四川省南充市白塔中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（文）试题 含解析

四川省南充市白塔中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（文）试题 含解析

‎2019-2020学年四川省南充高中高二（上）期中数学试卷（文科）‎ 一、选择题（本大题共12小题）‎ 1. 某学校有小学生125人，初中生280人，高中生95人，为了调查学生的身体状况，需要从他们当中抽取一个容量为100的样本，较为恰当的抽样方法是 A. 简单随机抽样 B. 分层抽样 C. 系统抽样 D. 以上都不对 2. 下列函数为偶函数的是 A. B. C. D. ‎ 3. 已知等差数列，若，，则的前7项和等于 A. 112 B. ‎51 ‎C. 28 D. 18‎ 4. 已知向量，，若，则实数 A. B. C. 3 D. ‎ 5. 下图是一个边长为4的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷400个点，其中落入黑色部分的有225个点，据此可估计黑色部分的面积为 ‎ A. 8 B. ‎9 ‎C. 10 D. 12‎ 6. 袋中装有白球3个，黑球4个，从中任取3个，下列事件是对立事件的为 A. 恰好一个白球和全是白球 B. 至少有一个白球和全是黑球 C. 至少有一个白球和至少有2个白球 D. 至少有一个白球和至少有一个黑球 7. 某中学从甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩满分100分的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的众数是83，乙班学生成绩的平均数是86，则的值为 A. 7 B. ‎8 ‎C. 9 D. 10 ‎ 8. 某校为了了解全校高中学生十一小长假参加实践活动的情况，抽查了100名学生，统计他们假期参加实践活动的时间，绘成的频率分布直方图如图所示，估计这100名学生参加实践活动时间的中位数是 A. B. C. D. 7‎ 1. 宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的 A. 5 B. ‎4 ‎C. 3 D. 2 ‎ 2. 已知一个样本为x，1，y，5，其中x，y是方程组的解，则这个样本的标准差是 A. 2 B. ‎5 ‎C. D. ‎ 3. 已知圆O：，直线l：设圆O上到直线l的距离等于1的点的个数为k，则 A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ 4. 过点斜率为k的直线l与曲线有公共点，则实数k的取值范围是 A. B. C. D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题）‎ 5. 已知两点1，，b，关于坐标平面xOy对称，则______．‎ 6. 过点且与直线平行的直线方程是______．‎ 7. 圆C：关于直线对称的圆的标准方程是______．‎ 8. 已知A、B两点分别在两直线：，：上运动，是线段AB的中点，且，则点与点连线的斜率取值范围是______．‎ 三、解答题（本大题共6小题）‎ 9. 已知关于x，y的方程C： 若方程C表示圆，求m的取值范围； 若圆C与圆外切，求m的值． ‎ 1. 南充高中扎实推进阳光体育运动，积极引导学生走向操场，走进大自然，参加体育锻炼，每天上午第三节课后全校大课间活动时长35分钟．现为了了解学生的体育锻炼时间，采用简单随机抽样法抽取了100名学生，对其平均每日参加体育锻炼的时间单位：分钟进行调查，按平均每日体育锻炼时间分组统计如表：‎ 分组 男生人数 ‎2‎ ‎16‎ ‎19‎ ‎18‎ ‎5‎ ‎3‎ 女生人数 ‎3‎ ‎20‎ ‎10‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎1‎ 若将平均每日参加体育锻炼的时间不低于120分钟的学生称为“锻炼达人”． 将频率视为概率，估计我校7000名学生中“锻炼达人”有多少？ 从这100名学生的“锻炼达人”中按性别分层抽取5人参加某项体育活动． 求男生和女生各抽取了多少人； 若从这5人中随机抽取2人作为组长候选人，求抽取的2人中男生和女生各1人的概率． ‎ 2. 已知的顶点，AB边上的中线CM所在直线方程为，AC边上的高BH所在直线方程为求： 直线BC的斜截式方程； 的面积． ‎ 3. 随着人们经济收入的不断增加，个人购买家庭轿车已不再是一种时尚．车的使用费用，尤其是随着使用年限的增多，所支出的费用到底会增长多少，一直是购车一族非常关心的问题．某汽车销售公司做了一次抽样调查，并统计得出某款车的使用年限x与所支出的总费用万元有如表的数据资料：‎ 使用年限x ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 总费用y 求线性回归方程； 估计使用年限为12年时，使用该款车的总费用是多少万元？ 线性回归方程中斜率和截距用最小二乘法估计计算公式如下： ，．‎ ‎ ‎ 1. 如图，AB为半圆O的直径，点C为半圆上一点，，平面ABC，D为PA中点，． 求证：； 求点D到平面PBC的距离． ‎ ‎ ‎ 2. 已知的三顶点坐标分别为，，． 求的外接圆圆M的方程； 已知动点P在直线上，过点P作圆M的两条切线PE、PF，切点分别为E、F． 记四边形PEMF的面积为S，求S的最小值； 证明直线EF恒过定点． ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】B ‎ ‎【解析】解：因为该校小学生，初中生，和高中生的身体状况差异较大，适合用分层抽样． 故选：B． 根据分层抽样的定义可知，该校小学生，初中生，和高中生的身体状况差异较大，适合用分层抽样． 本题主要考查抽样方法的选择，分层抽样主要适用于差异比较明显的样本． 2.【答案】B ‎ ‎【解析】解：根据的图象知，该函数为非奇非偶函数，该选项错误； B.为偶函数，该选项正确； C.，为奇函数，该选项错误； D.时，；时，；该函数不是偶函数，该选项错误． 故选：B． 容易判断为非奇非偶函数，为奇函数，并可通过分别求，1时的y值，而说明不是偶函数，从而判断出A，C，D都错误，而B的函数是偶函数，从而选B． 考查偶函数的定义，奇函数和非奇非偶函数的定义，举反例说明一个函数不是偶函数的方法． 3.【答案】C ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查等差数列的前7项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．利用等差数列通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出的前7项的和． 【解答】 解：等差数列，，， ， 解得，， 的前7项的和为：． 故选：C． 4.【答案】B ‎ ‎【解析】解：， ，解得． 故选：B． 根据及向量的坐标即可得出，解出m即可． 本题考查了平行向量的坐标关系，考查了计算能力，属于基础题． 5.【答案】B ‎ ‎【解析】解：边长为4的正方形二维码面积为，设图中黑色部分的面积为S， 则， 解得， 据此估计黑色部分的面积为9． 故选：B ‎． 计算正方形二维码的面积，利用面积比等于对应的点数比求得黑色部分的面积． 本题考查了用模拟实验的方法估计概率的应用算问题，是基础题． 6.【答案】B ‎ ‎【解析】解：袋中装有白球3个，黑球4个，从中任取3个， 恰好一个白球和全是白球不能同时发生，但能同时不发生， 恰好一个白球和全是白球是互斥但不对立事件，故A错误； 至少有一个白球和全是黑球不能同时发生，也不能同时不发生， 至少有一个白球和全是黑球是对立事件，故B正确； 至少有一个白球和至少有2个白球能同时发生， 至少有一个白球和至少有2个白球不是互斥事件，故C错误； 至少有一个白球和至少有一个黑球能同时发生， 至少有一个白球和至少有一个黑球不是互斥事件，故D错误． 故选：B． 由已知条件利用互斥事件、对立事件的定义直接求解． 本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件、互斥事件的定义的合理运用． 7.【答案】B ‎ ‎【解析】解：由茎叶图可知，茎为8时，甲班学生成绩对应数据只能是83，，85，因为甲班学生成绩众数是83，所以83出现的次数最多，可知． 由茎叶图可知乙班学生的总分为， 又乙班学生的平均分是86， 总分又等于所以，解得， 可得． 故选：B． 对甲组数据进行分析，得出x的值，利用平均数求出y的值，解答即可． 本题主要考查统计中的众数与平均数的概念．解题时分别对甲组数据和乙组数据进行分析，分别得出x，y的值，进而得到的值． 8.【答案】A ‎ ‎【解析】解：因为在频率分布直方图中，中位数两侧的面积相等，所以， 可解出， 故选：A． 由中位数两侧的面积相等，可解出中位数． 本题主要考查频率分布直方图，中位数，属于基础题． 9.【答案】B ‎ ‎【解析】解：当时，，，满足进行循环的条件， 当时，，满足进行循环的条件， 当时，，满足进行循环的条件， 当时，，不满足进行循环的条件， 故输出的n值为4， 故选：B． 由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答． ‎ ‎10.【答案】D ‎ ‎【解析】解：根据题意，x，y是方程组的解， 则样本x，1，y，5中，有，其平均数， 其方差， 则标准差， 故选：D． 根据题意，分析可得数据的平均数，由方差公式计算可得，进而计算可得答案． 本题考查数据的平均数、方差的计算，关键是掌握数据平均数、方差的计算公式，属于基础题． 11.【答案】D ‎ ‎【解析】解：由圆的方程得到圆心，半径， 圆心O到直线l的距离，且， 圆O上到直线l的距离等于1的点的个数为4，即． 故选：D． 找出圆O的圆心坐标与半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心O到直线l的距离d，根据d与r的大小关系及的值，即可作出判断． 此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，弄清题意是解本题的关键． 12.【答案】A ‎ ‎【解析】解：由题意有，曲线方程可化为，其轨迹为直线上方的半圆含与的交点，圆心为半径， 直线l的方程为：，即， 作出图象： 当直线l与半圆相切时， 解得或交点在下方，舍去 当直线经过点时， 故选：A． 由曲线方程得出该曲线为半圆，作出图象，然后根据图象可得，相切时有最小值，经过点时有最大值． 本题主要考查直线与圆的位置关系、直线的斜率，属于基础题． 13.【答案】 ‎ ‎【解析】解：两点1，，b，关于坐标平面xOy对称， ，， 则． 故答案为：． 与点b，关于平面xoy对称的点的坐标为b，． 本题考查代数式值的求法，考查空间直角坐标系中对称点的坐标等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 14.【答案】 ‎ ‎【解析】解：直线的斜率是，所求直线的斜率是 所以所求直线方程：，即 故答案为： ‎ 先求直线的斜率，利用点斜式求出直线方程． 本题考查两条直线平行的判定，直线的点斜式方程，是基础题． 15.【答案】 ‎ ‎【解析】解：圆化为：， 圆心O坐标是， 半径， 直线，与这条直线的垂线斜率为垂线的方程应该是， 将圆心代入方程， 得到经过O点到直线的垂线方程是： 垂足是， 那么对称点的坐标是， 所以求出对称圆的圆心坐标，半径， 得到对称圆方程： ． 故答案是：． 只要求出已知圆的圆心坐标关于直线的对称点的坐标，求出半径就可以得到对称圆的方程． 本题是基础题，考查对称圆的方程问题，重点在于求出对称圆的圆心坐标和半径，本题考查函数和方程的思想，注意垂直条件的应用． 16.【答案】 ‎ ‎【解析】解：设、，则中点 是线段AB的中点，，． ，， ， 则， 设，则， ， 易知函数在上单调递减，在上单调递减， 当时，，， 故的范围为， 故答案为：． 设、，表示出点P的坐标，根据，可得，由于则，设，则，构造函数，求出函数的值域即可． 本题考查了中点坐标公式，函数的值域得求法，函数的单调性，属于中档题． 17.【答案】解：把方程C：，配方得：， 若方程C表示圆，则，解得； 把圆化为标准方程得：，得到圆心坐标，半径为4，则两圆心间的距离， 因为两圆的位置关系是外切，所以即，解得． ‎ ‎【解析】把方程C：，配方得：，若方程C表示圆，则，即可求m的取值范围； 两圆的位置关系是外切，所以，即可求m的值． 本题考查圆的方程，考查圆与圆的位置关系，正确计算是关键． 18.【答案】解：由表可知，100名学生中“锻炼达人”的人数为10人， 将频率视为概率，我校7000名学生中“锻炼达人”的人数为人 由知100名学生中的“锻炼达人”有10人，其中男生8人，女生2人． 从10人中按性别分层抽取5人参加体育活动，则男生抽取4人，女生抽取1‎ 人． 抽取的5人中有4名男生和1名女生，四名男生一次编号为男1，男2，男3，男4， 则5人中随机抽取2人的所有结果有： 男1男2，男1男3，男1 男4，男1女，男2男3，男2男4，男2女，男3男4，男3女，男4女．共有10种结果， 且每种结果发生的可能性相等． 记“抽取的2人中男生和女生各1人”为事件A， 则事件A包含的结果有男1女，男2女，男3女，男4女，共4个， 故抽取的2人中男生和女生各1人的概率． ‎ ‎【解析】名学生中“锻炼达人”的人数为10人，由此能求出我校7000名学生中“锻炼达人”的人数． 名学生中的“锻炼达人”有10人，其中男生8人，女生2人．从10人中按性别分层抽取5人参加体育活动，能求出男生，女生各抽取多少人． 抽取的5人中有4名男生和1名女生，四名男生一次编号为男1，男2，男3，男4，5人中随机抽取2人，利用列举法能求出抽取的2人中男生和女生各1人的概率． 本题考查频数、概率的求法，考查列举法、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 19.【答案】解：设点，则点，由已知有，B在高线BH上，M在中线CM上， 故有． 故点． 同理可得点，故直线BC的斜率为， 故直线BC的方程为，化为斜截式方程为． 由知， 直线BC的一般式方程为，BC边上的高，即点A到直线BC的距离，为， 三角形ABC的面积为． ‎ ‎【解析】设点，由题意利用三角形中线的性质求出B的坐标，同理可得C的坐标，可得BC斜率，再利用点斜式求出直线BC的的方程． 先求出线段BC的长度，再利用点到直线的距离公式求出点A到直线BC的距离h，从而求得的面积． 本题主要考查两条直线垂直的性质，用点斜式求直线的方程，点到直线的距离公式的应用，属于基础题． 20.【答案】解：，， ，， ， ． 所求线性回归方程为； 当时，． 即使用12年的车的总费用大概为万元． ‎ ‎【解析】由已知表格中的数据求得与的值，则线性回归方程可求； 在中求得的线性回归方程中，取求得y值即可． 本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题． 21.【答案】解：因为平面ABC，所以， 又因为AB为半圆O的直径，所以， 又，故BC平面PAC，所以； 由知平面PAC，又平面PBC，故平面平面PAC ‎， 而平面平面，作于点E，连接BE，则平面PBC， 故DE的长度就是点D到平面PBC的距离． 由题意有 由与相似有， 即，所以． ‎ ‎【解析】利用线面关系可得平面PAC，所以； 根据题意作于点E，可判断出DE的长度就是点D到平面PBC的距离．再由相似三角形对应成比例求出DE即可． 本题考查平面立体几何中线面垂直，点到面的距离等知识点，属于中档题． 22.【答案】解：设的外接圆圆M的标准方程为， 根据题意有， 故所求的圆M的方程为； 圆M的圆心，半径为2， ，故当最小时，S最小． 的最小值即为点到直线的距离，故； 证明：由圆的切线性质有，则，P，E，M，F四点共圆， 该圆是以PM为直径的圆，设圆心为点点P是直线上一动点，设， 则圆N的方程为， 则圆M与圆N相交于点E，F， 由，消去，得直线EF的方程为， 即，令得， 故直线EF恒过定点． ‎ ‎【解析】设圆M的方程为，分别代入A，B，C三点，解方程可得a，b，r，可得所求圆M的方程； 由三角形的面积公式可得，结合勾股定理和点到直线的距离公式，可得所求最小值； 判断四点P，E，M，F共圆，求得以PM为直径的圆的方程和圆M方程，相减可得直线EF的方程，再由直线恒过定点的求法，可得所求定点． 本题考查圆的方程和应用，考查直线和圆相切的性质，以及直线恒过定点的求法，考查化简运算能力，属于中档题． ‎