山东省日照市五莲县2018-2019学年高二下学期期中考试数学试题

山东省日照市五莲县2018-2019学年高二下学期期中考试数学试题

高二模块检测数学试题 一、选择题：本大题共13小题，每小题4分，共52分.第1至10小题为单选题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；第11至13为多选题，有多个正确选项，选对一个即可得到2分，全部选对得4分，有一个错误选项不得分.‎ ‎1.已知函数，则（ ）‎ A. 15 B. ‎30 ‎C. 32 D. 77‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得导函数，由此求得.‎ ‎【详解】依题意，所以.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了导数的计算，属于基础题.‎ ‎2.函数的导函数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数运算公式，求得所求导函数 ‎【详解】由于，所以.‎ 故选：B ‎【点睛】本小题主要考查乘法的导数运算，考查基本初等函数的导数，属于基础题.‎ ‎3.椭圆的焦点在轴上，且，，则这样的椭圆的个数为（ ）‎ A. 10 B. ‎12 ‎C. 20 D. 21‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合椭圆的几何性质，利用列举法判断出椭圆的个数.‎ ‎【详解】由于椭圆焦点在轴上，所以.有三种取值，有七种取值，故椭圆的个数有种.‎ 故选：D ‎【点睛】本小题主要考查椭圆的几何性质，属于基础题.‎ ‎4.函数的单调递增区间是（ ）‎ A. B. C. D. 和 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得函数的定义域，然后利用导数求得的单调递增区间.‎ ‎【详解】的定义域为，且，所以当时，，单调递增，的单调递增区间为.‎ 故选：B ‎【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，属于基础题.‎ ‎5.已知在上是增函数，则实数的最大值是（ ）‎ A. 0 B. ‎1 ‎C. 3 D. 不存在 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用在上恒成立列不等式，由此求得的取值范围.‎ ‎【详解】由于在上是增函数，所以在上恒成立，即在上恒成立，而，所以，所以的最大值为.‎ 故选：C ‎【点睛】本小题主要考查根据函数在给定区间上的单调性求参数，属于基础题.‎ ‎6.二项式的展开式中，常数项的值是（ ）‎ A. 240 B. ‎192 ‎C. 60 D. 15‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用二项式展开式的通项公式，求得常数项.‎ ‎【详解】二项式展开式的通项公式为，令，解得，所以常数项为.‎ 故选：A ‎【点睛】本小题主要考查二项式展开式中指定项的求法，属于基础题.‎ ‎7.若，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用赋值法,分别令与,代入式子后两式相加即可求得.‎ ‎【详解】令,代入可得 ①‎ 令,代入可得 ②‎ 由①＋②得 所以 故选:D ‎【点睛】本题考查了赋值法在二项式定理中的应用,偶项系数和的求法,属于基础题.‎ ‎8.已知函数，若中，角C是钝角，那么（ ）‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：因为，所以， 故函数在区间上是减函数，又都是锐角，且，所以，所以，故，选A．‎ 考点：1．应用导数研究函数的单调性；2．三角函数的图象和性质．‎ ‎9.展开式中项的系数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由题意，‎ ‎，从二项式展开中，出现在中，所以前的系数为，故选A.‎ 考点：1.二项式定理的应用；2.二项式的系数.‎ ‎10.已知函数，，若，，使得，则实数a的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可转化为，利用导数分别研究两个函数最小值，求解即可.‎ ‎【详解】解：当时，由得，‎ ‎=，‎ 当时，‎ 在单调递减， ‎ 是函数的最小值，‎ 当时，为增函数，‎ 是函数的最小值，‎ 又因为，都，使得，可得在的最小值不小于在的最小值，‎ 即，解得：，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查指数函数和对勾函数的图像及性质，考查利用导数研究单调性问题的应用，属于基础题.‎ ‎11.如图是函数导函数的图象，下列选项中正确的是（ ）‎ A. 在处导函数有极大值 B. 在，处导函数有极小值 C. 在处函数有极大值 D. 在处函数有极小值 ‎【答案】ABCD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据极大值、极小值的定义，判断出正确选项.‎ ‎【详解】根据导函数的图像可知：的两侧左减右增，所以在，处导函数有极小值；的两侧左增右减，所以在处导函数有极大值.‎ 根据导函数的图像可知：的左侧导数大于零，右侧导数小于零，所以在处函数有极大值.的左侧导数小于零，右侧导数大于零，所以在处函数有极小值.而左右两侧导函数符号相同，原函数不取得极值.‎ 故选：ABCD ‎【点睛】本小题主要考查极大值、极小值的定义和判断，属于基础题.‎ ‎12.若直线与曲线满足以下两个条件：点在曲线上，直线方程为；曲线在点附近位于直线的两侧，则称直线在点处“切过”曲线.下列选项正确的是（ ）‎ A. 直线在点处“切过”曲线 B. 直线在点处“切过”曲线 C. 直线在点处“切过”曲线 D. 直线点处“切过”曲线 ‎【答案】AC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对四个选项逐一判断直线是否是曲线在点的切线方程，然后结合图像判断直线是否满足“切过”，由此确定正确选项.‎ ‎【详解】对于A选项，曲线，，，所以曲线在点的切线方程为，图像如下图所示，由图可知直线在点处“切过”曲线，故A选项正确.‎ 对于B选项，曲线，，，所以曲线在点的切线方程为，故B选项错误.‎ 对于C选项，曲线，，，所以曲线在点的切线方程为，图像如下图所示，由图可知直线在点处“切过”曲线，故C选项正确.‎ 对于D选项，曲线，，，所以曲线在点的切线方程为，图像如下图所示，由图可知直线在点处没有“切过”曲线，故D选项错误.‎ 故选：AC ‎【点睛】本小题主要考查曲线的切线方程，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.‎ ‎13.已知曲线，则下列曲线中与曲线有公共点的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】BD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据曲线过点确定BD选项.化简曲线的方程，得到 ‎，结合图像判断AC选项中的曲线与没有公共点.‎ ‎【详解】由于曲线过点，而曲线也过，所以B选项符合.‎ 由于曲线过点，而曲线也过，所以D选项符合.‎ 由于，所以，所以，两边平方并化简得，两边平方并化简得，所以.所以曲线的方程为.‎ 对于A选项，画出、图像如下图所示，由图可知，两个曲线没有公共点.（圆圆心，半径为，圆心到直线的距离，所以直线和圆没有公共点.）‎ 对于C选项，画出、图像如下图所示，由图可知，两个曲线没有公共点.（的一条渐近线方程为，而可化为与平行，故与没有公共点.）‎ 故选：BD ‎【点睛】本小题主要考查曲线与方程，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.‎ ‎14.函数的单调递减区间是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得函数的定义域，然后利用导数求得的单调减区间.‎ ‎【详解】依题意的定义域为，令，解得，所以的单调减区间是.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，属于基础题.‎ ‎15.在二项式的展开式中，系数最大项的项数为第________项.‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中数最大项的项数.‎ ‎【详解】二项式的展开式的通项公式为，各项的系数为，由于题目要求系数最大项的项数，所以为偶数.故，对应的系数为，根据的单调性可知，或时，最大，故最大的项的系数为，对应为第项.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式的运用，属于基础题.‎ ‎16.某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为，两次闭合后都出现红灯的概率为，则在第一次闭合后出现红灯的条件下，第二次闭合闭合后出现红灯的概率为________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先记“第一次闭合后出现红灯”为事件，“第二次闭合后出现红灯”为事件，根据条件概率计算公式，即可求出结果.‎ ‎【详解】记“第一次闭合后出现红灯”为事件，“第二次闭合后出现红灯”为事件，‎ 则，，‎ 所以，在第一次闭合后出现红灯的条件下，第二次闭合闭合后出现红灯的概率为 ‎.‎ 故答案为 ‎【点睛】本题主要考查条件概率，熟记条件概率的计算公式即可，属于常考题型.‎ ‎17.设函数，当时，恒成立，则的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得在处的切线的斜率，结合图像，求得的取值范围.‎ ‎【详解】函数，.对于一次函数，.，令，解得（负根舍去），所以在上递增，在上递减，画出的图像如下图所示.由图可知，要使当时，恒成立，只需大于或等于在处切线的斜率.而，所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用导数求解不等式恒成立问题，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.‎ 三、解答题：共82分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎18.设离散型随机变量的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎02‎ ‎0.1‎ ‎0.1‎ ‎0.3‎ 求：（1）的分布列；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）0.7‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据概率和为列方程，求得的值.‎ ‎（1）根据分布列的知识，求得对应的分布列.‎ ‎（2）利用求得的值.‎ ‎【详解】由分布列的性质知：，解得 ‎（1）由题意可知 ‎，，‎ ‎，‎ 所以的分布列为：‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎9‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ ‎0.1‎ ‎0.3‎ ‎03‎ ‎（2）‎ ‎【点睛】本小题主要考查分布列的计算，属于基础题.‎ ‎19.设，其中，曲线在点处的切线与y轴相交于点.‎ ‎（1）确定a的值；‎ ‎（2）求函数的单调区间.‎ ‎【答案】（1）； （2）增区间是，减区间是.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先由所给函数的表达式，求导数，再根据导数的几何意义求出切线的斜率，最后由曲线在点处的切线与轴相交于点列出方程求的值即可； ‎ ‎（2）由（1）求出的原函数及其导函数，求出导函数的零点，把函数的定义域分段，判断导函数在各段内的符号，从而得到函数的单调区间．‎ ‎【详解】(1)因为，‎ 所以.‎ 令，得，‎ 所以曲线在点处的切线方程为，‎ 由点在切线上，可得，解得.‎ ‎(2)由(1)知，，‎ ‎.‎ 令，解得或.‎ 当或时，；‎ 当时，，‎ 故函数的单调递增区间是，单调递减区间是.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调性及其几何意义等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论思想、化归与转化思想．属于中档题．‎ ‎20.计算机考试分理论考试与实际操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为，，，在实际操作考试中“合格”的概率依次为，，，所有考试是否合格相互之间没有影响.‎ ‎（1）假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？‎ ‎（2）这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率.‎ ‎【答案】（1）丙；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分别计算三者获得合格证书的概率，比较大小即可（2）根据互斥事件的和,列出三人考试后恰有两人获得合格证书事件，由概率公式计算即可求解.‎ ‎【详解】（1）设“甲获得合格证书”为事件A，“乙获得合格证书”为事件B，“丙获得合格证书”为事件C，则，，.‎ 因为，所以丙获得合格证书的可能性最大.‎ ‎（2）设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D，则.‎ ‎【点睛】本题主要考查了相互独立事件，互斥事件，及其概率公式的应用，属于中档题.‎ ‎21.已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值．‎ ‎【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）最大值1；最小值.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，先求斜率，再代入切线方程公式中即可；（Ⅱ）设，求，根据确定函数的单调性，根据单调性求函数的最大值为，从而可以知道恒成立，所以函数是单调递减函数，再根据单调性求最值.‎ 试题解析：（Ⅰ）因为，所以.‎ 又因为，所以曲线在点处的切线方程为.‎ ‎（Ⅱ）设，则.‎ 当时，，‎ 所以在区间上单调递减.‎ 所以对任意有，即.‎ 所以函数在区间上单调递减.‎ 因此在区间上的最大值为，最小值为.‎ ‎【名师点睛】这道导数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比较有特点的是需要两次求导数，因为通过不能直接判断函数的单调性，所以需要再求一次导数，设，再求，一般这时就可求得函数的零点，或是()恒成立，这样就能知道函数的单调性，再根据单调性求其最值，从而判断的单调性，最后求得结果.‎ ‎22.在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.‎ ‎(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；‎ ‎(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列.‎ ‎【答案】（1）；（2）分布列见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）计算出接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件数，计算出总的选择方法数，根据古典概型概率计算公式计算出所求概率.‎ ‎（2）利用超几何分布的概率计算方法，计算出的分布列.‎ ‎【详解】（1）接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件数为，总的事件数为，所以接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率为.‎ ‎（2）的所有可能取值为.‎ ‎，，，，，故的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查超几何分布的分布列的计算，属于基础题.‎ ‎23.已知函数，其中实数a为常数．‎ ‎(I)当a=-l时，确定的单调区间：‎ ‎(II)若f(x)在区间（e为自然对数的底数）上的最大值为-3，求a的值；‎ ‎(Ⅲ)当a=-1时，证明．‎ ‎【答案】(Ⅰ)在区间上为增函数，在区间上为减函数.(Ⅱ). (Ⅲ) 见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：(Ⅰ)通过求导数，时，时，，单调函数的单调区间.‎ ‎(Ⅱ)遵循“求导数，求驻点，讨论区间导数值正负，确定端点函数值，比较大小”等步骤，得到的方程.注意分①；②；③，等不同情况加以讨论.‎ ‎(Ⅲ) 根据函数结构特点，令，利用“导数法”，研究有最大值，根据, 得证.‎ 试题解析：(Ⅰ)当时，,∴，又,所以 当时，在区间上为增函数，‎ 当时，，在区间上为减函数，‎ 即在区间上为增函数，在区间上为减函数. ‎ ‎(Ⅱ)∵，①若，∵,则在区间上恒成立，‎ 在区间上为增函数，，∴，舍去;‎ ‎②当时，∵，∴在区间上为增函数，‎ ‎，∴，舍去;‎ ‎③若，当时，在区间上增函数，‎ 当时，，在区间上为减函数，‎ ‎，∴.‎ 综上. ‎ ‎(Ⅲ) 由(Ⅰ)知，当时，有最大值，最大值为，即，‎ 所以， ‎ 令，则，‎ 当时，，在区间上为增函数，‎ 当时，，在区间上为减函数，‎ 所以当时，有最大值，‎ 所以,‎ 即. ‎ 考点：应用导数研究函数的单调性、极值、最值、证明不等式.‎