平面区域内，即当x∈[1，＋∞)时，不等式f(x)≤x恒成立，即a(x－1)2＋ln x－x＋1≤0恒成立，‎ 设g(x)＝a(x－1)2＋ln x－x＋1(x≥1)，只需g(x)max≤0即可．‎ 由g′(x)＝‎2a(x－1)＋－1＝，(7分)‎ ‎(ⅰ)当a＝0时，g′(x)＝，当x≥1时，g′(x)≤0，函数g(x)在[1，＋∞)上单调递减，故g(x)≤g(1)＝0成立．(8分)‎ ‎(ⅱ)当a>0时，由g′(x)＝＝，‎ 令g′(x)＝0，得x1＝1或x2＝，‎ ‎①若<1，即a>时，在区间[1，＋∞)上，g′(x)≥0，函数g(x)在[1，＋∞)上单调递增，函数g(x)在[1，＋∞)上无最大值g(x)≥g(1)＝0，不满足条件；(10分)‎ ‎②若≥1，即00，不满足条件．(11分)‎ ‎(ⅲ)当a<0时，由g′(x)＝，因x∈[1，＋∞)，故g′(x)<0，则函数g(x)在[1，＋∞)上单调递减，故g(x)≤g(1)＝0成立．‎ 综上所述，实数a的取值范围是(－∞，0]．(12分)‎