高考数学【理科】真题分类详细解析版专题11 排列组合、二项式定理（解析版）

高考数学【理科】真题分类详细解析版专题11 排列组合、二项式定理（解析版）

‎【2013高考真题】‎ ‎（2013·新课标I理）9、设m为正整数，(x＋y)‎2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)‎2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若‎13a=7b，则m＝ ( )‎ A、5 B、‎6‎ C、7 D、8‎ ‎【答案】B；‎ ‎【解析】，，因为，解得m=6.‎ ‎【学科网考点定位】本题考查二项式定理的应用以及组合数的计算，考查学生的基本运算能力.‎ ‎（2013·新课标Ⅱ理）（5）已知（1+x）(1+x)5的展开式中x2的系数为5，则=‎ ‎（A）-4 （B）-3 （C）-2 （D）-1‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意知：，解得，故选D.‎ ‎【学科网考点定位】本小题主要考查二项展开式,二项式定理在高考中主要以小题的形式考查,属容易题,熟练基础知识是解答好本类题目的关键.‎ ‎（2013·浙江理）14、将六个字母排成一排，且均在的同侧，则不同的排法共有________种（用数字作答）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】此题中的和都是特殊元素，要对特殊的位置和特殊元素首先考虑，在以共有，所以填；‎ ‎【学科网考点定位】此题考查排列组合知识点和排列数的计算公式，此题采用特殊元素首先考虑的方法解决，注意相邻问题的捆绑法、不相邻问题的插空法等常见方法的应用；‎ ‎（2013·浙江理）11、设二项式的展开式中常数项为，则________。‎ ‎【答案】-10‎ ‎【解析】此题利用公式进行化简后，让的指数为零，即可求出，（2013·天津理）10. 的二项展开式中的常数项为 .‎ ‎【答案】15‎ ‎【解析】由二项展开式可得，=，令解得：，所以二项展开式中的常数项为=15.‎ ‎【学科网考点定位】本小题主要考查二项展开式，求二项展开式中特定项是二项展开式中重点内容之一，要熟练掌握.‎ ‎（2013·上海理）5．设常数，若的二项展开式中项的系数为，则 ‎【答案】-2‎ ‎【解析】，故．‎ ‎【学科网考点定位】考查二项式展开式的通项及系数，属容易题。‎ ‎（2013·陕西理）8. 设函数 , 则当x>0时, 表达式的展开式中常数项为 （ ）‎ ‎ (A) －20 (B) 20 (C) －15 (D) 15‎ ‎【答案】A ‎【解析】，所以. 准确运用二项式定理是解题关键。‎ ‎【学科网考点定位】本题考查分段函数和二项式定理。属于中档题。‎ ‎（2013·山东理）10.用十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为 A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】先计算能形成三位数的个数再计算形成没有重复数字的三位数的（2013·大纲理）14. 6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 种.（用数字作答）‎ ‎【答案】480‎ ‎【解析】先排除甲、乙外的4人，方法有种，再将甲、乙插入这4人形成的5个间隔中，有种排法，因此甲、乙不相邻的不同排法有（种）.‎ ‎【学科网考点定位】排列 ‎（2013·福建理）5.满足，且关于的方程有实数解的有序数对的个数为（ ）‎ A. 14 B. 13 C. 12 D. 10 ‎ ‎【答案】B ‎【解析】此方程有根即，有序数对所有取法为种，其中不满足的只有三种，所以满足题意的为16-3=13种.‎ ‎【学科网考点定位】本题结合了二次方程根的判断与简单的排列组合，但要注意为有序数对，本解法采用了间接法，此题也可用直接法一一列出。属于简单题。‎ ‎（2013·北京理）12.将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，如果分给同一人的两张参观券连号，那么不同的分法种数是 .‎ ‎【答案】96‎ ‎（2013·辽宁理）（7）使得 A． B． C． D． ‎ ‎ 【答案】B ‎【解析】二项式展开式的通项公式为：，若展开式中有常数项，则，解得 ‎，当r取2时，n的最小值为5，故选B ‎【学科网考点定位】本题考查二项式定理的应用。‎ ‎（2013·江西理）5.展开式中的常数项为（ ）‎ A．80 B.-80 ‎ ‎ C.40 D.-40‎ ‎【答案】C ‎【解析】选C.‎ ‎【学科网考点定位】本题主要考查二项式定理、二项展开式的应用.‎ ‎（2013·大纲理）7. 的展开式中的系数是（ ）‎ A．56 B．‎84 ‎‎ C．112 D．168‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为的展开式中的系数为，的展开式中的系数为，所以的系数为.故选D.‎ ‎【学科网考点定位】二项式定理 ‎（2013·安徽理）（11）若的展开式中的系数为7，则实数_________。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】通项 当时，‎ ‎【学科网考点定位】二项式中参数的考察 ‎（2013·湖南理）18．（本小题满分12分）‎ 某人在如图4所示的直角边长为‎4米的三角形地块的每个格点（指纵、横的交叉点记忆三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物。根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ Y ‎51‎ ‎48‎ ‎45‎ ‎42‎ 这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过‎1米。‎ ‎（I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；‎ ‎（II）从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望。‎ ‎【答案】（1）所种植物的总数为15，其中三角形内部有3株， 边界上有12株；从三角形内部和边界上分别随机选取一株不同结果有，满足条件的有3+3+2=8；故 从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率为；‎ 所求分布列为 X ‎51‎ ‎48‎ ‎45‎ ‎43‎ P 故所求期望 ‎【解析】（1）利用排列组合的原理进行计算；（2）根据 ‎“”进行转化，列出分布列，求出期望.‎ ‎【学科网考点定位】本题考查排列组合知识、离散型随机变量的分布列以及期望，考查学生的逻辑推理能力.‎ ‎（2013·陕西理）19. (本小题满分12分) 在一场娱乐晚会上, 有5位民间歌手(1至5号)登台演唱, 由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手. 各位观众须彼此独立地在选票上选3名选手, 其中观众甲是1号歌手的歌迷, 他必选1号, 不选2号, 另在3至5号中随机选2名. 观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱, 因此在1至5号中随机选3名歌手. ‎ ‎ (Ⅰ) 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率; ‎ ‎ (Ⅱ) X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和, 求X的分布列和数学期望. ‎ ‎【解析】本题考查涉及排列组合、概率、随机变量分布列和期望问题，(Ⅰ)问中考查了“观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手”互斥事件同时发生的概率，也可以利用树形图解决。(Ⅱ)‎ 问中要注意分布列性质运用，验证概率总合是否为1。此类问题在高考中属于常考重点题型，必须熟练掌握。‎ ‎,,‎ ‎,.‎ 则X的分布列如下：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎。‎ ‎【学科网考点定位】本题考查排列组合、概率、随机变量分布列和期望问题。属于中档题。‎ ‎【2012高考真题】‎ ‎（2012·山东卷）现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为(　　)‎ A．232 B．252‎ C．472 D．484‎ ‎【答案】C　‎ ‎【解析】本题考查排列、组合，考查运算求解能力，应用意识，中档题．‎ 法一：(排除法)先从16张卡片选3张，然后排除所取三张同色与红色的为2张的情况，‎ C－‎4C－CC＝560－88＝472.‎ 法二：有红色卡片的取法有CCCC＋CCC，不含红色卡片的取法有CCC＋CCC，总共不同取法有CCCC＋CCC＋CCC＋CCC＝472.‎ ‎（2012·陕西卷）两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有(　　)‎ A．10种 B．15种 C．20种 D．30种 ‎【答案】C　‎ ‎【解析】 本小题主要考查排列、组合的知识，解题的突破口为找出甲或乙赢的情况进列还是组合问题．‎ 由已知，该问题是排列中捆绑法的应用，即先把三个家庭看作三个不同元素进行全排列，而后每个家庭内部进行全排列，即不同坐法种数为A·A·A·A＝(3！)4.‎ ‎2012·课标全国卷）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有(　　)‎ A．12种 B．10种 C．9种 D．8种 ‎【答案】A　‎ ‎【解析】 分别从2名教师中选1名，4名学生中选2名安排到甲地参加社会实践活动即可，则乙地就安排剩下的教师与学生，故不同的安排方法共有CC＝12种．故选A.‎ ‎（2012·全国卷）将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有(　　)‎ A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 ‎【答案】A　‎ ‎【解析】 本小题主要考查排列组合的应用，解题的突破口为正确理解题意并进行合理分步．‎ 第一步排第一列，一定是一个a、一个b和一个c，共有A＝6种不同的排法，第二步果选到了0这个数，这个数不能放在首位，所以n＝CCA＋CC＝12＋6＝18；‎ 法二：(间接法)奇数的个数为n＝CCCA－CC＝18.‎ ‎（2012·安徽卷）6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品．已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为(　　)‎ A．1或3 B．1或4‎ C．2或3 D．2或4‎ ‎【答案】D　‎ ‎【解析】 本题考查组合数等计数原理．任意两个同学之间交换纪念品共要交换C＝15次，如果都完全交换，每个人都要交换5次，也就是得到5份纪念品，现在6个同学总共交换了13次，少交换了2次，这2次如果不涉及同一个人，则收到4份纪念品的同学人数有4人；如果涉及同一个人，则收到4份纪念品的同学人数有2人，答案为D.‎ ‎（2012·四川卷）方程ay＝b2x2＋c中的a，b，c∈{－3，－2,0,1,2,3}，且a，b，c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有(　　)‎ A．60条 B．62条 ‎ C．71条 D．80条 ‎【答案】B　‎ ‎【解析】 由于要表示抛物线，首先a、b均不能为0.‎ 又b要进行平方，且只需考虑不同情况，故b2在1,4,9中考虑．‎ ‎①c＝0时，若a取1，则b2可取4或9，得到2条不同的抛物线；‎ 若a取2,3，－2，－3任意一个，b2都有1,4,9三种可能，可得到4×3＝12条抛物线；‎ 以上共计14条不同的抛物线；‎ ‎②c≠0时，在{－3，－2,1,2,3}中任取3个作为a，b，c的值，有A＝60种情况，其中a ‎，想同时取4个不同的数其和为偶数，则取法有三类：‎ ‎①4个都是偶数：1种；‎ ‎②2个偶数，2个奇数：CC＝60种；‎ ‎③4个都是奇数：C＝5种．∴不同的取法共有66种．‎ ‎（2012·四川卷）(1＋x)7的展开式中x2的系数是(　　)‎ A．42 B．‎35 C．28 D．21‎ ‎【答案】D　‎ ‎【解析】 根据二项展开式的通项公式Tr＋1＝Cxr，取r＝2得x2的系数为C＝＝21.‎ ‎（2012·上海卷）在6的二项展开式中，常数项等于________．‎ ‎【答案】－160　‎ ‎【解析】 考查二项式定理，主要是二项式的通项公式的运用．‎ 由通项公式得Tr＋1＝Cx6－rr＝(－2)rCx6－2r，令6－2r＝0，解得r＝3，所以是第4项为常数项，T4＝(－2)‎3C＝－160.‎ ‎（2012·陕西卷）(a＋x)5展开式中x2的系数为10，则实数a的值为________．‎ ‎【答案】1　‎ ‎【解析】 本小题主要考查了二项式定理，解题的关键是写出二项展开式的通项公式．其 故选D.‎ ‎（2012·广东卷）6的展开式中x3的系数为________．(用数字作答)‎ ‎【答案】20　‎ ‎【解析】 本题考查二项展开式特定项的系数问题，解题关键是正确写出展开式的通项，Tr＋1＝Cx2(6－r)r＝Cx2(6－r)x－r＝Cx12－3r，令12－3r＝3，解得r＝3，所以x3的系数为：‎ C＝20.‎ ‎（2012·福建卷）(a＋x)4的展开式中x3的系数等于8，则实数a＝________.‎ ‎【答案】2　‎ ‎【解析】 本题考查二项展开式特定项的系数问题，解题关键是正确写出展开式的通项，该二项式的通项是Tr＋1＝Ca4－rxr, x3的系数为8，即令r＝3，所以Ca1＝8，所以‎4a＝8，所以a＝2.‎ ‎（2012·全国卷）若n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为________．‎ ‎【答案】56　‎ ‎【解析】 本小题主要考查二项式定理中通项公式的应用，解题的突破口为先利用二项 展开式中的常数项为－2＋5＝3.‎ ‎（2012·天津卷）在5的二项展开式中，x的系数为(　　)‎ A．10 B．－‎10 C．40 D．－40‎ ‎【答案】D　‎ ‎【解析】 本题考查二项式定理，考查运算求解能力，容易题．‎ Tk＋1＝C(2x2)5－kk＝(－1)kC25－kx10－3k，令10－3k＝1，即k＝3，‎ 此时x的系数为(－1)‎3C22＝－40.‎ ‎（2012·浙江卷）若将函数f(x)＝x5表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3＝________.‎ ‎【答案】10　【解析】 本题主要考查函数的解析式以及二项式定理．‎ 法一：由于f(x)＝x5＝5那么a3＝C(－1)2＝10，故应填10.‎ 法二：对等式f(x)＝x5＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5两边连续对x求导三次得：60x2＝‎6a3＋‎24a4(1＋x)＋‎60a5(1＋x)2，再运用赋值法，令x＝－1得：60＝‎6a3，即a3＝10.‎ 法三：由等式两边对应项系数相等．‎ 即⇒a3＝10.‎ ‎（2012·重庆卷）8的展开式中常数项为(　　)‎ A. B. C. D．105‎ ‎【2011高考真题】‎ ‎ (2011年高考天津卷理科5)在的二项展开式中，的系数为（ ）‎ A． 　　　B． 　　　C． 　　　　D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为,所以容易得C正确.‎ ‎(2011年高考湖北卷理科11)的展开式中含的项的系数为 （结果用数值表示）‎ 答案：17 ‎ 解析：由 令，解得r=2，故其系数为 ‎ (2011年高考全国卷理科13) (1-)20的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为 .‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】，令 所以x的系数为，‎ 故x的系数与的系数之差为-=0‎ ‎ (2011年高考江苏卷23)（本小题满分10分）‎ 设整数，是平面直角坐标系中的点，其中 ‎ （1）记为满足的点的个数，求；‎ ‎（2）记为满足是整数的点的个数，求 解析：考察计数原理、等差数列求和、分类讨论、归纳推理能力，较难题。‎ ‎（1）因为满足的每一组解构成一个点P,所以。‎ ‎（2）设，则 ‎【2010年高考真题】‎ ‎（2010全国卷2理数）（6）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有 ‎（A）12种 （B）18种 （C）36种 （D）54种 ‎【答案】B ‎【解析】标号1,2的卡片放入同一封信有种方法；其他四封信放入两个信封，每个信封两个有种方法，共有种，故选B.‎ ‎（2010江西理数）6. 展开式中不含项的系数的和为（ ）高☆考♂资♀源*网 A.-1 B‎.0 C.1 D.2‎ ‎【答案】B ‎【解析】考查对二项式定理和二项展开式的性质，重点考查实践意识和创新能力，体现正难则反。采用赋值法，令x=1得：系数和为1，减去项系数即为所求，答案为0.‎ ‎（2010重庆理数）(9)某单位安排7位员工在‎10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在‎10月1日，丁不排在‎10月7日，则不同的安排方案共有 A. 504种 B. 960种 C. 1008种 D. 1108种 ‎ ‎（2010四川理数）（10）由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是 ‎（A）72 （B）96 （C） 108 （D）144 ‎ 解析：先选一个偶数字排个位，有3种选法 ‎①若5在十位或十万位，则1、3有三个位置可排，3＝24个 ‎②若5排在百位、千位或万位，则1、3只有两个位置可排，共3＝12个 算上个位偶数字的排法，共计3(24＋12)＝108个 答案：C ‎（2010天津理数）(10) 如图，用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法用 ‎（A）288种 （B）264种 （C）240种 （D）168种 ‎【答案】D ‎【解析】本题主要考查排列组合的基础知识与分类讨论思想，属于难题。‎ B,D,E,F用四种颜色，则有种涂色方法；‎ B,D,E,F用三种颜色，则有种涂色方法；‎ B,D,E,F用两种颜色，则有种涂色方法；‎ 所以共有24+192+48=264种不同的涂色方法。‎ ‎（2010天津理数）（4）阅读右边的程序框图，若输出s的值为-7，则判断框内可填写 ‎(A)i＜3? （B）i＜4? （C）i＜5? （D）i＜6? ‎ ‎【答案】 D ‎【解析】 本题 主要考查条件语句与循环语句的基本应用，属于容易题。‎ 第一次执行循环体时S=1，i=3;第二次执行循环时s=-2，i=5；第三次执行循环体时s=-7.i=7，所以判断框内可填写“i<6?”,选D.‎ ‎（2010湖北理数）8、现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是 A．152 B‎.126 C.90 D.54‎ ‎【答案】B ‎【解析】分类讨论：若有2人从事司机工作，则方案有；若有1人从事司机工作，则方案有种，所以共有18+108=126种，故B正确。‎ ‎（2010全国卷2理数）（14）若的展开式中的系数是，则 ． ‎ 当r=4时，，因此常数项为-20+15=-5‎ ‎（2010江西理数）14.将6位志愿者分成4组，其中两个各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有 种（用数字作答）。‎ ‎【答案】 1080 ‎ ‎【解析】考查概率、平均分组分配问题等知识，重点考查化归转化和应用知识的意识。先分组，考虑到有2个是平均分组，得，再全排列得：。‎ ‎（2010四川理数）（13）的展开式中的第四项是 . ‎ 解析：T4＝‎ 答案：－‎ ‎（2010天津理数）（11）甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则这10天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为 和 。‎ ‎【答案】24，23‎ ‎（2010湖北理数）11、在（x+ ）的展开式中，系数为有理数的项共有_______项。‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】二项式展开式的通项公式为要使系数为有理数，则r必为4的倍数，所以r可为0.、4、8、12、16、20共6种，故系数为有理数的项共有6项.‎ ‎【2009年高考真题】‎ ‎（2009·广东理）2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 ‎ A. 36种 B. 12种 C. 18种 D. 48种 解析：分两类：若小张或小赵入选，则有选法；若小张、小赵都入选，则有选法，共有选法36种，选A. ‎ 答案：A ‎ ‎（2009·浙江理）在二项式的展开式中，含的项的系数是( ) . ‎ A． B． ‎ C． D． ‎ 答案：B ‎ 解析：对于，对于，则的项的系数是 ‎（2009·辽宁理）从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有 ‎（A）70种 （B） 80种 （C） 100种 （D）140种 ‎ ‎（2009·宁夏海南理）7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动。若每天安排3人，则不同的安排方案共有________________种（用数字作答）。‎ 解析：，答案：140‎ ‎（2009·天津理）用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有 个（用数字作答）‎ 答案：234‎ 解析：个位、十位和百位上的数字为3个偶数的有：种；个位、十位和百位上的数字为1个偶数2个奇数的有：种，所以共有个。‎ ‎（2009浙江理）观察下列等式：‎ ‎ ，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎ ，‎ ‎………‎ 由以上等式推测到一个一般的结论：‎ 对于， ．. ‎ 答案：‎ 解析：这是一种需类比推理方法破解的问题，结论由二项构成，第二项前有，二项指数分别为，因此对于，‎ ‎6.（2009·浙江理）甲、乙、丙人站到共有级的台阶上，若每级台阶最多站人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是 （用数字作答）．‎ 答案：336 ‎ 解析：对于7个台阶上每一个只站一人，则有种；若有一个台阶有2人，另一个是1人，则共有种，因此共有不同的站法种数是336种．. ‎ ‎【2008年高考真题】‎ ‎（2008·山东理）（x-）12展开式中的常数项为 ‎（A）-1320　　　　　　　　　　（B）1320　　　　　　　　（C）-220 (D)220‎ 解析：本题考查二项式定理及其应用 答案：C ‎（2008·海南、宁夏理）甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有（ ）‎ A．20种 B．30种 C．40种 D．60种 解析：分类计数：甲在星期一有种安排方法，甲在星期二有种安排方法，甲在星期三有种安排方法，总共有种 答案：A ‎（2008·山东理7）在某地的奥运火炬手传递活动中，有编号为的名火炬手。若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为 A． B． C． D．‎