2020届二轮复习　随机事件及其概率课件（全国通用）

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第十一章 概率与统计 §11.1 随机事件及其概率 高考理数 考点　事件与概率 1.事件的分类 2.频率与概率 (1)频数与频率:在相同条件 S 下进行 n 次试验,观察某一事件 A 是否出现, 则称在 n 次试验中事件 A 出现的次数 n A 为事件 A 出现的频数;事件 A 出现 的比例 f n ( A )=   为事件 A 出现的频率. (2)概率:对于给定的随机事件 A ,如果随着试验次数 n 的增加,事件 A 发生 确定 事件 必然事件 一般地,我们把在条件 S 下,一定会发生的事件 叫做相对于条件 S 的必然事件 不可能 事件 在条件 S 下,一定不会发生的事件叫做相对于 条件 S 的不可能事件 随机事件 在条件 S 下,① 　可能发生也可能不发生     的事件叫做相对于条件 S 的随机事件 知识清单 的频率 f n ( A ) 稳定在某个常数上 , 则把这个常数记作 P ( A ), 称为事件 A 的概 率 . 3. 事件的关系与运算 (1) 包含关系 : 一般地 , 对于事件 A 与事件 B , 如果事件 A 发生 , 则事件 B 一定 发生 , 这时称事件 B 包含事件 A ( 或称事件 A 包含于事件 B ), 记作 B ⊇ A ( 或 A ⊆ B ). (2) 相等关系 : 一般地 , 若 B ⊆ A 且 A ⊆ B , 则事件 A 与事件 B 相等 , 记作 A = B . 内容解读 表示 并事件 若某事件发生当且仅当事件 A 或事件 B 发生,则称该事件为事件 A 与事件 B 的并事件(或和事件) A ∪ B (或 A + B ) 交事件 若某事件发生当且仅当事件 A 发生且事件 B 发生,则称该事件为事件 A 与事件 B 的交事件(或积事件) A ∩ B (或 AB ) 互斥事件 若 A ∩ B 为不可能事件( A ∩ B = ⌀ ),则称事件 A 与事件 B ② 　 互斥     A ∩ B = ⌀ 对立事件 若 A ∩ B 为不可能事件,而 A ∪ B 为必然事件,那么事件 A 与事件 B 互为③ 　对立事件     A ∩ B = ⌀ 且 A ∪ B = U ( U 为全集) (3) 几种运算的比较 4.概率的基本性质 (1)任何事件的概率都在0~1之间,即0 ≤ P ( A ) ≤ 1.必然事件的概率为1,不 可能事件的概率为0. (2)当事件 A 与事件 B 互斥时, P ( A ∪ B )= P ( A )+ P ( B ). (3)对立事件的概率之和为1,即若事件 A 与事件 B 对立,则 P ( A )+ P ( B )=1. 1.补全或列出频率分布表.可直接依据已知条件,逐一计数,写出频率. 2.由频率估计概率.可以根据频率与概率的关系,由频率直接估计概率. 3.由频率估计某部分的数值.可由频率估计概率,再由概率估算某部分的 数值. 随机事件的频率与概率的常见类型及解题策略 方法 1 方法技巧 例 1    (2015 陕西 ,19,12 分 ) 设某校新、老校区之间开车单程所需时间 为 T , T 只与道路畅通状况有关 , 对其容量为 100 的样本进行统计 , 结果如 下 : (1)求 T 的分布列与数学期望 ET ; (2)刘教授驾车从老校区出发,前往新校区作一个50分钟的讲座,结束后 立即返回老校区,求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过 120分钟的概率. T (分钟) 25 30 35 40 频数(次) 20 30 40 10 解析　(1)由统计结果可得 T 的频率分布为 　　以频率估计概率得 T 的分布列为 T (分钟) 25 30 35 40 频率 0.2 0.3 0.4 0.1 T 25 30 35 40 P 0.2 0.3 0.4 0.1 从而 ET =25 × 0.2+30 × 0.3+35 × 0.4+40 × 0.1=32( 分钟 ). (2) 设 T 1 , T 2 分别表示往、返所需时间 , T 1 , T 2 的取值相互独立 , 且与 T 的分布 列相同 . 设事件 A 表示“刘教授共用时间不超过 120 分钟” , 由于讲座时间为 50 分钟 , 所以事件 A 对应于“刘教授在路途中的时间不超过 70 分钟” . 解法一 : P ( A )= P ( T 1 + T 2 ≤ 70)= P ( T 1 =25, T 2 ≤ 45)+ P ( T 1 =30, T 2 ≤ 40)+ P ( T 1 =35, T 2 ≤ 35)+ P ( T 1 =40, T 2 ≤ 30) =0.2 × 1+0.3 × 1+0.4 × 0.9+0.1 × 0.5=0.91. 解法二 : P (   )= P ( T 1 + T 2 >70)= P ( T 1 =35, T 2 =40)+ P ( T 1 =40, T 2 =35)+ P ( T 1 =40, T 2 = 40)=0.4 × 0.1+0.1 × 0.4+0.1 × 0.1=0.09. 故 P ( A )=1- P (   )=0.91. 评析    (1)用频率估计概率求解;(2)将问题转化为求“刘教授在路途中 的时间不超过70分钟”的概率,可直接求解也可间接来求. 1.直接求法:将所求事件分解为一些彼此互斥的事件的和,运用互斥事件 概率的加法公式计算. 2.间接求法:先求此事件的对立事件的概率,再用公式 P ( A )=1- P (   )求得, 即运用逆向思维(正难则反),特别是“至多”“至少”型题目,用间接求 法较简便. 提醒:应用互斥事件概率的加法公式的前提是确定各个事件是否彼此互 斥. 互斥事件、对立事件的概率问题的解题方法 方法 2 例2    (2017江苏南京高三综合复习)某银行柜台有从左到右编号依次为1,2,3,4,5,6的六个服务窗口,其中1,2,3,4,5号服务窗口办理 A 类业务,6号服务窗口办理 B 类业务. (1)每天12:00至14:00,由于需要办理 A 类业务的顾客较少,现从1,2,3,4,5号服务窗口中随机选择2个窗口暂停服务,求“1号窗口或2号窗口暂停服务”的概率; (2)经统计,在6号窗口办理 B 类业务的等候人数及相应概率如下: 排队人数 0 1 2 3 4 4人以上 概　率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 　　求至少2人排队等候的概率. 解析　(1)由题意可知,随机选择2个窗口暂停服务有如下基本事件(( i , j ) 表示第 i , j 号窗口暂停服务):(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3, 5),(4,5), 因此,共有10个基本事件. 记“1号窗口或2号窗口暂停服务”为事件 A ,事件 A 包括: (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5), 因此,共有7个基本事件,故 P ( A )=   . 答:1号窗口或2号窗口暂停服务的概率为   . (2)将事件“6号窗口办理 B 类业务的等候人数为 k ”记为 B k ( k ∈N),则事 件 B k 两两互斥. 记事件“至少2人排队等候”为 B ,则“排队等候人数为0或1”为事件   ,所以 P (   )= P ( B 0 )+ P ( B 1 )=0.1+0.16=0.26, 所以 P ( B )=1- P (   )=1-0.26=0.74. 答:至少2人排队等候的概率为0.74.