2020年高中数学第二章平面与平面垂直的判定

2020年高中数学第二章平面与平面垂直的判定

‎2.3.2‎‎ 平面与平面垂直的判定 ‎[课时作业]‎ ‎[A组　基础巩固]‎ ‎1．下列说法：‎ ‎①二面角的大小是用平面角来度量的；‎ ‎②二面角的平面角的大小是由二面角的两个面的位置唯一确定的；‎ ‎③二面角的大小由其平面角的顶点在棱上的位置确定．‎ 其中正确说法的个数是(　　)‎ A．0　　　　B．‎1　‎　　　　C．2　　　　　D．3‎ 解析：由二面角的定义可知，①②正确；③不正确．‎ 答案：C ‎2．空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么有(　　)‎ A．平面ABC⊥平面ADC B．平面ABC⊥平面ADB C．平面ABC⊥平面DBC D．平面ADC⊥平面DBC 解析：∵AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，∴AD⊥平面BCD.又∵AD⊂平面ADC，∴平面ADC⊥平面DBC.‎ 答案：D ‎3．从空间一点P向二面角alβ的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角的平面角的大小是(　　)‎ A．60° B．120°‎ C．60°或120° D．不确定 解析：若点P在二面角内，则二面角的平面角为120°；若点P在二面角外，则二面角的平面角为60°.‎ 答案：C ‎4．已知直线a，b与平面α，β，γ，下列能使α⊥β成立的条件是(　　)‎ A．α⊥γ，β⊥γ B．α∩β＝a，b⊥a，b⊂β C．a∥β，a∥α D．a∥α，a⊥β 解析：由a∥α，知α内必有直线l与a平行．而a⊥β，‎ ‎∴l⊥β，∴α⊥β.‎ 答案：D ‎5.如图，在三棱锥PABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，点E，F，G 6‎ 分别是所在棱的中点，则下面结论中错误的是(　　)‎ A．平面EFG∥平面PBC B．平面EFG⊥平面ABC C．∠BPC是直线EF与直线PC所成的角 D．∠FEG是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角 解析：由于易知FG∥平面PBC，GE∥平面PBC，且FG∩GE＝G，‎ 故平面EFG∥平面PBC，A正确；‎ 由题意知PC⊥平面ABC，FG∥PC，‎ 所以FG⊥平面ABC，故平面EFG⊥平面ABC，B正确；‎ 根据异面直线所成的角定义可知，C正确；‎ 而D中，FE不垂直于AB，故∠FEG不是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角，故选D.‎ 答案：D ‎6．已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为2，则侧面与底面所成的二面角等于________．‎ 解析：正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为2，则底面边长为2，底面积为12，所以正四棱锥的高为3，所以侧面与底面所成的二面角的正切值tan α＝，故所求的二面角为60°.‎ 答案：60°‎ ‎7．如果规定：x＝y，y＝z，则x＝z，叫作x，y，z关于相等关系具有传递性，那么空间三个平面α，β，γ关于相交、垂直、平行这三种关系中具有传递性的是________．‎ 解析：由平面与平面的位置关系及两个平面平行、垂直的定义、判定定理，知平面平行具有传递性，相交、垂直都不具有传递性．‎ 答案：平行 ‎8．如图，在圆锥PO中，AB是⊙O的直径，C是上的点，D为AC的中点．证明：平面POD⊥平面PAC.‎ 证明：如图，连接OC，因为OA＝OC，‎ D是AC的中点，所以AC⊥OD.‎ 又PO⊥底面ABC，AC⊂底面ABC，所以AC⊥PO.‎ 6‎ 因为OD，PO是平面POD内的两条相交直线，‎ 所以AC⊥平面POD.又AC⊂平面PAC，‎ 所以平面POD⊥平面PAC.‎ ‎9.如图所示，把等腰直角三角形ABC沿斜边AB旋转至△ABD的位置，使CD＝AC，‎ ‎(1)求证：平面ABD⊥平面ABC；‎ ‎(2)求二面角CBDA的余弦值．‎ 解析：(1)证明：取AB中点O，连接OD、OC，‎ 则有OD⊥AB，OC⊥AB，即∠COD是二面角CABD的平面角．‎ 设AC＝a，则OC＝OD＝a.‎ 又CD＝AD＝AC，∴CD＝a，‎ ‎∴△COD是直角三角形，即∠COD＝90°.∴二面角是直二面角，即平面ABD⊥平面ABC.‎ ‎(2)取BD的中点E，连接CE、OE.‎ ‎∵△BCD为正三角形，∴CE⊥BD.‎ 又△BOD为等腰直角三角形，∴OE⊥BD.‎ ‎∴∠OEC为二面角CBDA的平面角．‎ 由(1)可证明OC⊥平面ABD，∴OC⊥OE.‎ ‎∴△COE为直角三角形．‎ 设BC＝b，则CE＝b，OE＝b.‎ ‎∴cos∠OEC＝＝.‎ ‎[B组　能力提升]‎ ‎1．在正方体ABCDA1B‎1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD 所成二面角A1BDA的正切值为(　　)‎ A. B． C. D． 解析：如图所示，连接AC交BD于点O，连接A1O，O为BD中点，‎ ‎∵A1D＝A1B，‎ ‎∴在△A1BD中，A1O⊥BD.‎ 又∵在正方形ABCD中，AC⊥BD.‎ ‎∴∠A1OA为二面角A1BDA的平面角．‎ 设AA1＝1，则AO＝.‎ 6‎ ‎∴tan∠A1OA＝＝.‎ 答案：C ‎2.如图，在四面体PABC中，AB＝AC，PB＝PC，D，E，F分别是棱AB，BC，CA的中点，则下列结论中不一定成立的是(　　)‎ A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAE C．平面PDF⊥平面PAE D．平面PDF⊥平面ABC 解析：因为D，F分别为AB，AC的中点，则DF为△ABC的中位线，则BC∥DF，依据线面平行的判定定理，可知BC∥平面PDF，A成立．又E为BC的中点，且PB＝PC，AB＝AC，则BC⊥PE，BC⊥AE，依据线面垂直的判定定理，可知BC⊥平面PAE.因为BC∥DF，所以DF⊥平面PAE，B成立．又DF⊂平面PDF，则平面PDF⊥平面PAE，C成立．要使平面PDF⊥平面ABC，已知AE⊥DF，则必须有AE⊥PD或AE⊥PF，由条件知此垂直关系不一定成立，故选D.‎ 答案：D ‎3．如图，平面ABC⊥平面BDC，∠BAC＝∠BDC＝90°，且AB＝AC＝a，则AD＝________.‎ 解析：取BC中点M，则AM⊥BC，由题意得AM⊥平面BDC，‎ ‎∴△AMD为直角三角形，‎ AM＝MD＝a.∴AD＝a×＝a.‎ 答案：a ‎4.如图，二面角αlβ的大小是60°，线段AB⊂α，B∈l，AB与l所成的角为30°，则AB与平面β所成的角的正弦值是________．‎ 解析：如图，作AO⊥β于O，‎ AC⊥l于C，连接OB，OC，‎ 则OC⊥l.‎ 设AB与β所成的角为θ，则∠ABO＝θ，由图得sin θ＝＝· 6‎ ‎＝sin 30°·sin 60°＝.‎ 答案： ‎5.如图所示，已知四棱锥 PABCD中，底面四边形为正方形，侧面PDC为正三角形，且平面PDC⊥底面ABCD，E为PC的中点．‎ 求证：平面EDB⊥平面PBC.‎ 证明：如图所示，取DC的中点F，连接PF，∵△PDC为正三角形，‎ ‎∴PF⊥CD.‎ ‎∵面PDC⊥底面ABCD，交线为DC，∴PF⊥底面ABCD.‎ ‎∵BC⊂底面ABCD，∴PF⊥BC.‎ ‎∵四边形ABCD为正方形，‎ ‎∴BC⊥CD.∵CD∩PF＝F，∴BC⊥平面PDC.‎ ‎∵DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE.‎ ‎∵E为PC的中点，∴DE⊥PC.‎ 又∵PC∩BC＝C，PC⊂平面PBC，BC⊂平面PBC，‎ ‎∴DE⊥平面PBC.‎ 又DE⊂平面EDB，∴平面EDB⊥平面PBC.‎ ‎6.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD＝90°，AD∥BC，AB＝BC＝1，AD＝2，PA⊥底面ABCD，PD与底面成45°角，点E是PD的中点．‎ ‎(1)求证：BE⊥PD.‎ ‎(2)求二面角PCDA的余弦值．‎ 解析：(1)证明：连接AE.‎ ‎∵PA⊥底面ABCD，‎ ‎∴∠PDA是PD与底面ABCD所成的角，∴∠PDA＝45°.∴PA＝DA.‎ 又∵点E是PD的中点，∴AE⊥PD.‎ ‎∵PA⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，‎ ‎∴PA⊥AB.‎ ‎∵∠BAD＝90°，∴BA⊥DA.‎ 又∵PA∩AD＝A，∴BA⊥平面PDA.‎ 又∵PD⊂平面PDA，∴BA⊥PD.‎ 又∵BA∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.‎ ‎∵BE⊂平面ABE，∴BE⊥PD.‎ ‎(2)连接AC.在直角梯形ABCD中，‎ 6‎ AB＝BC＝1，AD＝2，‎ ‎∴AC＝CD＝.∵AC2＋CD2＝AD2，‎ ‎∴AC⊥CD.‎ 又∵PA⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，‎ ‎∴PA⊥CD.‎ ‎∵AC∩PA＝A，∴CD⊥平面PAC.‎ 又∵PC⊂平面PAC，∴PC⊥CD，‎ ‎∴∠PCA为二面角PCDA的平面角．‎ 在Rt△PCA中，PC＝＝＝.‎ ‎∴cos∠PCA＝＝＝.‎ ‎∴所求的二面角的余弦值为.‎ 6‎