高考卷 天津市高考数学卷（文科）

高考卷 天津市高考数学卷（文科）

2017 年天津市高考数学试卷（文科） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5 分）设集合 A={1，2，6}，B={2，4}，C={1，2，3，4}，则（A∪B）∩C= （ ） A．{2} B．{1，2，4} C．{1，2，4，6} D．{1，2，3，4，6} 2．（5 分）设 x ∈ R，则“2﹣x≥0”是“|x﹣1|≤1”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（5 分）有 5 支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从 这 5 支彩笔中任取 2 支不同颜色的彩笔，则取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的概 率为（ ） A． B． C． D． 4．（5 分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入 N 的值为 19，则输 出 N 的值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（5 分）已知双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的右焦点为 F，点 A 在双曲线 的渐近线上，△OAF 是边长为 2 的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为 （ ） A． B． C． D． 6．（5 分）已知奇函数 f（x）在 R 上是增函数．若 a=﹣f（ ），b=f（log24.1）， c=f（20.8），则 a，b，c 的大小关系为（ ） A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b 7．（5 分）设函数 f（x）=2sin（ωx+φ），x ∈ R，其中ω＞0，|φ|＜π．若 f（ ） =2，f（ ）=0，且 f（x）的最小正周期大于 2π，则（ ） A．ω= ，φ= B．ω= ，φ=﹣ C．ω= ，φ=﹣ D．ω= ，φ= 8．（5 分）已知函数 f（x）= ，设 a ∈ R，若关于 x 的不等式 f（x） ≥| +a|在 R 上恒成立，则 a 的取值范围是（ ） A．[﹣2，2] B． C． D． 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 9．（5 分）已知 a ∈ R，i 为虚数单位，若 为实数，则 a 的值为 ． 10．（5 分）已知 a ∈ R，设函数 f（x）=ax﹣lnx 的图象在点（1，f（1））处的切线 为 l，则 l 在 y 轴上的截距为 ． 11．（5 分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积 为 18，则这个球的体积为 ． 12．（5 分）设抛物线 y2=4x 的焦点为 F，准线为 l．已知点 C 在 l 上，以 C 为圆心 的圆与 y 轴的正半轴相切于点 A．若∠FAC=120°，则圆的方程为 ． 13．（5 分）若 a，b ∈ R，ab＞0，则 的最小值为 ． 14．（5 分）在△ABC 中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若 =2 ， =λ ﹣ （λ ∈ R），且 =﹣4，则λ的值为 ． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，证明过程或演 算步骤． 15．（13 分）在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c．已知 asinA=4bsinB， ac= （a2﹣b2﹣c2）． （Ⅰ）求 cosA 的值； （Ⅱ）求 sin（2B﹣A）的值． 16．（13 分）电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已 知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如 下表所示： 连续剧播放时长（分钟） 广告播放时长（分钟） 收视人次（万） 甲 70 5 60 乙 60 5 25 已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于 600 分钟，广告的总播 放时间不少于 30 分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的 2 倍．分别用 x，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数． （I）用 x，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； （II）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？ 17．（13 分）如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，AD⊥平面 PDC，AD∥BC，PD⊥PB， AD=1，BC=3，CD=4，PD=2． （Ⅰ）求异面直线 AP 与 BC 所成角的余弦值； （Ⅱ）求证：PD⊥平面 PBC； （Ⅲ）求直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值． 18．（13 分）已知{an}为等差数列，前 n 项和为 Sn（n ∈ N*），{bn}是首项为 2 的 等比数列，且公比大于 0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1，S11=11b4． （Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式； （Ⅱ）求数列{a2nbn}的前 n 项和（n ∈ N*）． 19．（14 分）设 a，b ∈ R，|a|≤1．已知函数 f（x）=x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，g （x）=exf（x）． （Ⅰ）求 f（x）的单调区间； （Ⅱ）已知函数 y=g（x）和 y=ex 的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线， （i）求证：f（x）在 x=x0 处的导数等于 0； （ii）若关于 x 的不等式 g（x）≤ex 在区间[x0﹣1，x0+1]上恒成立，求 b 的取值 范围． 20．（14 分）已知椭圆 + =1（a＞b＞0）的左焦点为 F（﹣c，0），右顶点为 A，点 E 的坐标为（0，c），△EFA 的面积为 ． （I）求椭圆的离心率； （II）设点 Q 在线段 AE 上，|FQ|= c，延长线段 FQ 与椭圆交于点 P，点 M，N 在 x 轴上，PM∥QN，且直线 PM 与直线 QN 间的距离为 c，四边形 PQNM 的面 积为 3c． （i）求直线 FP 的斜率； （ii）求椭圆的方程． 2017 年天津市高考数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5 分）（2017•天津）设集合 A={1，2，6}，B={2，4}，C={1，2，3，4}，则 （A∪B）∩C=（ ） A．{2} B．{1，2，4} C．{1，2，4，6} D．{1，2，3，4，6} 【考点】1E：交集及其运算；1D：并集及其运算．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；37 ：集合思想；4O：定义法；5J ：集合． 【分析】由并集定义先求出 A∪B，再由交集定义能求出（A∪B）∩C． 【解答】解：∵集合 A={1，2，6}，B={2，4}，C={1，2，3，4}， ∴（A∪B）∩C={1，2，4，6}∩{1，2，3，4}={1，2，4}． 故选：B． 【点评】本题考查并集和交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集 和交集定义的合理运用． 2．（5 分）（2017•天津）设 x ∈ R，则“2﹣x≥0”是“|x﹣1|≤1”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．菁优网版 权所有 【专题】38 ：对应思想；4O：定义法；5L ：简易逻辑． 【分析】求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【解答】解：由 2﹣x≥0 得 x≤2， 由|x﹣1|≤1 得﹣1≤x﹣1≤1， 得 0≤x≤2． 则“2﹣x≥0”是“|x﹣1|≤1”的必要不充分条件， 故选：B 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合充分条件和必要条件的 定义以及不等式的性质是解决本题的关键． 3．（5 分）（2017•天津）有 5 支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、 蓝、绿、紫．从这 5 支彩笔中任取 2 支不同颜色的彩笔，则取出的 2 支彩笔中含 有红色彩笔的概率为（ ） A． B． C． D． 【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；5I ：概率与统计． 【分析】先求出基本事件总数 n= =10，再求出取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔 包含的基本事件个数 m= =4，由此能求出取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的 概率． 【解答】解：有 5 支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫， 从这 5 支彩笔中任取 2 支不同颜色的彩笔， 基本事件总数 n= =10， 取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔包含的基本事件个数 m= =4， ∴取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的概率为 p= = ． 故选：C． 【点评】本小题主要考查概率、古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解 能力和推理论证能力，是基础题． 4．（5 分）（2017•天津）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入 N 的值 为 19，则输出 N 的值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【考点】EF：程序框图．菁优网版 权所有 【专题】39 ：运动思想；4O：定义法；5K ：算法和程序框图． 【分析】根据程序框图，进行模拟计算即可． 【解答】解：第一次 N=19，不能被 3 整除，N=19﹣1=18≤3 不成立， 第二次 N=18，18 能被 3 整除，N= =6，N=6≤3 不成立， 第三次 N=6，能被 3 整除，N═ =2≤3 成立， 输出 N=2， 故选：C 【点评】本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件进行模拟计算是解决本 题的关键． 5．（5 分）（2017•天津）已知双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的右焦点为 F， 点 A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为 2 的等边三角形（O 为原点），则双 曲线的方程为（ ） A． B． C． D． 【考点】KC：双曲线的简单性质．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；5D ：圆锥曲线的定义、 性质与方程． 【分析】利用三角形是正三角形，推出 a，b 关系，通过 c=2，求解 a，b，然后 等到双曲线的方程． 【解答】解：双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的右焦点为 F，点 A 在双曲线的 渐近线上，△OAF 是边长为 2 的等边三角形（O 为原点）， 可得 c=2， ，即 ， ， 解得 a=1，b= ，双曲线的焦点坐标在 x 轴，所得双曲线方程为： ． 故选：D． 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力． 6．（5 分）（2017•天津）已知奇函数 f（x）在 R 上是增函数．若 a=﹣f（ ）， b=f（log24.1），c=f（20.8），则 a，b，c 的大小关系为（ ） A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b 【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．菁优网版 权所有 【专题】33 ：函数思想；4O：定义法；51 ：函数的性质及应用． 【分析】根据奇函数 f（x）在 R 上是增函数，化简 a、b、c，即可得出 a，b，c 的大小． 【解答】解：奇函数 f（x）在 R 上是增函数， ∴a=﹣f（ ）=f（log25）， b=f（log24.1）， c=f（20.8）， 又 1＜20.8＜2＜log24.1＜log25， ∴f（20.8）＜f（log24.1）＜f（log25）， 即 c＜b＜a． 故选：C． 【点评】本题考查了函数的奇偶性与单调性的应用问题，是基础题． 7．（5 分）（2017•天津）设函数 f（x）=2sin（ωx+φ），x ∈ R，其中ω＞0，|φ|＜π．若 f（ ）=2，f（ ）=0，且 f（x）的最小正周期大于 2π，则（ ） A．ω= ，φ= B．ω= ，φ=﹣ C．ω= ，φ=﹣ D．ω= ，φ= 【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；38 ：对应思想；4R：转化法；57 ：三角函数的图像与 性质． 【分析】由题意求得 ，再由周期公式求得ω，最后由若 f（ ）=2 求得φ值． 【解答】解：由 f（x）的最小正周期大于 2π，得 ， 又 f（ ）=2，f（ ）=0，得 ， ∴T=3π，则 ，即 ． ∴f（x）=2sin（ωx+φ）=2sin（ x+φ）， 由 f（ ）= ，得 sin（φ+ ）=1． ∴φ+ = ，k ∈ Z． 取 k=0，得φ= ＜π． ∴ ，φ= ． 故选：A． 【点评】本题考查由三角函数的部分图象求解析式，考查 y=Asin（ωx+φ）型函 数的性质，是中档题． 8．（5 分）（2017•天津）已知函数 f（x）= ，设 a ∈ R，若关于 x 的 不等式 f（x）≥| +a|在 R 上恒成立，则 a 的取值范围是（ ） A．[﹣2，2] B． C． D． 【考点】5B：分段函数的应用．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；31 ：数形结合；51 ：函数的性质及应用． 【分析】根据题意，作出函数 f（x）的图象，令 g（x）=| +a|，分析 g（x）的 图象特点，将不等式 f（x）≥| +a|在 R 上恒成立转化为函数 f（x）的图象在 g （x）上的上方或相交的问题，分析可得 f（0）≥g（0），即 2≥|a|，解可得 a 的取值范围，即可得答案． 【解答】解：根据题意，函数 f（x）= 的图象如图： 令 g（x）=| +a|，其图象与 x 轴相交与点（﹣2a，0）， 在区间（﹣∞，﹣2a）上为减函数，在（﹣2a，+∞）为增函数， 若不等式 f（x）≥| +a|在 R 上恒成立，则函数 f（x）的图象在 g（x）上的上方或相交， 则必有 f（0）≥g（0）， 即 2≥|a|， 解可得﹣2≤a≤2， 故选：A． 【点评】本题考查分段函数的应用，关键是作出函数 f（x）的图象，将函数的恒 成立问题转化为图象的上下位置关系． 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 9．（5 分）（2017•天津）已知 a ∈ R，i 为虚数单位，若 为实数，则 a 的值为 ﹣ 2 ． 【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．菁优网版 权所有 【专题】35 ：转化思想；4O：定义法；5N ：数系的扩充和复数． 【分析】运用复数的除法法则，结合共轭复数，化简 ，再由复数为实数的条 件：虚部为 0，解方程即可得到所求值． 【解答】解：a ∈ R，i 为虚数单位， = = = ﹣ i 由 为实数， 可得﹣ =0， 解得 a=﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查复数的乘除运算，注意运用共轭复数，同时考查复数为实数的 条件：虚部为 0，考查运算能力，属于基础题． 10．（5 分）（2017•天津）已知 a ∈ R，设函数 f（x）=ax﹣lnx 的图象在点（1，f （1））处的切线为 l，则 l 在 y 轴上的截距为 1 ． 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；52 ：导数的概念及应用． 【分析】求出函数的导数，然后求解切线斜率，求出切点坐标，然后求解切线方 程，推出 l 在 y 轴上的截距． 【解答】解：函数 f（x）=ax﹣lnx，可得 f′（x）=a﹣ ，切线的斜率为：k=f′（1） =a﹣1， 切点坐标（1，a），切线方程 l 为：y﹣a=（a﹣1）（x﹣1）， l 在 y 轴上的截距为：a+（a﹣1）（﹣1）=1． 故答案为：1． 【点评】本题考查曲线的切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力． 11．（5 分）（2017•天津）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正 方体的表面积为 18，则这个球的体积为 ． 【考点】LG：球的体积和表面积．菁优网版 权所有 【专题】34 ：方程思想；4O：定义法；5F ：空间位置关系与距离． 【分析】根据正方体和球的关系，得到正方体的体对角线等于直径，结合球的体 积公式进行计算即可． 【解答】解：设正方体的棱长为 a， ∵这个正方体的表面积为 18， ∴6a2=18， 则 a2=3，即 a= ， ∵一个正方体的所有顶点在一个球面上， ∴正方体的体对角线等于球的直径， 即 a=2R， 即 R= ， 则球的体积 V= π•（ ）3= ； 故答案为： ． 【点评】本题主要考查空间正方体和球的关系，利用正方体的体对角线等于直径， 结合球的体积公式是解决本题的关键． 12．（5 分）（2017•天津）设抛物线 y2=4x 的焦点为 F，准线为 l．已知点 C 在 l 上，以 C 为圆心的圆与 y 轴的正半轴相切于点 A．若∠FAC=120°，则圆的方程为 （x+1）2+ =1 ． 【考点】J1：圆的标准方程．菁优网版 权所有 【专题】35 ：转化思想；49 ：综合法；5B ：直线与圆． 【分析】根据题意可得 F（﹣1，0），∠FAO=30°，OA= =1，由此求得 OA 的值，可得圆心 C 的坐标以及圆的半径，从而求得圆 C 方程． 【解答】解：设抛物线 y2=4x 的焦点为 F（1，0），准线 l：x=﹣1，∵点 C 在 l 上， 以 C 为圆心的圆与 y 轴的正半轴相切与点 A， ∵∠FAC=120°，∴∠FAO=30°，∴OA= = =1，∴OA= ，∴A（0， ）， 如图所示： ∴ C （ ﹣ 1 ， ）， 圆 的 半 径 为 CA=1 ， 故 要 求 的 圆 的 标 准 方 程 为 ， 故答案为：（x+1）2+ =1． 【点评】本题主要考查求圆的标准方程的方法，抛物线的简单几何性质，属于中 档题． 13．（5 分）（2017•天津）若 a，b ∈ R，ab＞0，则 的最小值为 4 ． 【考点】7F：基本不等式．菁优网版 权所有 【专题】34 ：方程思想；4R：转化法；5T ：不等式． 【分析】【方法一】两次利用基本不等式，即可求出最小值，需要注意不等式等 号成立的条件是什么． 【方法二】将 拆成 + ，利用柯西不等式求出最小值． 【解答】解：【解法一】a，b ∈ R，ab＞0， ∴ ≥ = =4ab+ ≥2 =4， 当且仅当 ， 即 ， 即 a= ，b= 或 a=﹣ ，b=﹣ 时取“=”； ∴上式的最小值为 4． 【解法二】a，b ∈ R，ab＞0， ∴ = + + + ≥4 =4， 当且仅当 ， 即 ， 即 a= ，b= 或 a=﹣ ，b=﹣ 时取“=”； ∴上式的最小值为 4． 故答案为：4． 【点评】本题考查了基本不等式的应用问题，是中档题． 14．（5 分）（2017•天津）在△ABC 中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若 =2 ， =λ ﹣ （λ ∈ R），且 =﹣4，则λ的值为 ． 【考点】9R：平面向量数量积的运算．菁优网版 权所有 【专题】34 ：方程思想；4O：定义法；5A ：平面向量及应用． 【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用 、 表示出 ， 再根据平面向量的数量积 列出方程求出λ的值． 【解答】解：如图所示， △ABC 中，∠A=60°，AB=3，AC=2， =2 ， ∴ = + = + = + （ ﹣ ） = + ， 又 =λ ﹣ （λ ∈ R）， ∴ =（ + ）•（λ ﹣ ） =（ λ﹣ ） • ﹣ + λ =（ λ﹣ ）×3×2×cos60°﹣ ×32+ λ×22=﹣4， ∴ λ=1， 解得λ= ． 故答案为： ． 【点评】本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是中档题． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，证明过程或演 算步骤． 15．（13 分）（2017•天津）在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c．已 知 asinA=4bsinB，ac= （a2﹣b2﹣c2）． （Ⅰ）求 cosA 的值； （Ⅱ）求 sin（2B﹣A）的值． 【考点】HX：解三角形．菁优网版 权所有 【专题】15 ：综合题；33 ：函数思想；4A ：数学模型法；58 ：解三角形． 【分析】（Ⅰ）由正弦定理得 asinB=bsinA，结合 asinA=4bsinB，得 a=2b．再由 ，得 ，代入余弦定理的推论可求 cosA 的 值； （Ⅱ）由（Ⅰ）可得 ，代入 asinA=4bsinB，得 sinB，进一步求得 cosB．利 用倍角公式求 sin2B，cos2B，展开两角差的正弦可得 sin（2B﹣A）的值． 【解答】（Ⅰ）解：由 ，得 asinB=bsinA， 又 asinA=4bsinB，得 4bsinB=asinA， 两式作比得： ，∴a=2b． 由 ，得 ， 由余弦定理，得 ； （Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得 ，代入 asinA=4bsinB，得 ． 由（Ⅰ）知，A 为钝角，则 B 为锐角， ∴ ． 于是 ， ， 故 ． 【点评】本题考查三角形的解法，考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用， 是中档题． 16．（13 分）（2017•天津）电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时， 需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放 时长、收视人次如下表所示： 连续剧播放时长（分钟） 广告播放时长（分钟） 收视人次（万） 甲 70 5 60 乙 60 5 25 已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于 600 分钟，广告的总播 放时间不少于 30 分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的 2 倍．分别用 x，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数． （I）用 x，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； （II）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？ 【考点】7D：简单线性规划的应用．菁优网版 权所有 【专题】12 ：应用题；38 ：对应思想；44 ：数形结合法；59 ：不等式的解法 及应用． 【分析】（Ⅰ）直接由题意结合图表列关于 x，y 所满足得不等式组，化简后即可 画出二元一次不等式所表示的平面区域； （Ⅱ）写出总收视人次 z=60x+25y．化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合 得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案． 【解答】（Ⅰ）解：由已知，x，y 满足的数学关系式为 ，即 ． 该二元一次不等式组所表示的平面区域如图： （Ⅱ）解：设总收视人次为 z 万，则目标函数为 z=60x+25y． 考虑 z=60x+25y，将它变形为 ，这是斜率为 ，随 z 变化的一族平 行直线． 为直线在 y 轴上的截距，当 取得最大值时，z 的值最大． 又∵x，y 满足约束条件， ∴由图可知，当直线 z=60x+25y 经过可行域上的点 M 时，截距 最大，即 z 最 大． 解方程组 ，得点 M 的坐标为（6，3）． ∴电视台每周播出甲连续剧 6 次、乙连续剧 3 次时才能使总收视人次最多． 【点评】本题考查解得线性规划的应用，考查数学建模思想方法及数形结合的解 题思想方法，是中档题． 17．（13 分）（2017•天津）如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，AD⊥平面 PDC，AD∥ BC，PD⊥PB，AD=1，BC=3，CD=4，PD=2． （Ⅰ）求异面直线 AP 与 BC 所成角的余弦值； （Ⅱ）求证：PD⊥平面 PBC； （Ⅲ）求直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值． 【考点】MI：直线与平面所成的角．菁优网版 权所有 【专题】14 ：证明题；35 ：转化思想；44 ：数形结合法；5F ：空间位置关系 与距离． 【分析】（Ⅰ）由已知 AD∥BC，从而∠DAP 或其补角即为异面直线 AP 与 BC 所 成的角，由此能求出异面直线 AP 与 BC 所成角的余弦值． （Ⅱ）由 AD⊥平面 PDC，得 AD⊥PD，由 BC∥AD，得 PD⊥BC，再由 PD⊥PB， 得到 PD⊥平面 PBC． （Ⅲ）过点 D 作 AB 的平行线交 BC 于点 F，连结 PF，则 DF 与平面 PBC 所成的角 等于 AB 与平面 PBC 所成的角，由 PD⊥平面 PBC，得到∠DFP 为直线 DF 和平面 PBC 所成的角，由此能求出直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值． 【解答】解：（Ⅰ）如图，由已知 AD∥BC， 故∠DAP 或其补角即为异面直线 AP 与 BC 所成的角． 因为 AD⊥平面 PDC，所以 AD⊥PD． 在 Rt△PDA 中，由已知，得 ， 故 ． 所以，异面直线 AP 与 BC 所成角的余弦值为 ． 证明：（Ⅱ）因为 AD⊥平面 PDC，直线 PD ⊂ 平面 PDC， 所以 AD⊥PD． 又因为 BC∥AD，所以 PD⊥BC， 又 PD⊥PB，所以 PD⊥平面 PBC． 解：（Ⅲ）过点 D 作 AB 的平行线交 BC 于点 F，连结 PF， 则 DF 与平面 PBC 所成的角等于 AB 与平面 PBC 所成的角． 因为 PD⊥平面 PBC，故 PF 为 DF 在平面 PBC 上的射影， 所以∠DFP 为直线 DF 和平面 PBC 所成的角． 由于 AD∥BC，DF∥AB，故 BF=AD=1， 由已知，得 CF=BC﹣BF=2．又 AD⊥DC，故 BC⊥DC， 在 Rt△DCF 中，可得 ． 所以，直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值为 ． 【点评】本小题主要考查两条异面直线所成的角、直线与平面垂直、直线与平面 所成的角等基础知识．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力，是中 档题． 18．（13 分）（2017•天津）已知{an}为等差数列，前 n 项和为 Sn（n ∈ N*），{bn} 是首项为 2 的等比数列，且公比大于 0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1，S11=11b4． （Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式； （Ⅱ）求数列{a2nbn}的前 n 项和（n ∈ N*）． 【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；54 ：等差数列与等比数 列． 【分析】（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为 d，等比数列{bn}的公比为 q．通过 b2+b3=12，求出 q，得到 ．然后求出公差 d，推出 an=3n﹣2． （Ⅱ）设数列{a2nbn}的前 n 项和为 Tn，利用错位相减法，转化求解数列{a2nbn} 的前 n 项和即可． 【解答】（Ⅰ）解：设等差数列{an}的公差为 d，等比数列{bn}的公比为 q．由已 知 b2+b3=12，得 ，而 b1=2，所以 q2+q﹣6=0．又因为 q＞0，解得 q=2．所以， ． 由 b3=a4﹣2a1，可得 3d﹣a1=8． 由 S11=11b4，可得 a1+5d=16，联立①②，解得 a1=1，d=3， 由此可得 an=3n﹣2． 所以，{an}的通项公式为 an=3n﹣2，{bn}的通项公式为 ． （ Ⅱ ） 解 ： 设 数 列 {a2nbn} 的 前 n 项 和 为 Tn ， 由 a2n=6n ﹣ 2 ， 有 ， ， 上 述 两 式 相 减 ， 得 = ． 得 ． 所以，数列{a2nbn}的前 n 项和为（3n﹣4）2n+2+16． 【点评】本题考查等差数列以及等比数列通项公式的求法，数列求和，考查转化 思想以及计算能力． 19．（14 分）（2017•天津）设 a，b ∈ R，|a|≤1．已知函数 f（x）=x3﹣6x2﹣3a（a ﹣4）x+b，g（x）=exf（x）． （Ⅰ）求 f（x）的单调区间； （Ⅱ）已知函数 y=g（x）和 y=ex 的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线， （i）求证：f（x）在 x=x0 处的导数等于 0； （ii）若关于 x 的不等式 g（x）≤ex 在区间[x0﹣1，x0+1]上恒成立，求 b 的取值 范围． 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版 权所有 【专题】16 ：压轴题；33 ：函数思想；4R：转化法；53 ：导数的综合应用． 【分析】（Ⅰ）求出函数 f（x）的导函数，得到导函数的零点，由导函数的零点 对定义域分段，列表后可得 f（x）的单调区间； （Ⅱ）（i）求出 g（x）的导函数，由题意知 ，求解可得 ．得 到 f（x）在 x=x0 处的导数等于 0； （ii）由（I）知 x0=a．且 f（x）在（a﹣1，a）内单调递增，在（a，a+1）内单 调递减，故当 x0=a 时，f（x）≤f（a）=1 在[a﹣1，a+1]上恒成立，从而 g（x） ≤ex 在[x0﹣1，x0+1]上恒成立．由 f（a）=a3﹣6a2﹣3a（a﹣4）a+b=1，得 b=2a3 ﹣6a2+1，﹣1≤a≤1．构造函数 t（x）=2x3﹣6x2+1，x ∈ [﹣1，1]，利用导数求其 值域可得 b 的范围． 【解答】（Ⅰ）解：由 f（x）=x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，可得 f'（x）=3x2﹣12x ﹣3a（a﹣4）=3（x﹣a）（x﹣（4﹣a））， 令 f'（x）=0，解得 x=a，或 x=4﹣a．由|a|≤1，得 a＜4﹣a． 当 x 变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表： x （﹣∞，a） （a，4﹣a） （4﹣a，+∞） f'（x） + ﹣ + f（x） ↗ ↘ ↗ ∴f（x）的单调递增区间为（﹣∞，a），（4﹣a，+∞），单调递减区间为（a，4 ﹣a）； （Ⅱ）（i）证明：∵g'（x）=ex（f（x）+f'（x）），由题意知 ， ∴ ，解得 ． ∴f（x）在 x=x0 处的导数等于 0； （ii）解：∵g（x）≤ex，x ∈ [x0﹣1，x0+1]，由 ex＞0，可得 f（x）≤1． 又∵f（x0）=1，f'（x0）=0， 故 x0 为 f（x）的极大值点，由（I）知 x0=a． 另一方面，由于|a|≤1，故 a+1＜4﹣a， 由（Ⅰ）知 f（x）在（a﹣1，a）内单调递增，在（a，a+1）内单调递减， 故当 x0=a 时，f（x）≤f（a）=1 在[a﹣1，a+1]上恒成立，从而 g（x）≤ex 在[x0 ﹣1，x0+1]上恒成立． 由 f（a）=a3﹣6a2﹣3a（a﹣4）a+b=1，得 b=2a3﹣6a2+1，﹣1≤a≤1． 令 t（x）=2x3﹣6x2+1，x ∈ [﹣1，1]， ∴t'（x）=6x2﹣12x， 令 t'（x）=0，解得 x=2（舍去），或 x=0． ∵t（﹣1）=﹣7，t（1）=﹣3，t（0）=1，故 t（x）的值域为[﹣7，1]． ∴b 的取值范围是[﹣7，1]． 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了利用研究过曲线上某点处 的切线方程，训练了恒成立问题的求解方法，体现了数学转化思想方法，是压轴 题． 20．（14 分）（2017•天津）已知椭圆 + =1（a＞b＞0）的左焦点为 F（﹣c， 0），右顶点为 A，点 E 的坐标为（0，c），△EFA 的面积为 ． （I）求椭圆的离心率； （II）设点 Q 在线段 AE 上，|FQ|= c，延长线段 FQ 与椭圆交于点 P，点 M，N 在 x 轴上，PM∥QN，且直线 PM 与直线 QN 间的距离为 c，四边形 PQNM 的面 积为 3c． （i）求直线 FP 的斜率； （ii）求椭圆的方程． 【考点】KL：直线与椭圆的位置关系；K3：椭圆的标准方程．菁优网版 权所有 【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；5D ：圆锥曲线的定义、 性质与方程． 【分析】（Ⅰ）设椭圆的离心率为 e．通过 ．转化求解椭圆的离心率． （Ⅱ）（ⅰ）依题意，设直线 FP 的方程为 x=my﹣c（m＞0），则直线 FP 的斜率为 ． 通 过 a=2c ， 可 得 直 线 AE 的 方 程 为 ， 求 解 点 Q 的 坐 标 为 ．利用|FQ|= ，求出 m，然后求解直线 FP 的斜率． （ii）求出椭圆方程的表达式你，求出直线 FP 的方程为 3x﹣4y+3c=0，与椭圆方 程联立通过 ，结合直线 PM 和 QN 都垂直于直线 FP．结 合四边形 PQNM 的面积为 3c，求解 c，然后求椭圆的方程． 【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的离心率为 e．由已知，可得 ．又由 b2=a2 ﹣c2，可得 2c2+ac﹣a2=0，即 2e2+e﹣1=0．又因为 0＜e＜1，解得 ． 所以，椭圆的离心率为 ； （Ⅱ）（ⅰ）依题意，设直线 FP 的方程为 x=my﹣c（m＞0），则直线 FP 的斜率为 ． 由（Ⅰ）知 a=2c，可得直线 AE 的方程为 ，即 x+2y﹣2c=0，与直线 FP 的方程联立，可解得 ，即点 Q 的坐标为 ． 由已知|FQ|= ，有 ，整理得 3m2﹣4m=0，所 以 ，即直线 FP 的斜率为 ． （ii）解：由 a=2c，可得 ，故椭圆方程可以表示为 ． 由（i）得直线 FP 的方程为 3x﹣4y+3c=0，与椭圆方程联立 消去 y， 整理得 7x2+6cx﹣13c2=0，解得 （舍去），或 x=c．因此可得点 ， 进而可得 ，所以 ．由已知， 线段 PQ 的长即为 PM 与 QN 这两条平行直线间的距离，故直线 PM 和 QN 都垂直 于直线 FP． 因为 QN⊥FP，所以 ，所以¡÷FQN 的面积为 ，同理¡÷FPM 的面积等于 ，由四边形 PQNM 的面积为 3c，得 ，整理得 c2=2c，又由 c＞0，得 c=2． 所以，椭圆的方程为 ． 【点评】本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查 转化思想以及计算能力． 参与本试卷答题和审题的老师有：zlzhan；maths；qiss；742048；sxs123；danbo7801； 双曲线；caoqz（排名不分先后） 菁优网 2017 年 7 月 30 日 考点卡片 1．并集及其运算 【知识点的认识】 由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素的组成的集合叫做 A 与 B 的并集，记作 A ∪B． 符号语言：A∪B={x|x ∈ A 或 x ∈ B}． 图形语言： ． A∪B 实际理解为：①x 仅是 A 中元素；②x 仅是 B 中的元素；③x 是 A 且是 B 中 的元素． 运算形状： ①A∪B=B∪A．②A∪ ∅ =A．③A∪A=A．④A∪B ⊇ A，A∪B ⊇ B．⑤A∪B=B ⇔ A ⊆ B．⑥ A∪B= ∅ ，两个集合都是空集．⑦A∪（CUA）=U．⑧CU（A∪B）=（CUA）∩（CUB）． 【解题方法点拨】解答并集问题，需要注意并集中：“或”与“所有”的理解．不能 把“或”与“且”混用；注意并集中元素的互异性．不能重复． 【命题方向】掌握并集的表示法，会求两个集合的并集，命题通常以选择题、填 空题为主，也可以与函数的定义域，值域联合命题． 2．交集及其运算 【知识点的认识】 由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素组成的集合叫做 A 与 B 的交集，记作 A ∩B． 符号语言：A∩B={x|x ∈ A，且 x ∈ B}． A∩B 实际理解为：x 是 A 且是 B 中的相同的所有元素． 当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交 集． 运算形状： ①A∩B=B∩A．②A∩ ∅ = ∅ ．③A∩A=A．④A∩B ⊆ A，A∩B ⊆ B．⑤A∩B=A ⇔ A ⊆ B．⑥ A∩B= ∅ ，两个集合没有相同元素．⑦A∩（ ∁ UA）= ∅ ．⑧ ∁ U（A∩B）=（ ∁ UA）∪ （ ∁ UB）． 【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能 把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩 图． 【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集． 命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、 复合函数的单调性等联合命题． 3．必要条件、充分条件与充要条件的判断 【知识点的认识】 正确理解和判断充分条件、必要条件、充要条件和非充分非必要以及原命题、 逆命题否命题、逆否命题的概念是本节的重点；掌握逻辑推理能力和语言互译能 力，对充要条件概念本质的把握是本节的难点． 1．充分条件：对于命题“若 p 则 q”为真时，即如果 p 成立，那么 q 一定成立， 记作“p ⇒ q”，称 p 为 q 的充分条件．意义是说条件 p 充分保证了结论 q 的成立， 换句话说要使结论 q 成立，具备条件 p 就够了当然 q 成立还有其他充分条件．如 p：x≥6，q：x＞2，p 是 q 成立的充分条件，而 r：x＞3，也是 q 成立的充分条 件． 必要条件：如果 q 成立，那么 p 成立，即“q ⇒ p”，或者如果 p 不成立，那么 q 一 定不成立，也就是“若非 p 则非 q”，记作“￢p ⇒ ￢q”，这是就说条件 p 是 q 的必 要条件，意思是说条件 p 是 q 成立的必须具备的条件． 充要条件：如果既有“p ⇒ q”，又有“q ⇒ p”，则称条件 p 是 q 成立的充要条件，或 称条件 q 是 p 成立的充要条件，记作“p ⇔ q”． 2．从集合角度看概念： 如果条件 p 和结论 q 的结果分别可用集合 P、Q 表示，那么 ①“p ⇒ q”，相当于“P ⊆ Q”．即：要使 x ∈ Q 成立，只要 x ∈ P 就足够了﹣﹣有它就行． ②“q ⇒ p”，相当于“P ⊇ Q”，即：为使 x ∈ Q 成立，必须要使 x ∈ P﹣﹣缺它不行． ③“p ⇔ q”，相当于“P=Q”，即：互为充要的两个条件刻画的是同一事物． 3．当命题“若 p 则 q”为真时，可表示为，则我们称 p 为 q 的充分条件，q 是 p 的 必要条件．这里由，得出 p 为 q 的充分条件是容易理解的．但为什么说 q 是 p 的必要条件呢？事实上，与“”等价的逆否命题是“”．它的意义是：若 q 不成立， 则 p 一定不成立．这就是说，q 对于 p 是必不可少的，所以说 q 是 p 的必要条件． 4．“充要条件”的含义，实际上与初中所学的“等价于”的含义完全相同．也就是 说，如果命题 p 等价于命题 q，那么我们说命题 p 成立的充要条件是命题 q 成立； 同时有命题 q 成立的充要条件是命题 p 成立． 【解题方法点拨】 1．借助于集合知识加以判断，若 P ⊆ Q，则 P 是 Q 的充分条件，Q 是的 P 的必要 条件；若 P=Q，则 P 与 Q 互为充要条件． 2．等价法：“P ⇒ Q” ⇔ “￢Q ⇒ ￢P”，即原命题和逆否命题是等价的；原命题的逆 命题和原命题的否命题是等价的． 3．对于充要条件的证明，一般有两种方法：其一，是用分类思想从充分性、必 要性两种情况分别加以证明；其二，是逐步找出其成立的充要条件用“ ⇔ ”连接． 【命题方向】 充要条件主要是研究命题的条件与结论之间的逻辑关系，它是中学数学最重要的 数学概念之一，它是今后的高中乃至大学数学推理学习的基础．在每年的高考中， 都会考查此类问题． 4．奇偶性与单调性的综合 【知识点的认识】 对于奇偶函数综合，其实也并谈不上真正的综合，一般情况下也就是把 它们并列在一起，所以说关键还是要掌握奇函数和偶函数各自的性质，在做题时 能融会贯通，灵活运用．在重复一下它们的性质 ①奇函数 f（x）的定义域关于 原点对称，且定义域内任意一个 x，都有 f（﹣x）=﹣f（x），其图象特点是关于 （0，0）对称．②偶函数 f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个 x， 都有 f（﹣x）=f（x），其图象特点是关于 y 轴对称． 【解题方法点拨】 参照奇偶函数的性质那一考点，有： ①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用 f（0）=0 解相关的未知量； ②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用 f（x）=﹣f（﹣x）解相关参数； ③偶函数：在定义域内一般是用 f（x）=f（﹣x）这个去求解； ④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相 反 例题：如果 f（x）= 为奇函数，那么 a= ． 解：由题意可知，f（x）的定义域为 R， 由奇函数的性质可知，f（x）= =﹣f（﹣x） ⇒ a=1 【命题方向】奇偶性与单调性的综合． 不管出什么样的题，能理解运用奇偶函数的性质是一个基本前提，另外做题 的时候多多总结，一定要重视这一个知识点． 5．分段函数的应用 【分段函数的应用】 分段函数顾名思义指的是一个函数在不同的定义域内的函数表达式不一样， 有些甚至不是连续的．这个在现实当中是很常见的，比如说水的阶梯价，购物的 时候买的商品的量不同，商品的单价也不同等等，这里面都涉及到分段函数． 【具体应用】 正如前面多言，分段函数与我们的实际联系比较紧密，那么在高考题中也时 常会以应用题的形式出现．下面我们通过例题来分析一下分段函数的解法． 例：市政府为招商引资，决定对外资企业第一年产品免税．某外资厂该年 A 型 产品出厂价为每件 60 元，年销售量为 11.8 万件．第二年，当地政府开始对该商 品征收税率为 p%（0＜p＜100，即销售 100 元要征收 p 元）的税收，于是该产品 的出厂价上升为每件 元，预计年销售量将减少 p 万件． （Ⅰ）将第二年政府对该商品征收的税收 y（万元）表示成 p 的函数，并指出这 个函数的定义域； （Ⅱ）要使第二年该厂的税收不少于 16 万元，则税率 p%的范围是多少？ （Ⅲ）在第二年该厂的税收不少于 16 万元的前提下，要让厂家获得最大销售金 额，则 p 应为多少？ 解：（Ⅰ）依题意，第二年该商品年销售量为（11.8﹣p）万件， 年销售收入为 （11.8﹣p）万元， 政府对该商品征收的税收 y= （11.8﹣p）p%（万元） 故所求函数为 y= （11.8﹣p）p 由 11.8﹣p＞0 及 p＞0 得定义域为 0＜p＜11.8…（4 分） （II）由 y≥16 得 （11.8﹣p）p≥16 化简得 p2﹣12p+20≤0，即（p﹣2）（p﹣10）≤0，解得 2≤p≤10． 故当税率在[0.02，0.1]内时，税收不少于 16 万元． …（9 分） （III）第二年，当税收不少于 16 万元时， 厂家的销售收入为 g（p）= （11.8﹣p）（2≤p≤10） ∵ 在[2，10]是减函数 ∴g（p）max=g（2）=800（万元） 故当税率为 2%时，厂家销售金额最大． 这个典型的例题当中，我们发现分段函数首先还是要有函数的功底，要有一 定的建模能力，这个与分不分段其实无关．我们重点看看分段函数要注意的地 方．第一，要明确函数的定义域和其相对的函数表达式；第二注意求的是整个一 大段的定义域内的值域还是分段函数某段内部的值；第三，注意累加的情况和仅 仅某段函数的讨论． 【考查预测】 修炼自己的内功，其实分不分段影响不大，审清题就可以了，另外，最好画 个图来解答． 6．利用导数研究函数的单调性 【知识点的知识】 1、导数和函数的单调性的关系： （1）若 f′（x）＞0 在（a，b）上恒成立，则 f（x）在（a，b）上是增函数，f′ （x）＞0 的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； （2）若 f′（x）＜0 在（a，b）上恒成立，则 f（x）在（a，b）上是减函数，f′ （x）＜0 的解集与定义域的交集的对应区间为减区间． 2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤： （1）确定 f（x）的定义域； （2）计算导数 f′（x）； （3）求出 f′（x）=0 的根； （4）用 f′（x）=0 的根将 f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区 间内 f′（x）的符号，进而确定 f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则 f（x）在对应 区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则 f（x）在对应区间上是减 函数，对应区间为减区间． 【典型例题分析】 题型一：导数和函数单调性的关系 典例 1：已知函数 f（x）的定义域为 R，f（﹣1）=2，对任意 x ∈ R，f′（x）＞2， 则 f（x）＞2x+4 的解集为（ ） A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞） 解：设 g（x）=f（x）﹣2x﹣4， 则 g′（x）=f′（x）﹣2， ∵对任意 x ∈ R，f′（x）＞2， ∴对任意 x ∈ R，g′（x）＞0， 即函数 g（x）单调递增， ∵f（﹣1）=2， ∴g（﹣1）=f（﹣1）+2﹣4=4﹣4=0， 则由 g（x）＞g（﹣1）=0 得 x＞﹣1， 即 f（x）＞2x+4 的解集为（﹣1，+∞）， 故选：B 题型二：导数很函数单调性的综合应用 典例 2：已知函数 f（x）=alnx﹣ax﹣3（a ∈ R）． （Ⅰ）求函数 f（x）的单调区间； （Ⅱ）若函数 y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为 45°，对于 任意的 t ∈ [1，2]，函数 在区间（t，3）上总不是单调 函数，求 m 的取值范围； （Ⅲ）求证： ． 解：（Ⅰ） （2 分） 当 a＞0 时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）； 当 a＜0 时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]； 当 a=0 时，f（x）不是单调函数（4 分） （Ⅱ） 得 a=﹣2，f（x）=﹣2lnx+2x﹣3 ∴ ， ∴g'（x）=3x2+（m+4）x﹣2（6 分） ∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且 g′（0）=﹣2 ∴ 由题意知：对于任意的 t ∈ [1，2]，g′（t）＜0 恒成立， 所以有： ，∴ （10 分） （Ⅲ）令 a=﹣1 此时 f（x）=﹣lnx+x﹣3，所以 f（1）=﹣2， 由（Ⅰ）知 f（x）=﹣lnx+x﹣3 在（1，+∞）上单调递增， ∴当 x ∈ （1，+∞）时 f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0， ∴lnx＜x﹣1 对一切 x ∈ （1，+∞）成立，（12 分） ∵n≥2，n ∈ N*，则有 0＜lnn＜n﹣1， ∴ ∴ 【解题方法点拨】 若在某区间上有有限个点使 f′（x）=0，在其余的点恒有 f′（x）＞0，则 f（x） 仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内 f′（x）＞0 是 f（x）在此区 间上为增函数的充分条件，而不是必要条件． 7．利用导数研究曲线上某点切线方程 【考点描述】 利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查 学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为 包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题 的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上 的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来． 【实例解析】 例：已知函数 y=xlnx，求这个函数的图象在点 x=1 处的切线方程． 解：k=y'|x=1=ln1+1=1 又当 x=1 时，y=0，所以切点为（1，0） ∴切线方程为 y﹣0=1×（x﹣1）， 即 y=x﹣1． 我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的 导数；第三步利用点斜式求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家 灵活应用，认真总结． 8．简单线性规划的应用 【知识点的知识】 二元一次不等式（组）与简单线性规划问题 1、二元一次不等式表示的平面区域 一般地，直线 l：ax+by+c=0 把直角坐标平面分成了三个部分： ①直线 l 上的点（x，y）的坐标满足 ax+by+c=0； ②直线 l 一侧的平面区域内的点（x，y）的坐标满足 ax+by+c＞0； ③直线 l 另一侧的平面区域内的点（x，y）的坐标满足 ax+by+c＜0． 所以，只需在直线 l 的某一侧的平面区域内，任取一特殊点（x0，y0），从 ax0+by0+c 值的正负，即可判断不等式表示的平面区域． 2、线性规划相关概念 名称 意义 目标函数 欲求最大值或最小值的函数 约束条件 目标函数中的变量所要满足的不等式组 可行解 满足约束条件的解（x，y） 可行域 由所有可行解组成的集合 最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解，通常在可行域的顶点处 取得 二元线性 规划问题 如果两个变量满足一组一次不等式，求这两个变量的一次函数的最 大值或最小值问题叫作二元线性规划问题 3、线性规划 （1）不等式组是一组对变量 x、y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于 x、y 的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件．z=Ax+By 是欲达到最大值或最小 值所涉及的变量 x、y 的解析式，我们把它称为目标函数．由于 z=Ax+By 又是关 于 x、y 的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数． 另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示． （2）一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统 称为线性规划问题． （3）那么，满足线性约束条件的解（x，y）叫做可行解，由所有可行解组成的 集合叫做可行域．在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域．其中 可行解（x1，y1）和（x2，y2）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做 这个问题的最优解．线性目标函数的最值常在可行域的顶点处取得；而求最优整 数解必须首先要看它们是否在可行． 4、用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤： ①首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）． ②设 z=0，画出直线 l0． ③观察、分析，平移直线 l0，从而找到最优解． ④最后求得目标函数的最大值及最小值． 5、利用线性规划研究实际问题的解题思路： 首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数． 然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数 取得最值的解． 最后，还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况 求得最优解． 【典型例题分析】 题型一：二元一次不等式（组）表示的平面区域 典例 1：若不等式组所表示的平面区域被直线 y=kx+分为面积相等的两部分，则 k 的值是 （ ） A． B． C． D． 分析：画出平面区域，显然点（0， ）在已知的平面区域内，直线系过定点（0， ），结合图形寻找直线平分平面区域面积的条件即可． 解答：不等式组表示的平面区域如图所示． 由于直线 y=kx+ 过定点（0， ）．因此只有直线过 AB 中点时，直线 y=kx+ 能 平分平面区域． 因为 A（1，1），B（0，4），所以 AB 中点 D（ ， ）． 当 y=kx+ 过点（ ， ）时， = + ，所以 k= ． 答案：A． 点评：二元一次不等式（组）表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域． 注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实 线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点． 题型二：求线性目标函数的最值 典例 2：设 x，y 满足约束条件： ，求 z=x+y 的最大值与最小值． 分析：作可行域后，通过平移直线 l0：x+y=0 来寻找最优解，求出目标函数的最 值． 解答：先作可行域，如图所示中△ABC 的区域，且求得 A（5，2）、B（1，1）、C （1，），作出直线 l0：x+y=0，再将直线 l0 平移，当 l0 的平行线 l1 过点 B 时，可使 z=x+y 达到最小值；当 l0 的平行线 l2 过点 A 时，可使 z=x+y 达到最大值．故 zmin=2， zmax=7． 点评：（1）线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在 边界处取得． （2）求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义， 明确和直线的纵截距的关系． 题型三：实际生活中的线性规划问题 典例 3：某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过 50 亩，投入资金不超过 54 万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表： 年产量/亩 年种植成本/ 亩 每吨售价 黄瓜 4 吨 1.2 万元 0.55 万元 韭菜 6 吨 0.9 万元 0.3 万元 为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入﹣总种植成本）最大，那么黄瓜和 韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（ ） A．50，0 B．30，20 C．20，30 D．0，50 分析：根据线性规划解决实际问题，要先用字母表示变量，找出各量的关系列出 约束条件，设出目标函数，转化为线性规划问题． 解析 设种植黄瓜 x 亩，韭菜 y 亩，则由题意可知 求目标函数 z=x+0.9y 的最大值， 根据题意画可行域如图阴影所示． 当目标函数线 l 向右平移，移至点 A（30，20）处时，目标函数取得最大值，即 当黄瓜种植 30 亩，韭菜种植 20 亩时，种植总利润最大．故答案为：B 点评：线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系， 最好是列成表格，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，转化为简单的线 性规划问题，再按如下步骤完成： （1）作图﹣﹣画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系 中过原点的那一条 l； （2）平移﹣﹣将 l 平行移动，以确定最优解的对应点 A 的位置； （3）求值﹣﹣解方程组求出 A 点坐标（即最优解），代入目标函数，即可求出最 值． 题型四：求非线性目标函数的最值 典例 4：（1）设实数 x，y 满足 ，则的最大值为 ． （2）已知 O 是坐标原点，点 A（1，0），若点 M（x，y）为平面区域上 的一个动点，则| + |的最小值是 ． 分析：与二元一次不等式（组）表示的平面区域有关的非线性目标函数的最值问 题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成． 解答：（1） 表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率，在点（1， ）处取到 最大值． （2）依题意得， + =（x+1，y），| + |= 可视为点（x，y）与 点（﹣1，0）间的距离，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结 合图形可知，在该平面区域内的点中，由点（﹣1，0）向直线 x+y=2 引垂线的垂 足位于该平面区域内，且与点（﹣1，0）的距离最小，因此| + |的最小值是 = ． 故答案为：（1） （2） ． 点评：常见代数式的几何意义有 （1） 表示点（x，y）与原点（0，0）的距离； （2） 表示点（x，y）与点（a，b）之间的距离； （3） 表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率； （4） 表示点（x，y）与点（a，b）连线的斜率． 【解题方法点拨】 1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化． 2．在通过求直线的截距 的最值间接求出 z 的最值时，要注意：当 b＞0 时，截 距 取最大值时，z 也取最大值；截距 取最小值时，z 也取最小值；当 b＜0 时， 截距 取最大值时，z 取最小值；截距 取最小值时，z 取最大值． 9．基本不等式 【概述】 基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个 正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为： ≥ （a≥0， b≥0），变形为 ab≤（ ）2 或者 a+b≥2 ．常常用于求最值和值域． 【实例解析】 例 1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是． A：a，b 均为负数，则 ． B： ． C： ． D： ． 解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知 A、 B、D 均满足条件． 对于 C 选项中 sinx≠±2， 不满足“相等”的条件， 再者 sinx 可以取到负值． 故选：C． A 选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成 元素；B 分子其实可以写成 x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例 题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便． 例 2：利用基本不等式求 的最值？当 0＜x＜1 时，如何求 的最大 值． 解：当 x=0 时，y=0， 当 x≠0 时， = ， 用基本不等式 若 x＞0 时，0＜y≤ ， 若 x＜0 时，﹣ ≤y＜0， 综上得，可以得出﹣ ≤y≤ ， ∴ 的最值是﹣ 与 ． 这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于 0， 没有明确表示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两 个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理 直接求的结果． 【考点预测】 基本不等式地位非常重要，因为简单实用，也是高考考查的一个重点，出题 范围也比较广，包括选择题、填空题，甚至应用题里面，要求是会用，在能用基 本不等式解题的时候尽量用基本不等式． 10．等差数列与等比数列的综合 【知识点的知识】 1、等差数列的性质 （1）若公差 d＞0，则为递增等差数列；若公差 d＜0，则为递减等差数列；若公 差 d=0，则为常数列； （2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项 之和； （3）m，n ∈ N+，则 am=an+（m﹣n）d； （4）若 s，t，p，q ∈ N*，且 s+t=p+q，则 as+at=ap+aq，其中 as，at，ap，aq 是数 列中的项，特别地，当 s+t=2p 时，有 as+at=2ap； （5）若数列{an}，{bn}均是等差数列，则数列{man+kbn}仍为等差数列，其中 m， k 均为常数． （6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1 仍为等差数列，公差为﹣d． （7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的 前后两项的等差中项，即 2an+1=an+an+2， 2an=an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m ∈ N+） （8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍为等差数列，公差为 kd（首项不一定选 a1）． 2、等比数列的性质． （1）通项公式的推广：an=am•qn﹣m，（n，m ∈ N*）． （2）若{an}为等比数列，且 k+l=m+n，（k，l，m，n ∈ N*），则 ak•al=am•an （3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an•bn}， 仍是等比数列． （4）单调性： 或 ⇔ {an}是递增数列； 或 ⇔ {an} 是递减数列；q=1 ⇔ {an}是常数列；q＜0 ⇔ {an}是摆动数列． 11．平面向量数量积的运算 【平面向量数量积的运算】 平面向量数量积运算的一般定理为①（ ± ）2= 2±2 • + 2．②（ ﹣ ） （ + ）= 2﹣ 2．③ •（ • ）≠（ • ）• ，从这里可以看出它的运算法则和 数的运算法则有些是相同的，有些不一样． 【例题解析】 例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“mn=nm”类比得到“ ” ②“（m+n）t=mt+nt”类比得到“（ ）• = ”； ③“t≠0，mt=nt ⇒ m=n”类比得到“ ⇒ ”； ④“|m•n|=|m|•|n|”类比得到“| |=| |•| |”； ⑤“（m•n）t=m（n•t）”类比得到“（ ）• = ”； ⑥“ ”类比得到 ． 以上的式子中，类比得到的结论正确的是 ① ② ． 解：∵向量的数量积满足交换律， ∴“mn=nm”类比得到“ ”， 即①正确； ∵向量的数量积满足分配律， ∴“（m+n）t=mt+nt”类比得到“（ ）• = ”， 即②正确； ∵向量的数量积不满足消元律， ∴“t≠0，mt=nt ⇒ m=n”不能类比得到“ ⇒ ”， 即③错误； ∵| |≠| |•| |， ∴“|m•n|=|m|•|n|”不能类比得到“| |=| |•| |”； 即④错误； ∵向量的数量积不满足结合律， ∴“（m•n）t=m（n•t）”不能类比得到“（ ）• = ”， 即⑤错误； ∵向量的数量积不满足消元律， ∴ ”不能类比得到 ， 即⑥错误． 故答案为：①②． 向量的数量积满足交换律，由“mn=nm”类比得到“ ”；向量的数量 积满足分配律，故“（m+n）t=mt+nt”类比得到“（ ）• = ”；向量 的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt=nt ⇒ m=n”不能类比得到“ ⇒ ” ； | | ≠ | |•| | ， 故 “|m•n|=|m|•|n|” 不 能 类 比 得 到 “| |=| |•| |”；向量的数量积不满足结合律，故“（m•n）t=m（n•t）”不能 类比得到“（ ）• = ”；向量的数量积不满足消元律，故 ”不能 类比得到 ． 【考点分析】 本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也 是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握． 12．复数代数形式的乘除运算 【知识点的知识】 1、复数的加、减、乘、除运算法则 2、复数加法、乘法的运算律 13．列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【知识点的知识】 1、等可能条件下概率的意义：一般地，如果在一次试验中，有 n 种可能的结果， 并且它们发生的可能性都相等，事件 A 包含其中的 m 种结果，那么事件 A 发生 的概率为 P（A）= ． 等可能条件下概率的特征： （1）对于每一次试验中所有可能出现的结果都是有限的； （2）每一个结果出现的可能性相等． 2、概率的计算方法： （1）列举法（列表或画树状图）， （2）公式法； 列表法或树状图这两种举例法，都可以帮助我们不重不漏的列出所以可能的结 果． 列表法 （1）定义：用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法． （2）列表法的应用场合 当一次试验要设计两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列 出所有可能的结果，通常采用列表法． 树状图法 （1）定义：通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫 做树状图法． （2）运用树状图法求概率的条件 当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地 列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率． 【典型例题分析】 典例 1：将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为 a，第二次出现的点数记 为 b，设任意投掷两次使两条不重合直线 l1：ax+by=2，l2：x+2y=2 平行的概率为 P1，相交的概率为 P2，若点（P1，P2）在圆（x﹣m）2+y2= 的内部，则实数 m 的取值范围是（ ） A．（﹣ ，+∞） B．（﹣∞， ） C．（﹣ ， ） D．（﹣ ， ） 解析：对于 a 与 b 各有 6 中情形，故总数为 36 种 设两条直线 l1：ax+by=2，l2：x+2y=2 平行的情形有 a=2，b=4，或 a=3，b=6，故 概率为 P= = 设两条直线 l1：ax+by=2，l2：x+2y=2 相交的情形除平行与重合即可， ∵当直线 l1、l2 相交时 b≠2a，图中满足 b=2a 的有（1，2）、（2，4）、（3，6）共 三种， ∴满足 b≠2a 的有 36﹣3=33 种， ∴直线 l1、l2 相交的概率 P= = ， ∵点（P1，P2）在圆（x﹣m）2+y2= 的内部， ∴（ ﹣m）2+（ ）2＜ ， 解得﹣ ＜m＜ 故选：D 典例 2：某种零件按质量标准分为 1，2，3，4，5 五个等级，现从一批该零件巾 随机抽取 20 个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如下 等级 1 2 3 4 5 频率 0.05 m 0.15 0.35 n （1）在抽取的 20 个零件中，等级为 5 的恰有 2 个，求 m，n； （2）在（1）的条件下，从等级为 3 和 5 的所有零件中，任意抽取 2 个，求抽取 的 2 个零件等级恰好相同的概率． 解析：（1）由频率分布表得 0.05+m+0.15+0.35+n=1， 即 m+n=0.45．…（2 分） 由抽取的 20 个零件中，等级为 5 的恰有 2 个， 得 ．…（4 分） 所以 m=0.45﹣0.1=0.35．…（5 分） （2）：由（1）得，等级为 3 的零件有 3 个，记作 x1，x2，x3；等级为 5 的零件有 2 个， 记作 y1，y2．从 x1，x2，x3，y1，y2 中任意抽取 2 个零件，所有可能的结果为：（x1， x2），（x1，x3），（x1，y1），（x1，y2），（x2，x3），（x2，y1），（x2，y2），（x3，y1），（x3， y2），（y1，y2） 共计 10 种．…（9 分） 记事件 A 为“从零件 x1，x2，x3，y1，y2 中任取 2 件，其等级相等”． 则 A 包含的基本事件为（x1，x2），（x1，x3），（x2，x3），（y1，y2）共 4 个．…（11 分） 故所求概率为 ．…（13 分） 14．程序框图 【知识点的知识】 1．程序框图 （1）程序框图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及 文字说明来准确、直观地表示算法的图形； （2）构成程序框的图形符号及其作用 程序框 名称 功能 起止 框 表示一个算法的起始和结束，是任何算法程序框图不可缺少 的． 输入、 输出 框 表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法中任何需要输 入、输出的位置． 处理 框 赋值、计算．算法中处理数据需要的算式、公式等，它们分别 写在不同的用以处理数据的处理框内． 判断 框 判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y”；不成 立时在出口处标明则标明“否”或“N”． 流程 线 算法进行的前进方向以及先后顺序 连结 点 连接另一页或另一部分的框图 注释 框 帮助编者或阅读者理解框图 （3）程序框图的构成． 一个程序框图包括以下几部分：实现不同算法功能的相对应的程序框；带箭头的 流程线；程序框内必要的说明文字． 15．三角函数的周期性及其求法 【知识点的认识】 周期性 ①一般地，对于函数 f（x），如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的 每一个值时，都有 f（x+T）=f（x），那么函数 f（x）就叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期． ②对于一个周期函数 f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么 这个最小正数就叫做 f（x）的最小正周期． ③函数 y=Asin（ωx+φ），x ∈ R 及函数 y=Acos（ωx+φ）；x ∈ R（其中 A、ω、φ为常 数，且 A≠0，ω＞0）的周期 T= ． 【解题方法点拨】 1．一点提醒 求函数 y=Asin（ωx+φ）的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω＞0 时，才能 把ωx+φ看作一个整体，代入 y=sin t 的相应单调区间求解，否则将出现错误． 2．两类点 y=sin x，x ∈ [0，2π]，y=cos x，x ∈ [0，2π]的五点是：零点和极值点（最值点）． 3．求周期的三种方法 ①利用周期函数的定义．f（x+T）=f（x） ②利用公式：y=Asin（ωx+φ）和 y=Acos（ωx+φ）的最小正周期为 ，y=tan （ωx+φ）的最小正周期为 ． ③利用图象．图象重复的 x 的长度． 16．解三角形 【知识点的知识】 在解三角形时，常用定理及公式如下表： 名称 公式 变形 内角和定 理 A+B+C=π + = ﹣ ，2A+2B=2π﹣ 2C 余弦定理 a2=b2+c2﹣2bccosA b2=a2+c2﹣2accosB c2=a2+b2﹣2abcosC cosA= cosB= cosC= 正弦定理 =2R R 为△ABC 的外接圆半径 a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC sinA= ，sinB= ，sinC= 射影定理 acosB+bcosA=c acosC+ccosA=b bcosC+ccosB=a 面积公式 ①S△= aha= bhb= chc ②S△= absinC= acsinB= bcsinA ③S△= ④S△= ，（s= （a+b+c））； ⑤S△= （a+b+c）r （r 为△ABC 内切圆半径） sinA= sinB= sinC= 17．圆的标准方程 【知识点的认识】 1．圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆．定点叫 做圆心，定长就是半径． 2．圆的标准方程： （x﹣a）2+（y﹣b）2=r2（r＞0）， 其中圆心 C（a，b），半径为 r． 特别地，当圆心为坐标原点时，半径为 r 的圆的方程为： x2+y2=r2． 其中，圆心（a，b）是圆的定位条件，半径 r 是圆的定形条件． 【解题思路点拨】 已知圆心坐标和半径，可以直接带入方程写出，在所给条件不是特别直接的情况 下，关键是求出 a，b，r 的值再代入．一般求圆的标准方程主要使用待定系数法．步 骤如下： （1）根据题意设出圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2； （2）根据已知条件，列出关于 a，b，r 的方程组； （3）求出 a，b，r 的值，代入所设方程中即可． 另外，通过对圆的一般方程进行配方，也可以化为标准方程． 【命题方向】 可以是以单独考点进行考查，一般以选择、填空题形式出现，a，b，r 值的求解 可能和直线与圆的位置关系、圆锥曲线、对称等内容相结合，以增加解题难度．在 解答题中，圆的标准方程作为基础考点往往出现在关于圆的综合问题的第一问 中，难度不大，关键是读懂题目，找出 a，b，r 的值或解得圆的一般方程再进行 转化． 例 1：圆心为（3，﹣2），且经过点（1，﹣3）的圆的标准方程是 （x﹣3）2+ （y+2）2=5 分析：设出圆的标准方程，代入点的坐标，求出半径，求出圆的标准方程． 解答：设圆的标准方程为（x﹣3）2+（y+2）2=R2， 由圆 M 经过点（1，﹣3）得 R2=5，从而所求方程为（x﹣3）2+（y+2）2=5， 故答案为（x﹣3）2+（y+2）2=5 点评：本题主要考查圆的标准方程，利用了待定系数法，关键是确定圆的半径． 例 2：若圆 C 的半径为 1，圆心在第一象限，且与直线 4x﹣3y=0 和 x 轴都相切， 则该圆的标准方程是（ ） A．（x﹣2）2+（y﹣1）2=1 B．（x﹣2）2+（y+1）2=1 C．（x+2）2+（y﹣1）2=1 D．（x﹣3）2+（y﹣1）2=1 分析：要求圆的标准方程，半径已知，只需找出圆心坐标，设出圆心坐标为（a， b），由已知圆与直线 4x﹣3y=0 相切，可得圆心到直线的距离等于圆的半径，可 列出关于 a 与 b 的关系式，又圆与 x 轴相切，可知圆心纵坐标的绝对值等于圆的 半径即|b|等于半径 1，由圆心在第一象限可知 b 等于圆的半径，确定出 b 的值， 把 b 的值代入求出的 a 与 b 的关系式中，求出 a 的值，从而确定出圆心坐标，根 据圆心坐标和圆的半径写出圆的标准方程即可． 解答：设圆心坐标为（a，b）（a＞0，b＞0）， 由圆与直线 4x﹣3y=0 相切，可得圆心到直线的距离 d= =r=1， 化简得：|4a﹣3b|=5①， 又圆与 x 轴相切，可得|b|=r=1，解得 b=1 或 b=﹣1（舍去）， 把 b=1 代入①得：4a﹣3=5 或 4a﹣3=﹣5，解得 a=2 或 a=﹣ （舍去）， ∴圆心坐标为（2，1）， 则圆的标准方程为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=1． 故选：A 点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及圆的标准方程，若直线与圆相切时， 圆心到直线的距离 d 等于圆的半径 r，要求学生灵活运用点到直线的距离公式， 以及会根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程． 例 3：圆 x2+y2+2y=1 的半径为（ ） A．1 B． C．2 D．4 分析：把圆的方程化为标准形式，即可求出圆的半径． 解答：圆 x2+y2+2y=1 化为标准方程为 x2+（y+1）2=2， 故半径等于 ， 故选 B． 点评：本题考查圆的标准方程的形式及各量的几何意义，把圆的方程化为标准形 式，是解题的关键． 18．椭圆的标准方程 【知识点的认识】 椭圆标准方程的两种形式： （1） （a＞b＞0），焦点在 x 轴上，焦点坐标为 F（±c，0），焦距|F1F2|=2c； （2） （a＞b＞0），焦点在 y 轴上，焦点坐标为 F（0，±c），焦距|F1F2|=2c． 两种形式相同点：形状、大小相同；都有 a＞b＞0；a2=b2+c2 两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同． 标准方程 （a＞b＞0） 中心在原点，焦点在 x 轴上 （a＞b＞0） 中心在原点，焦点在 y 轴上 图形 顶点 A（a，0），A′（﹣a，0） B（0，b），B′（0，﹣b） A（b，0），A′（﹣b，0） B（0，a），B′（0，﹣a） 对称轴 x 轴、y 轴，长轴长 2a， 短轴长 2b 焦点在长轴长上 x 轴、y 轴，长轴长 2a，短轴长 2b 焦点在长轴长上 焦点 F1（﹣c，0），F2（c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c） 焦距 |F1F2|=2c（c＞0） c2=a2﹣b2 |F1F2|=2c（c＞0） c2=a2﹣b2 离心率 e= （0＜e＜1） e= （0＜e＜1） 准线 x=± y=± 19．双曲线的简单性质 【知识点的知识】 双曲线的标准方程及几何性质 标准方程 （a＞0，b＞0） （a＞0，b＞0） 图形 焦点 F1（﹣c，0），F2（ c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c） 性 质 焦距 |F1F2|=2c a2+b2=c2 范围 |x|≥a，y ∈ R |y|≥a，x ∈ R 对称 关于 x 轴，y 轴和原点对称 顶点 （﹣a，0）．（a，0） （0，﹣a）（0，a） 轴 实轴长 2a，虚轴长 2b 离心率 e= （e＞1） 准线 x=± y=± 渐近线 ± =0 ± =0 20．直线与椭圆的位置关系 v． 21．球的体积和表面积 【知识点的认识】 1．球体：在空间中，到定点的距离等于或小于定长的点的集合称为球体，简称 球．其中到定点距离等于定长的点的集合为球面． 2．球体的体积公式 设球体的半径为 R， V 球体= 3．球体的表面积公式 设球体的半径为 R， S 球体=4πR2． 【命题方向】 考查球体的体积和表面积公式的运用，常见结合其他空间几何体进行考查，以增 加试题难度，根据题目所给条件得出球体半径是解题关键． 22．直线与平面所成的角 【知识点的知识】 1、直线和平面所成的角，应分三种情况： （1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影 所成的锐角； （2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为 90°； （3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为 0°． 显然，斜线和平面所成角的范围是（0， ）；直线和平面所成的角的范围为[0， ]． 2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜 线在平面内的射影转化为两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体 的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节： （1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角； （2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角； （3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影 所组成的直角三角形）求出角． （4）答﹣﹣回答求解问题． 在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各 线段的纽带的作用．在直线与平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合 的数学思想． 3、斜线和平面所成角的最小性： 斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的，其中一条直线 就是斜线本身，另一条直线是斜线在平面上的射影．在平面内经过斜足的直线有 无数条，它们和斜线都组成相交的两条直线，为什么选中射影和斜线这两条相交 直线，用它们所成的锐角来定义斜线和平面所成的角呢？原因是斜线和平面内经 过斜足的直线所成的一切角中，它是最小的角．对于已知的斜线来说这个角是唯 一确定的，它的大小反映了斜线关于平面的“倾斜程度”．根据线面所成的角的定 义，有结论：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切 角中最小的角．