2017-2018学年广东省揭阳市普宁华美实验学校高二下学期期中考试数学（理）试题（Word版）

2017-2018学年广东省揭阳市普宁华美实验学校高二下学期期中考试数学（理）试题（Word版）

‎2017-2018学年广东省揭阳市普宁华美实验学校高二下学期期中考试数学（理）试题 ‎ ‎ ‎ 考试时间：120分钟；满分：150分；‎ ‎ 注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确答案填涂在答题卷上）‎ ‎1．设为虚数单位，则复数（ ） A. 0 B. ‎2 ‎ C. D. ‎ ‎2．命题“若a＞b，则a＋c＞b＋c”的否命题是(　　)‎ A. 若a≤b，则a＋c≤b＋c B. 若a＋c≤b＋c，则a≤b C. 若a＋c＞b＋c，则a＞b D. 若a＞b，则a＋c≤b＋c ‎3．方程的解集为(　　)‎ A. {4} B. {14} C. {14,2} D. {4,6}‎ ‎4．在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为,若,则△ABC的面积为（ ）‎ A. B. ‎1 C. D. 2‎ ‎5．从5名志愿者中选派4人在星期六和星期日参加公益活动，每人一天，每天两人，则不同的 选派方法共有（ ） A. 60种 B. 48种 C. 30种 D. 10种 ‎6．中，角成等差数列，则（ ）‎ A. B. ‎1 C. D. ‎ ‎7．已知函数，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎8．已知圆： ， ： ，动圆满足与外切且与内切，若为上的动点，且，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎9．某学校计划在周一至周四的艺术节上展演《雷雨》《茶馆》《天籁》《马蹄声碎》四部话剧，每天一部，受多种因素影响，话剧《雷雨》不能在周一和周四上演，《茶馆》不能在周一和周三上演，《天籁》不能在周三和周四上演，《马蹄声碎》不能在周一和周四上演，那么下列说法正确的是（ ）‎ A. 《雷雨》只能在周二上演 B. 《茶馆》可能在周二或周四上演 C. 周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》 D. 四部话剧都有可能在周二上演 ‎10．用数学归纳法证明 过程中：假设时，不等式成立，则需证当时， 也成立，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11．己知曲线上存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于零，‎ ‎ 则实数的取值范围为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12．已知表面积为100的球内接一个圆锥，则该圆锥体积的最大值为 A. B. C. D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知为坐标原点， ，若，则的坐标是__________．‎ ‎14．设满足，则的最大值是_____.‎ ‎15．如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活 动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为_______________.‎ ‎16．设函数，对任意的，不等式恒成立，则正数的取值范围是__________．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明或演算步骤.）‎ ‎17．（10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以为极点，‎ 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为 ．‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）设直线与曲线相交于两点，求的值．‎ ‎18．（12分）已知是数列{}的前项和，.‎ ‎（Ⅰ）求数列{}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）已知=，求数列{}的前项和.‎ ‎19．（12分）已知函数． ‎ 求的极值；若在区间上单调递减，求实数m的取值范围．‎ ‎20．（12分）如图，在四棱锥中， 底面， ，‎ ‎ ∥， ， ． ‎ ‎（1）求证：平面 平面; ‎ ‎（2）若棱上存在一点，使得二 面角的余弦值为，‎ 求与平面所成角的正弦值．‎ ‎21．（12分）已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆的离心率为，且经过点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）是否存在过点的直线与相交于不同的两点，满足？‎ 若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎22．已知函数.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若恒成立，求实数的取值范围.‎ 高二级理科数学期中考试 答案 参考答案 ‎1．C 2．A 3．D 4．A5．C 6．B7．B8．A9．C10．C11．A 12．B ‎8. 【解析】∵圆： ，圆： ， 动圆满足与外切且与内切，设圆的半径为 ， 由题意得 ∴则的轨迹是以（ 为焦点，长轴长为16的椭圆， ∴其方程为 因为，即为圆 的切线，要的最小，只要最小，设，则 ‎ ‎ ，选A.‎ ‎12【解析】设球的半径为，内接圆锥的底面半径为，高为，由题意知，，解得=5，则球心到圆锥底面的距离为，所以，所以该圆锥的体积为，设，则 =()，所以= =，当时，＞0，当时，＜0‎ ‎，所以当时，=，故选B．‎ ‎13． 14．5 15．18 16．‎ ‎【解析】当时， ， 时，函数有最小值，当时， ，则函数在上单调递增；当时， ，则函数在上单调递减， 时，函数有最大值，则有，‎ ‎， 恒成立且， ，故答案为.‎ ‎17．（1）（2）‎ ‎【解析】（1）将方程消去参数得，‎ ‎∴曲线的普通方程为，‎ 将代入上式可得，‎ ‎∴曲线的极坐标方程为：．‎ ‎（2）设两点的极坐标方程分别为,‎ 由消去得，‎ 根据题意可得是方程的两根，‎ ‎∴，∴． ‎ ‎18．（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎（Ⅰ）∵， ‎ 当时，，解得=1，……2分 当时，，‎ ‎∴，………………4分 ‎∴数列{}是首项为1，公比为3的等比数列，‎ ‎∴.………………6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，=，…………7分 ‎∴=，①‎ ‎=，②………………9分 ‎②得，=‎ ‎==…………………………11分 ‎∴.……………………12分 ‎19．（1） 极大值为，极小值为；（2）.‎ ‎，‎ ‎1和4别是的两根，‎ 根据单调性可知极大值为，极小值为.‎ 由上得，‎ 由．‎ 故的单调递减区间为，，‎ 解得：m的取值范围： ．‎ ‎20．（1）见解析（2）‎ ‎【解析】（1）证明： ∥‎ ‎ ‎ ‎ 平面, 平面 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 平面 ‎ 平面 ‎ 平面 平面 ‎ ‎（2）解: 以为坐标原点，以， ， 所在射线分别为轴建立空间直角坐标系如图所示，则,由点C向AB作垂线CH, 则,‎ ‎ ‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 设.‎ ‎∵在棱上，‎ ‎∴（）‎ ‎∴‎ 设平面的法向量, ‎ ‎∴, ，取，则，则. ‎ 设平面的法向量, ‎ ‎∴， ，取则.‎ ‎∴ ‎ ‎∴， ，解得.‎ ‎∴， ‎ 易知平面的法向量，所以与平面所成角的正弦值.‎ ‎21．(1) ;(2) .‎ ‎【解析】（Ⅰ）设椭圆的方程为 由得，则 ‎ 所以的方程为且经过点 则，解得 ‎ 故椭圆的方程为 ‎ ‎（Ⅱ）假设存在符合题意的直线，‎ 由题意直线存在斜率，设直线的方程为，‎ 由，消去得 ‎ ‎ 由得，解得 ‎ 设， ，则， ‎ 由得 ‎ 则 ‎ 即 所以 整理得，解得 ‎ 又，所以 故存在直线满足条件，其方程为，即 ‎ ‎22．(1)答案见解析；(2) .‎ ‎【解析】（1）由题得， 的定义域为，‎ 当时， 恒成立，‎ 故在区间上单调递减，无递增区间；‎ 当，由，得，‎ 由，得.‎ 所以的单调递减区间为，单调递增区间为.‎ ‎（2）若恒成立，‎ 即在区间上的最小值大于等于0，‎ 由（1）可知，当时， 恒成立，‎ 即在区间上单调递减，‎ 故在区间上的最小值为，‎ 由，得，故，‎ 当时，‎ 若，即时， 对恒成立，‎ 所以在区间 上单调递减，‎ 则在区间上的最小值为，‎ 显然的区间上的最小值大于等于0成立.‎ ‎②若，即时，则有 ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 极小值 所以在区间上的最小值为，‎ 由，得，‎ 解得，即.综上所述，实数的取值范围是.‎